高中数学“微教学”实践与思考*

☉江苏省高邮中学 黄桂君

高中数学“微教学”实践与思考*

☉江苏省高邮中学 黄桂君

一、关于“微教学”研究

各位同仁，给你上过课的老师有很多，你听过、看过的公开课、竞赛课、视频录像课等也不少.这些老师的教学行为、教学风格或多或少给你留下了某些印象.你自己也许已有多年的课堂生活体验了，但你是否曾留意过，或者至今仍让你印象深刻的一些微环节教学细节？比如课的导入方面的、概念讲解方面的、解题方法方面的、活动设计方面的、多媒体使用方面的等等.

随着新课程的深入推进，我们的教学研究已逐渐步入“微时代”.（与时俱进，有了微信、微博，也就产生了“微课”“微型课”“微讲座”等）.

从教学准备的角度看，有确定目标、设计活动、设计评价、编写方案等若干个“微准备”；从主要教学行为角度看，有呈示、对话、指导等“微行为”；从教学辅助角度看，有激发动机、技术应用、期望实现、营造氛围等“微辅助”；从课堂管理角度看，有课堂问题的处理、预防等“微管理”等等.

开展对数学“微教学”的研究，其主要目的不在于验证某种理论，而在于解决实际问题，提高教学效率，实现教学的内在价值.研究的主要是数学教学问题，是自己教室里发生的问题，而不是某种教学理论的假设.我们关注的“微教学”研究是指教师本人在日常教学中亲自解决问题，而不是让教师把日常教学工作放在一边，而去专门研究.

“见微知著”，教师通过小问题、小课题、小策略，反思自己的教育教学，不断更新观念、改进教学行为、刷新方式方法.开展“微教学”的研究不仅是教师个人的教学探索，更具合作意义的集体研究，从而促进教师专业化成长.

相信老师们各自的教育、教学之道（传道授业解惑之道）是自己悟出来的而不是教或评选出来的，关键是要给大家正确的悟的机会.大家花大量时间参加各种培训，经历各种课例、教育小故事、教学小案例等，旨在让教师去正确地悟，仅此而已.

因为笔者缺乏或没有这方面的理论（其实，所有的理论都是对教学实践活动的一种解释或描述，而且只是基于“某个”立场或视角回答教学实践活动的基本问题）.有的仅是微教学实践中的一些小案例、小故事与简单体验及感受.所以现在请你和我换一个角度来看“教学”，把教学的问题推到微小之处甚至原点来思考.

因为研究自然，都是每天遇到的真问题，切入口小可操作，能直接改进我们的教学，所以“微教学”研究简便、可行、真实、有效（高效）！

二、“微环节教学”实践案例选析

（一）必修1

关于函数的单调性，重点和难点都是怎样用数学语言来刻画函数单调性的定义！

图形语言直观刻画——由左向右看呈上升或下降趋势.

文字语言定性刻画——函数的值随着自变量的值增大而增大或减小.

（有时候定性还不够，必须要定量.如某同学个子高，数学这次分数考得优秀，那么多高算高？多少分算优秀？）

符号语言定量刻画——？

如提问学生能否由1＜2＜3＜…＜99＜100，f（1）＜f（2）＜f（3）＜…＜f（99）＜f（100），推出函数f（x）在区间（1，100）上是递增的吗？为什么？（必须让学生说，或让学生画图演示）

教师提示：如若函数在区间（2，3）内“向下或向上拐了个弯呢？”.若进一步f（2）＜f（2.1）＜f（2.2）＜…＜f（2.9）＜f（3），或f（2）＜f（2.01）＜f（2.02）＜…＜f（2.09）＜f（2.1）……追问是否就可以了呢？那么如何确切地进行表述？

在引导学生得出“如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，若当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）……”定义前不要急于给出这样的数学语言表述！然后一条接一条的应用讲题目.因为这是学生第一次接触，要让学生真正领悟把握其实质！

定义的另一种表述：如果对于区间I内任意两个不同的值x1，x2，都有（x1-x2）［f（x1）-f（x2）］＞0（＜0），那么就说y=f（x）在区间I上是单调增（减）函数，I称为y=f（x）的单调增（减）区间.（因为同号相乘（除）得正，异号相乘（除）得负！）

或微变：如果对于区间I内任意两个不同的值x1，x2，都有，那么就说y=f（x）在区间I上是单调增（减）函数，I称为y=f（x）的单调增（减）区间.

