圆锥曲线正交弦的性质及其应用——一道课本习题的归纳和延伸

☉湖北省十堰市郧阳中学 梁修曦

圆锥曲线正交弦的性质及其应用
——一道课本习题的归纳和延伸

☉湖北省十堰市郧阳中学 梁修曦

原题如图1，直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A，B两点，求证：OA⊥OB．

这是人教版教材选修2-1第73页习题2．4的第6题，此问题可归纳为一般性质：A，B是抛物线y2= 2px（p＞0）上的两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，则直线AB过定点（2p，0）；反之亦成立．

笔者猜想，椭圆和双曲线中是否有类似的性质呢？经探究发现，答案是肯定的．

图1

一、过圆锥曲线顶点的正交弦的性质

性质1A，B，C是圆锥曲线上不重合的三个点，若CA⊥CB，则直线AB过一个定点．

应用1A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求线段AB中点D的轨迹方程．

解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则运用点差法可得．由“原题及归纳”知，定点Q（2p，0）也在AB上，故，可得D点的轨迹方程为y2=px-2p2．

于是笔者再猜想，将正交弦的交点换到椭圆和双曲线的中心，是否还有其他的性质呢？

二、过椭圆和双曲线中心的正交弦的性质

性质2A、B是椭圆或双曲线上的两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，则有以下结论：

（2）弦AB与定圆相切．

应用2已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上任一点到两焦点的距离之和为4，且椭圆的离心率为，单位圆O的切线l与椭圆C相交于A、B两点．

（1）求证：OA⊥OB；

（2）求△OAB面积的最小值．（2016肇庆市三模）

最后，我们将正交弦的交点移至圆锥曲线的焦点，又有了新的发现．

三、过圆锥曲线焦点的正交弦的性质

性质3F是圆锥曲线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线分别交于P，Q及M，N，则均为定值．

若F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，则上述定值分别为

应用3已知椭圆的两个焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且椭圆与直线相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN的面积的最值．（2011卓越联盟自主招考）

当且仅当PQ=MN时取等号．故四边形PMQN的面积的最小值为

值得一提的是，圆锥曲线背景下的正交弦问题，近十年来高考试题曾多次涉及，而定值和最值问题又是圆锥曲线中的重点、难点，在加强学生运算能力的培养的同时，适当熟记一些性质和结论，对解题是很有帮助的．

另外，对教材知识进行探究性的分析、思索、归纳，从课本的例题习题出发，加以变式、延伸，可以拓展思维空间，是培养学生数学思维能力的重要举措．通过这样多方位、多角度、多层次的探究活动，可以使学生的思维品质不断得以提升，并从中体验到数学发现给人带来的愉悦感和成就感．

1．余合桥．三种圆锥曲线定值题的共性．中学数学月刊，2001（11）．

2．张天德、贾广素、王玮．全国重点大学自主招生数学教程．山东科学技术出版社．