反思，点亮学生“悟”的心灯

曾子斌

摘 要：解题后要反思，命题者的意图是什么？考查的知识点、方法和能力是什么？验证答案是否正确，题中的条件的应用是否完备？求解或证明过程是否判断有据，严密完整？一题多解？一题多变？一题多问？一题多用？多题一解？不断地对问题进行观察探究、归纳类比、抽象概括，对所蕴含的数学思想、数学方法进行甄别，体会解题带来的快乐，享受反思带来的成功感。养成独立思考、主动探究的习惯，并懂得如何学好数学。

关键词：反思 探究 归纳 概括 提高能力

孔子云：学而不思则罔。“罔”即迷惑而没有所得，把其意思引申一下，我们也就不难理解为什么要进行解题后反思了。事实上，一道题经过一番艰辛，苦思冥想解出答案后，须进行如此反思：第一步，“学懂了没有？”——主要解决“是什么”的问题，即命题者的意图是什么？考查的知识点、方法和能力是什么？第二步，“领悟了没有？”——主要解决“为什么”的问题，即验证答案是否正确，题中的条件的应用是否完备？求解或证明过程是否判断有据，严密完整？第三步，“会用了没有？”——主要解决“做什么”的问题，即本题有无其他解法——一题多解？或一题多变？ 一题多问？一题多用？多题一解？由于学生认知结构水平的限制，表现出对知识不求甚解，热衷于做大量题，不善于在解题后对题目进行反思，普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节；而通过解题后反思解题过程、探讨知识点联系、知识交汇、探究规律等一系列思维活动，能点亮学生“悟”的心灯。

本文拟从以下方面作些探究，与同行商榷。

一、及时反思所犯错误，确保解题的合理性和正确性

现代认知心理学家认为，学生的学习是以现有的认知发展观水平为出发点，以“最近发展区”为定向，在不断产生错误和纠正错误的过程中进行的。解题教学若能从此切入，进行解后反思，则往往能找到“病根”，从而对症下药，常能收到事半功倍的效果！

如题1：在△ABC中，AB→=（1，1），AC→=（2，k），若△ABC为直角三角形，求实数k的值.解：∵△ABC为直角三角形，∴A=90°，∴AB→·AC→=0，又∵AB→=（1，1），AC→=（2，k），∴1×2+1×k=0，即k=-2，∴k=-2时，△ABC为直角三角形。解后引导学生进行反思：解决这类问题的通法是什么？解决这一类问题常犯错误或要注意的是什么？是否可转换角度进行思考及不同知识点的相互联系？问题能否进行变式或推广？学生们各抒己见，针对各种“病因”开出了有效的“方子”。实践证明，这样的教学是成功的，学生在计算的准确率和速度两个方面都有极大的提高。答案的确错了，怎么错的？为什么会有这样的想法？又怎样纠正呢？如果我们的解题教学能抓住这一契机，并就此展开讨论、反思，无疑比讲十道、百道甚至更多的例题来巩固则要好得多，而这点恰恰容易被我们所忽视。本题在解答过程中，应考虑△ABC三个内角都可能为直角的情况，故进行分类讨论是解决本题的关键。

二、及时反思解题方法，探求一题多解和一题多变，培养解题的变通性和灵活性

“题目千万道，解后抛九霄”难以达到提高解题能力、发展思维的目的。善于作解后反思，探求一题多解和一题多变，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面，无疑对能力的提高和思維的发展是大有裨益的。

如题 2：已知 且 ，求 的最小值。法1：均值不等式法

此题答案有误。因为⑴，⑵ 式的等号不能同时成立，所以⑶式等号 不能取。此法作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少和一致性， 这有利于培养学生思维严密性。

法2，1的妙用

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法3，构造不等式法

[来源：Z

变式3：已知 （ ）求 的取值范围。

法4，换元后构造均值不等 式法

法5，用判别式法

变式4：已知 求 的范围。

法6，三角代换法

变式5：已知00，b>0，则 的最小值。

三、及时反思解答过程， 探究通性通法，提高综合解题能力

所谓通性通法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法。这种通性通法在高中数学中是很多的，如二次函数在闭区间上求最值的一般方法：配方、作图、截段等。如将直线方程代入圆锥曲线方程，整理成一元二次方程，再利用根的判别式、求根公式、根与系数的关系、两点之间的距离公式等可以编制出很多精彩的试题。这些问题考查了解析几何的基本思想方法，学生在学习的过程中要对这些普遍性的东西不断地进行概括总结，梳理出一般方法和思路，掌握规律，探求共性，再由共性指导去解决碰到的这类问题，便会迎刃而解，这对提高解题能力尤其重要。

荷兰著名数学家弗莱登塔尔曾指出，“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力”。总之，解题后引导学生对问题进行观察探究、归纳类比、抽象概括，对问题中所蕴含的数学思想、数学方法进行甄别，会使学生拨开“迷雾”，看清“庐山真面目”而逐渐成熟起来；在反思中学会倾听、学会交流、学会合作、学会分享，养成独立思考、主动探究的习惯，体会解题带来的快乐，享受探究带来的成功感。常此以往，对于培养学会学习是非常重要的，并懂得如何把题解好解对，这会帮助学生学好数学。

参考文献：

[1]余文森.有效教学十讲[M].华东师范大学出版社. 2009.10

[2]宇杏标.错误分析及其意义[D].华东师范大学.2003年

[3]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范师范出版社，2004.