这里几何意义比较明显：函数y=f（x）在区间I上图像上任意两点连线的斜率为正（负）！学习导数以后，就更暴露了数学的本质：导数（切线的斜率）大于（小于）零.

定义再探究：函数y=f（x）在区间I上图像上不存在两个不同的点，使经过这两点的直线垂直于y轴！（言下之意就是：函数y=f（x）在区间I上具有单调性）

变式问题：

1212.令（构造一个新函数）φ（x）=（fx）-x2=-alnx-，则（*）等价于函数φ（x）在区间（1，+∞）上为单调减函数，即等价于∀x∈（1，+∞），不等式恒成立，解得a≥-1.

因此，我们需要自然本质的数学教学，教学内容要直观化、本质化（多揭示数学本质——数学本质往往没有写在教材上，需要我们自己去体会和领悟），教学形式要自然简单.其关键是教师如何将教材中数学知识的学术形态转化为教育形态，以促进学生的数学理解、提高学生的数学能力和提升学生的数学素养.

（二）必修2

从平时的练习、检测中，总发现线面平行的判定定理、性质定理，面面垂直的性质定理有“漏洞”，感受教学不到位.

例如，如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，求证：BD1∥平面DEC1.

思路1：BD1∥OE（O=DC1∩CD1，构建三角形中位线，可称为“中心投影”法）.

教师出现思维定式，往往就此结束！其实你如果给时间让学生去根据“要证线面平行只要转化证线线平行，或转化为证面面平行”思考，会出现多种证法.

思路2：BD1∥DG（G= B1B∩C1E）.

思路3：BD1∥C1H（H= AB∩DE）.

（以上构建平行四边形，可称为“平行投影”法）

图1

思路4：教师先要求学生判断平面DEC1与平面BE1D1的位置关系，其中E1为B1C1的中点，可转化为证面面平行.

思路5：向量法：（1）用“基底”推证；（2）建立空间直角坐标系，用坐标算证.

微变：F是CC1的中点，试问是否存在一点E∈BC，使BD1∥平面DEF？说明理由.（除建立空间直角坐标系探究证明外）

要提问学生题设告诉我们线面平行，会带来怎样的信息？选择直线BD1外哪一个点由它们所确定的平面与已知平面相交？（这是线面平行的性质定理的运用，是难点也是关键点）

再变：H是BD上的点，平面CD1H⊥平面BB1D1D，求证：CH⊥BD.

即下面的问题：

如图2，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：AB⊥BC.

图2

很多学生感觉到是垂直，就是不知如何证明，无从下手（这是面面垂直性质定理运用的难点、关键点）.教师同样要引导学生动脑筋：题设告诉我们面面垂直，带来了怎样的信息？哪一个平面内有直线垂直于它们的交线？不确定或没有的怎么办？这时就自然想到要添加一条辅助线.问题突破并迅速解决.课堂上可以很好地调动学生的积极性，指导学生学习！参见文［11］.

教学定位要准确！

（三）必修3

笔者作为江苏人民教育家首批培养对象，2012年5月18日在“牵手农村教育”活动中，在滨海中学为全县高中数学老师开了一节新授课《简单随机抽样》.通过设计与滨海当地有关的4个情境3个小问题，说明抽样的必要性和重要性；引导学生自己得出抽签法并通过抽签的方法自己动手制作随机数表，帮助学生理解其合理性及其微操作步骤等.取得了比较好的教学效果，受到上课学生的欢迎和听课老师们的好评.详见文［6］.

