例谈高考中对绝对值问题的考查

☉浙江省新昌县澄潭中学 王新兵

例谈高考中对绝对值问题的考查

☉浙江省新昌县澄潭中学 王新兵

绝对值是中学数学中的一个基本概念，“绝对值问题”历来也是高考数学试题中经常涉及的问题．题目类型丰富，涵盖面广，综合性强，并且经常出现一些富有创意的新题，可谓常考常新．绝对值常常与函数、不等式、向量等综合，题型上具有新颖性，解题方法上具有灵活性，思维方式上具有抽象性.笔者结合近几年的试题谈谈高考对绝对值的考查，不当之处，敬请指正.

考查一、绝对值与参变量的综合

例1若函数f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______.

解法1（分类讨论）：当a=-1时，f（x）=3|x+1|≥0，与条件不符.

易得函数f（x）在（-∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，故此时f（x）min=f（a）=-a-1=5，a=-6.

同理可知f（x）min=f（a）=-a+1=5，a=4.

因此a=-6或a=4.

解法2（几何意义）：函数f（x）可化为f（x）=|x+1|+|xa|+|x-a|，其几何意义为数轴上的x到-1的距离与到a的距离的2倍之和，结合数轴易得x=a时，f（x）min=f（a）=|a+1|=5，解得a=-6或a=4.

解法3（绝对值不等式）：函数f（x）可化为f（x）=|x+1|+ |x-a|+|x-a|，则2f（x）=（|x+1|+|x-a|）+（|x-a|+|x-a|）+（|x-a|+ |x+1|）.由绝对值不等式有|x+1|+|x-a|≥|（x+1）-（x-a）|=|a+ 1|，|x+1|+|x+1|≥|（x+1）-（x+1）|=0，|x-a）+|x+1|≥|（x+1）-（x-a）|=|a+1|，则2f（x）≥|a+1|+0+|a+1|=2|a+1|.

故f（x）min=|a+1|=5，解得a=-6或a=4.

由此可见，求含有双绝对值的函数f（x）=|ax+b|±|cx+ d|的最值时，通常利用零点分段法进行．如果a=c常常考虑利用三角形绝对值不等式求最值．注意不等式|x-a|+ |x-b|≥|a-b|的应用．

考查二、绝对值与向量的综合

例2已知e1，e2是空间单位向量，若空间向量b满足，且对于任意x，y∈R，|b-（xe1+ ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0，y0∈R），则x0=_______，y0= _________，|b|=_________．

解法1（空间坐标系）：建立空间直角坐标系，由题意可设e1=（1，0，0）并设b=（m，n，p），

则b·e1=2

由|b-（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0，y0∈R），得

因为对任意的x，y∈R，都有

|b-（xe1+ye2）|2=|b|2-2b（xe1+ye2）+（xe1+ye2）2

=|b|2-4x-5y+x2+y2+xy≥1，

即x2+（y-4）x+|b|2-5y+y2-1≥0对任意实数x均成立．

所以Δ=（y-4）2-4（|b|2-5y+y2-1）≤0，

即3y2-12y+4|b|2-20≥0对任意实数y均成立，

又对于任意x，y∈R，|b-（xe1+ye2）≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x，y∈R），

解法3（几何意义）：由|b-（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|= 1（x，y∈R）的几何意义可知，向量b到向量e1，e2所确定的平面的距离为1，且在此平面内投影的向量x0e1+y0e2，利用向量的数量积b·e1=2，b·

向量问题坐标化是解决此类问题的捷径；向量问题代数化是解决此类问题的一种重要方法，往往需要扎实的运算能力和转化能力；向量问题几何化是解决此类问题的一种简单方法，往往需要敏锐的几何直觉和转化能力．

考查三、绝对值与二次函数的综合

例3已知函数f（x）=x2+ax+b（x，y∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间［-1，1］上的最大值．

（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；

（2）当a，b满足M（a，b）≤2，求|a|+|b|的最大值.

本题考查函数在给定区间上的最值问题，考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式的性质等基础知识．同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力．

所以M（a，b）=max｛|f（1）|，|f（-1）|｝.

当a≥2时，由f（1）-f（-1）=2a≥4，得max｛f（1），-f（-1）｝≥2，即M（a，b）≥2；

当a≤-2时，由f（-1）-f（1）=-2a≥4，得max｛f（-1），-f（1）｝≥2，即M（a，b）≥2.

综上，当|a|≥2时，M（a，b）≥2，

（2）由M（a，b）≥2，得|1+a+b|=|f（1）|≤2，|1-a+b|= |f（-1）|≤2，故|a+b|≤3，|a-b|≤3，

当a=2，b=-1时，|a|+|b|=3，且|x2-2x-1|在［-1，1］上的最大值为2，

即M（2，-1）=2，所以|a|+|b|的最大值为3．

二次函数的最值问题要抓住对称轴的位置讨论，二次函数的最值是在区间的端点和对称轴处取到.要高效备考，必须重视本省中的各种试题并进行认真地分析研究．

考查四、解含有双绝值的不等式

例4x，y∈R若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2，则x+y的取值范围为________.

解（绝对值的几何意义）：由绝对值的几何意义可知，|x|+|x-1|≥1，当且仅当0≤x≤1时，等号成立.

同理|y|+|y-1|≥1，当且仅当0≤y≤1时等号成立.

两式相加得|x|+|x-1|+|y|+|y-1|≥2.

又由题意知，|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2，

故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2.

所以原题的答案为［0，2］.

总之，解不等式是要找充要条件，而不是找充分不必要条件.