因为平常的就是美好的.所以自然的、平实的、简约的课就是成功的、真实的、美好的课！

（四）必修4

《关于“三角函数的诱导公式”的教材和教学比较》就是一次微教学教研活动的收获.虽然推导的关键都是根据任意角三角函数的定义、两对称性点坐标间的关系，但在不同版本的教材（“一旧五新”教材：人教试验修订本，五种新课程版本如人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、湘教版等，参见文［14］～［19］）中却有一些不同的微处理方法.如新课程苏教版教材，它是先讨论任意两个角α与β的终边具有某种对称性时的三角函数之间的一般关系，然后用特殊角代入而得.许多老师在教授这个内容时（主要是我们江苏的教师），认为过去传统的方法好如人教版教材等，直接明了简单快捷！而苏教版教材的处理则间接了点，增加了一部分基础不够好的学生学习理解的负担.所以出现了“穿新鞋走老路”的现象，甚至在一些公开示范课、优秀课评选中仍然有这样的现象.笔者虽有些同感，但也不完全赞同.

通过采取不同的教学策略——传统的方法、部分新教材的方法等进行“同课异构（教）”，比较实践的效果发现，没有最好，只有哪一种方法更适合你所教的学生！（适合的才是最好的）或者整合得出并实践新策略.详见文［4］.

同样，《用向量推证差角余弦公式的一个微环节教学》也是一次微教学实践的案例.在引导学生用向量推导两角差的余弦公式的过程中，遇到了一个教学“微环节”问题：如图3，以Ox为始边作角α，β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），则向量sinα）与夹角是∠P1OP2=α-β吗？为什么总有cos＜a，b＞=cos（α-β）？

图3

通过与北师大版、湘教版、人教A版（2004年5月第1版和2007年2月第2版不一样，后者又进行了改进）、人教版B版等比较，然后再教学实践：一种方法侧重于教师的教；一种方法侧重于学生的学.自然直观简洁，学生满足愉快，教学效果挺好！详见文［5］.

（五）必修5

这里介绍一节“完整课”——3.4.1基本不等式的证明（苏教版数学（必修5）详见教材［18］）的微教学.

课本这节内容简介：基本不等式三种证明方法——比较法、分析法、综合法；两个例题——一是证明两个不等式：（1）≥2（a＞0，b＞0）；二是求函数的最小值.

现实是有不少老师照本宣科，很快把教学内容讲结束，然后就一条接着一条地讲题目，其跨度和难度都比较大，如都用上了证明题：已知a，b，c＞0，a+b+c=1，求证；在求函数的最值时不停地强调“一正、二定、三等（甚至‘四同’）”并在如何变形上大做文章等.

其实在很多微环节上，让学生探究的内容很多，如：关于情境（仅供参考）：

（2）从几何角度导入（解释）：

①a2+b2≥4ab=2ab（将边长为a，b的四个全等的直角三角形拼成一个以其斜边为边长的正方形，则正方形的面积不小于四个直角三角形的面积和）；

③圆中：半弦小于等于半径（若圆的直径为a+b，则其一个半弦为

（3）从代数角度解释：①两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；

②两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

关于证明（基于苏教版教材的安排）：

三种证明方法中，比较法较自然！学生易于理解.接下来怎么过渡到分析法和综合法上来呢？虽然从广义上说做什么事情都需要分析，但是数学上的分析法是什么？怎么表述和规范书写？实际教学中发现许多老师引入很生硬：强加于学生“执果索因”，其实，绝大多数的学生是被动接受的.

至于综合法只需说明一下，就是我们平常已经不知不觉地采用了的方法，如几何证明、一些代数证明等，先在草稿纸上画图等分析，然后通过因为…，所以…，又因为…，所以…，“由因导果”直推到最后的结论.它是分析法的逆过程.

关于例题：

讲例1证明的时候，应随学生的便，不要要求学生一下子到位——用公式！先让学生动手做，再强调用基本不等式简单.因为学生刚接触证明不等式≥2（a＞0， b＞0）≥2（a＞0）时，并非都想到运用基本不等式进行综合证明，事实上大多数学生用分析法或作差比较等.巡视、板演、投影会看到真实情况（分析法较多，因为被你刚才强加过），甚至有学生用“反证法”等：“假定≥2成立”……（只要你真的是想从学生处得到他们的想法、证法，可以说五花八门的奇葩方法将都会遇到）.

这里就关于“一正（已知）、二定（创造）、三等（可以）”中的“二定”谈点教学想法.

不能说学生这样做一无是处！事实上仅仅是最后下的结论不正确，前面都是正确的（你说哪儿错了？）.

可启发学生，根据例1先改编出一个引例：已知x＞0，求函数的最小值.

只有这样，学生才会对所谓的“一正（已知）、二定（创造）、三等（可以）！”有深刻的理解、强烈的印象！从而掌握得更牢固.

重结果，也要重过程！讲推理，更要讲道理！

本节课问题交流：

（1）如果学生预习过，再引导他们有哪些证明方法？你以为如何？有的公开课上让学生上黑板板演，但给人看似抄写！为什么不用投影？而大多板演的同课本证明书写差不多，这又能说明多大问题呢？有什么意义？

笔者以为概念性强且概念较多的课、实际应用问题课、习题讲评课等可要求学生提前预习一下；而有“创造性、探究性、规律性”等内容的课就不应要求学生预习.我一般不提倡预习，甚至反对数学新授课要求学生预习.因为这些知识预习后就失去了探究的意义，不利于学生探究能力和问题意识的培养，否则就有不少时间是在做秀.然而现在强调课前预习大行其道，如编写所谓的导学案、教学案，甚至要求课前预习的还要批改，将传统的做法丢得一干二净.教学贵在简单、贵在有效！

还有的老师又是走另一个极端：就书论书，直接呈现三种方法（指出这样的证明方法就叫分析法……）；有的干脆让学生看书有哪些证明方法.这是典型的“教教材”.当然，不能说这一点都没有用！

（2）关于“分析法”的导入，你们觉得哪样好呢？（回答上述问题）可选用如下问题试试：①已知a＞0，b＞0，求证；②已知a＞1，求证；③求证；④从学生的板演“假定≥2成立”……中订正、修改、完善、引入.

实际情况是，学生一般不会一上来就通过拼凑用公式进行综合法，而是大多数用的是“分析法”（当然有不会的）.“逼”着学生学习一种新的证明方法，而不通过简单的基本不等式介绍分析法证明（要让学生觉得自然，有必要）.

这种想法和上面的微变式等都是在“用教材”.所以，贴近学生的知识经验与能力基础，贴近学生的情感态度与思维状态，追求朴实自然的课堂教学，才是教学的正道.

（六）选修2-1

关于教材例、习题的微教学：教材［20］2.3.1双曲线的标准方程中的例2（2）“求a=2，经过点A（2，-5），焦点在y轴上的双曲线的标准方程”.

教材的出发点是好的，减轻学生的负担，让学生熟悉一下焦点在y轴上的双曲线的标准方程及其简单应用.事实上条件“焦点在y轴上”应该说是多余的.由于2＜所以双曲线的焦点不可能在x轴上，或若焦点在x轴上，则由=1得b2＜0，这不可能.

又教材［13］4.8.3节例2：已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1和P2的坐标分别为（3，-4），，求双曲线的标准方程.

这同样是一道用待定系数法、通过解方程组求双曲线标准方程的问题.因为求的是标准方程，且给出了既不关于坐标轴、也不关于原点对称的两个点的坐标，所以双曲线及其方程是确定的，因而焦点在哪个轴上也是确定的.可优化简单处理如下：设所求双曲线的标准方程为mx2-ny2=1（mn＞0）（无论焦点在哪个轴上），将点的坐标代入得故所求方程为=1，其焦点在y轴上.

本节后面的练习4第（3）小题中“焦点在x轴上”条件也是多余的.

要敢于质疑教材中的微问题！

解析几何的精髓是：用代数手段研究几何问题，因而一定的字母演算量是必不可少的（主要是以解方程（组）为主！），是其一个特色（当然还有分析探究及推理论证等）.事实上这是学生比较薄弱的地方，需要加强训练.

下面摘录笔者2014年10月在宝应中学开的一节教学视导指导课《解析几何中解方程（组）的运算问题》中的一个微案例.详见文［12］.

思路2：回避讨论，设mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）.

两种思路都是最基本的方法！（学生开始没有想到思路2，还有点责备自己）

结果绝大多数学生将两点的坐标代入mx2+ny2=1或=1（m＞0，n＞0，m≠n）不能自拔.机械地套用公式，缺乏具体问题具体分析！造成运算速度慢正确率低，甚至解不出（事实是很多学生都没有做出来）.我们要注意这个运算的微教学！细节决定成败！于细微处见功夫！

（七）选修2-2

推理与证明是高中数学课程标准中的新增教学内容，是对学生数学学习以来推理和证明的一次科学的概括和总结.但是在教到选修中的类比推理时，总觉得课本（如苏教版新课程实验教材、人教版A版新教材选修1-2或2-2等）上的例子较少，大多为传统的等差与等比数列的类比或平面几何与立体几何的类比.笔者在2012年2月的一次公开课《类比推理》中，尝试运用学生已经学过的圆锥曲线中的数学实例，将其数学知识的“学术形态”转化为“教育形态”作了一点微实践.详见文［8］.

椭圆、双曲线、抛物线性质的类比推理：

已知抛物线y2=2px（p＞0），椭圆=1（a＞b＞0），双曲线=1（a＞0，b＞0），如图4~6，K为与焦点F对应的准线l与x轴的交点，AB为过焦点的垂直于x轴的弦（通径）.

图4

图5

（1）在椭圆中求出直线KA的斜率，有什么特征？试类比在抛物线和双曲线中直线KA的斜率又有何特征？

图6

生②：由圆锥曲线定义可得kKA=tan∠AKF=（离心率）.

有趣的是，在抛物线和双曲线中直线KA的斜率的值仍是离心率e.

（2）在抛物线中，已知∠AKB为直角，则在椭圆和双曲线中∠AKB还为直角吗？

生：tan∠AKF=e，由于椭圆的e∈（0，1），所以∠AKF＜45°，从而∠AKB=2∠AKF为锐角.同理双曲线中∠AKB为钝角.

（3）在抛物线中，已知直线KA与抛物线只有一个公共点A，则在椭圆和双曲线中也有类似的性质吗？选择一个试试.

生：在椭圆和双曲线中有相同的性质.在椭圆中由上可知直线KA的斜率是离心率e，则直线KA的方程为y= ex+a，代入b2x2+a2y2=a2b2，得x2+2cx+c2=0，Δ=0，x1=x2=-c，所以直线KA与椭圆只有一个公共点A.

2005年全国高考湖南卷就考查了其中椭圆的这一性质.

微变化：若AB为过焦点F的一般的弦，如图7.

（4）试在抛物线中探索∠AKF与∠BKF的大小关系，并与椭圆和双曲线类比，可得到怎样的结论？

要求学生大胆猜测：无论是抛物线或椭圆或双曲线，均有∠AKF=∠BKF成立.师生共同探究：

思路①由Rt△AA′K～Rt△BB′K可得；思路②由kAK+kBK=0可得（建议学生课后做一做，课堂上没有推证）.

（5）如图7，已知抛物线中，以过焦点F弦AB为直径的圆与相应的准线相切（课本［20］习题），则在椭圆和双曲线中也有相同的性质吗？试试看.

图7

生：由AB是特殊位置（通径）时，根据（1）知，椭圆中AF＜KF，所以猜想以AB为直径的圆与相应的准线相离；同样双曲线中AF＞KF，可猜想以AB为直径的圆与相应的准线相交.

类比抛物线的几何证明，结合用圆锥曲线的统一定义可简单推导如下：在直角梯形ABB′A′中，AB的中点到准线l的距离由e的范围即得猜想正确.

一点想法：这些较之一般的对解几大题“难而繁”的考查要新颖、活泼，富有创意.然而现在的高考试题在这方面的尝试比较少，希望能出现更多考查学生创新能力的试题.

（1）考察数阵：数阵中各数字之和为（1+2+…+n）n，对角线左侧（含对角线上的数）各数之和为s2（n）（第i行各数之和为i2），对角线右侧的各数之和（每一列先加）为1+（1+2）+…+［1+2+…+（n-1）］.

所以（1+2+…+n）n=s2（n）+1+（1+2）+…+［1+2+…+（n-1）］，即得s2（n）

微变化：因为n2=1+3+…+（2n-1），则下列数阵各数字之和为n2·n=n3，对角线左侧（含对角线上的数）各数之和为s2（n）（第i行各数之和为i2），对角线右侧的各数之和（每一列先加）为1×3+2×5+…+（n-1）×（2n-1）.

所以，n3=s2（n）+1×3+2×5+…+（n-1）×（2n-1）=s2（n）+［（2×12-3×1+1）+（2×22-3×2+1）+…+（2n2-3n+1）］=3s2（n）即得s2（n）.

（2）考察图8：将单位正方体摆放在四棱锥S-ABCD（SD⊥底面ABCD正方形）内部，共n层，第i层有i2个.因为四棱锥的体积又所有单位正方体的体积和为s2（n），正方体与四棱锥各个面之间的空白处的体积（自上而下的和）为所以由V=s2（n）+V′得s2（n）.以上详见文［9］.

图8

（3）考察等式：Sn=1·1·2+2·2·3+3·3·4+…+（n-1）·（n-1）·n+n·n·（n+1）.（1）

Sn=1·1·2+2·2·3+3·3·4+…+（n-1）·（n-1）·n+n·n·（n+1）.（2）

将两式错位相减得

0=2+（3·22-2）+（3·32-3）+…+（3·n2-n）-n2（n+1）.

所以3（12+22+…+32）=n2（n+1）+可得s2（n）.

教育对于学生意不在求专精，而在求旁通.重要的是使你和学生对本学科之外的东西有所见闻，养成一种全面的学科素养、文化气质.

（八）选修2-3

关于学生讲文明用语的一个微调查报告数据分析.详见文［10］.

教育不是冰冷的，不是单轨的，不是机械的，她是温文的，双轨的，带有浓浓人情味的.

（九）选修4-2

“开天窗”——我的微教学研究中的一个呈示环节.参见文［2］.

关于矩阵与变换的本质：

原函数y=f（x）图像新y′=g（x′）

原曲线f（x，y）=0新g（x′，y′）=0

“简真课堂（简约求真的课堂），启智数学（启迪智慧的数学）”，一直是我高中数学教学的探索与追求.

（十）高考微说

这是教学评价回避不了的话题，此略.可参见文［11］.

上述讲述了我们老师自己的微案例，让我们不断地尝试着“像专家一样思考”.

三、“微教学”的思考

1.请你设想一下，如果安排你上一节课，你在上课前会想些什么？将作些什么样的准备？

我自己的做法.（虽然不全是我自己总结出来的，但却是自己一直自觉并坚持这样做的，且在实践中进行了补充）

基本上做到并坚持“三次备课”：

第一次备课（个人独备）——摆进自我，不看任何参考书与文献，全凭个人的见解准备方案；

第二次备课（集体备课）——广泛涉猎，分类处理各种文献、资料、同行的不同见解（我有他有，我无他有，我有他无）等后修改方案；

第三次备课（教学后记）——边教边改，在预设与上课的不同“微环节”中，记住困难（课堂各种生成）与顺利之处，课后再“备课”改进.

“三个关注”：关注自我经验等、关注文献资料等、关注课堂实际等.

备课中不足的就有目的自觉地弥补.不光如此，每节课的教案写好以后，这节课的程序或有些难讲的内容还会在脑子里转，常在上班的路上或小歇的时候等在头脑里试讲一下.每节课前还准备一小纸条简案（“微型教案”）——上面有上节课作业中出现的典型问题与解决办法、本节课流程、板书的设计和需要通过课堂实际检验关注的问题等.每节课都提前进教室，等到上课铃声响了，已经在黑板右侧一固定的地方写上一点我认为对学生这堂课的学习有帮助的东西（已毕业的学生称之为“开天窗”——我的微教学中的一个呈现（展示）环节）.每节课下来总是急切地记着点什么，如自己在教学实践中琢磨出来的新思路，同行们在教学杂志上的新教法，学生们在作业中出现的新方法，都被不断地补充到我的用红、兰、黑等不同颜色的笔记录的如同不断刷新的“网页”的教案上.

关于教案.教师应该有自己个性化的教案（如今不仅只是电子稿，更要有手书的文本），从教多年的教师至少要能拿出一套像样的教案.教学反思未必要写在规定的位置如教案的最后，而最好是用不同颜色的笔写在教案的各个角落，这才是真的.（与众不同的“详细教案”，是微教学的一个资源.）

2.每当我们回忆起自己的课堂体验，或听别人上课，往往会想到某某老师的课上得好，很喜欢听他的课，某某老师的课上得不怎么样，不愿意去听.你能说说课上得好的老师有什么特点吗？

是不是老师讲课很生动，有条理，所展示的课件很有技术含量？也许就是这些教学行为吸引着你.正如一项研究所发现的那样，教师使学生对课发生兴趣的最重要的一个原因，就是他们善于采取多样的教学行为.那么，怎样运用这些教学行为才能吸引学生呢？上面我们在一些微环节方面探索过.

首先，教学内容要合理定位，设计的问题不能偏多、偏难！否则你就自己一个人唱戏吧.要多了解、理解你的学生.

尽最大可能地通过直接教学策略与间接教学策略调动学生学习的积极性、发挥其主体作用！

数学是自然的、好玩的、清楚的、有用的，因此我们要多让学生动手、动口、动脑体验数学，在操作过程中“做数学”、在合作交流中“说数学”、在联系实际中“用数学”.

“教，重要的在于听”，要倾听学生的需求，哪些需要教师讲，哪些不需要老师讲.学生有困难时你再去启发，他“跌”倒了你再扶他.“学，重要的在于说”，就是要让学生多在课堂中间说说，如果学生能用自己的话说出自己对于所学内容的理解，说出思考，自己对哪些内容还没有学懂，说明他是真的学习了.

不要或不能总是把教变成目前的“煎、炒、烹、炸”.不要或不仅仅是把数学学习当成现在的听、记、算、背.课堂要简约、求真.

3.你是怎样布置和处理学生的作业、练习呢？

在学生的书面表达中最能发现他们的智慧、闪光点，虽然课堂上的口答、板演、讨论也能发现，但有限.

在课后让学生做什么样的习题，做多少才能达到精练高效，我倾注了很多时间.一般情况下总是根据教学内容及课堂教学的实际灵活多样（删、换、改、添）的布置作业.每次都能出现：去掉本节课学案后面作业（或配套资料××页练习）中的××条、××条（以减轻学生的课业负担）；将某一题的某个条件或某一题的某一小问改为……或将课上讲的某一问题再增加一小问……（模仿和拓展培养学生的基本技能）等等.作业应是课堂问题的微变、拓展、巩固！

我尽量做到少留作业，同比总是最少的，学生很喜欢，每次布置练习时，他们都会热切地期待.

“呼唤所有学生共享数学思考的乐趣”这句话，一直深深地印在我的心底，“学生是人”，这一最神圣而又经常被人们忘记的事实，在我思想中已经化为一种文化自觉.若干年来，我一直用科学的思维训练在践行着“减负”的方针，我把我对数学的理解传给了“人”而不是“机器”.

教育不能追求“高效”，立竿见影，制作快餐，而是需要教育本身的原味.

4.怎样教得有效，怎样教得更好或更有意思？

这是我们千万次问的问题.教学即研究，研究才能教得更好，研究才能教得更有意思！“微教学”就是一种尝试和实践.让我们通过微教学研究去感悟寻找答案吧！以上参见文［3］.

可是，目前高中数学教学还存在着如下一些微环节教学中的困惑：

（1）集体备课存在的问题.（2）数学课一定要预习吗？（3）有教材，还需要每节课都编写教学案或导学案吗？（4）多开设一些常态、平实的数学公开课.（5）课堂教学互动中的误区.（6）关注课堂预设，关注多少课堂生成？（7）学生的自主探究要注意内容和一个度.（8）数学教学的进度、难度问题.（9）如何科学、有效的组织、布置作业（练习）.（10）检查考评（教学评价）等应去烦琐化等.详见文［7］.

实事求是地说，目前我们的数学教学存在许多急需改进的地方，教育要少一点外部干扰（各种考评指标等），少一点内部折腾（今天学习这个经验、那个模式，明天又效仿另一现象、做法等等）.教育需要的不是花样翻新与眼花缭乱，而是执着的坚守与朴素的实践！

因而我们任重道远！我们要讲良心、负责任、增本领，团结协作，相互支持，要有担当.工作要尽心、尽责、尽力，用力、用心、用情！

细节决定成败！于细微处见功夫！成功就是将别人坚持不下去的事坚持做下去！梦想是要有的，万一实现了呢？

微教学——位微不卑、课微不小、步微不慢、效微不薄.

教得有效，学得愉快（实在），考得满意——这是教育的光荣与梦想，原与各位同仁共勉及与我们的学生一起圆梦！

1.崔允漷.有效教学［M］.上海：华师大出版社，2010年8月.

2.喻平.著名特级教师教学思想录（苏派教学·中学数学卷）［M］.南京：江苏教育出版社，2012年1月.

3.黄桂君.慎教善导激趣启智——呼唤所有学生共享数学思考的乐趣［J］.G312高中数学教与学，2015（6）.

4.黄桂君.关于“三角函数的诱导公式”的教材和教学比较［J］.G312高中数学教与学，2014（11）.

5.黄桂君.用向量推证差角余弦公式的一个微环节教学［J］.中学数学（上），2014（4）.

6.黄桂君.记新课程中“非重点”、“难讲”内容一节课的教学［J］.G312高中数学教与学，2013（7）.

7.黄桂君.关于高中数学教学现状的反思与建议［J］.中学数学杂志，2012（11）.

8.黄桂君.圆锥曲线性质的类比——类比推理教学中的经典案例［J］.数学通报，2012（8）.

9.黄桂君，徐春林.关于合情演绎推理的一个教学案例［J］.数学教学，2008（6）.

10.黄桂君，徐春林.记一节选修课‘独立性检验’的教学［J］.数学教学研究，2012（1）.

11.黄桂君.2015年全国高考数学（江苏卷）考试说明解读及复习建议［J］.中学数学月刊，2015（4）.

12.黄桂君.解析几何中解方程（组）的运算问题［J］.新高考（高三数学），2015（5-6）.

13.中学数学室编著.全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第二册（上）［M］.北京：人民教育出版社，2000年12月.

14.中学数学室编著.全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第一册（下）［M］.北京：人民教育出版社，2000年11月.

15.课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书数学4必修A版［M］.北京：人民教育出版社，2007年2月.

16.课程教材研究所中学数学教材实验研究组编著.普通高中课程标准实验教科书数学4必修B版［M］.北京：人民教育出版社，2004年9月.

17.课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书数学必修4［M］.北京：北京师范大学出版社，2004年7月.

18.苏教版新课程编写组编写.普通高中课程标准实验教科书·数学5（必修）［M］.南京：凤凰出版传媒集团江苏教育出版社，2007年6月.

19.湘教版新课程编写组编写.普通高中课程标准实验教科书（必修）数学第二册［M］.长沙：湖南教育出版社，2005年8月

20.苏教版新课程编写组编写.普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）［M］.凤凰出版传媒集团.江苏教育出版社，2012年7月.

*本文是江苏省教育科学“十二五”规划立项课题“基于MPCK的高中数学教学策略研究”（R-c/2011/13）研究成果之一.