关于高中数学新旧教材“集合概念”编写方式的比较分析

重庆市渝中区教师进修学院 (400015) 王跃辉

关于高中数学新旧教材“集合概念”编写方式的比较分析

重庆市渝中区教师进修学院 (400015) 王跃辉

集合论的语言是数学通用的标准化语言，集合的理论已成为现代数学的基础理论．因此，不论是《全日制普通高级中学数学教科书》(以下简称旧教材)，还是《普通高中课程标准实验教科书》(以下简称新教材)，都把它作为高中数学学习的第一个内容来安排．但是，新旧教材在处理“集合”概念这一内容时，由于其描述方式和编写方式的不同，导致教师的教学理念和学生的学习理解也会发生变化．为帮助教师更好地分析、理解教材和创造性地使用教材，在课堂教学中更好地体现新课程理念，达成课程预期目标，本文将对其进行比较分析，进而给出在新课程背景下“集合”概念教学的一种设计流程图，供大家教学时参考．

1．集合知识编排的处理分析

众所周知，由于集合论具有高度的抽象性和概括性，因而学生很难对其理解、掌握和应用．为了解决这些问题，现行的中小学数学教材把集合论的知识分成三个阶段，让学生逐步理解和掌握．

在小学阶段，教材主要采用渗透集合思想的方式，用集合的图示法让学生直观理解和体会集合思想方法的作用．如，小学在讲数的加法时就用了集合的并集思想，在讲数的减法时就用了集合的差集思想，而在讲两数的最小公倍数和最大公约数时则用了集合的交集思想．在初中阶段，教材进一步向学生介绍一些具体的集合，并用集合来定义数学概念，但不涉及集合的意义，只要求学生对集合有比较具体的认识即可．如，在初中代数中向学生介绍了“自然数的集合”、“有理数的集合”、“不等式解的集合”等，在平面几何中讲圆的概念和线段的垂直平分线的概念时，都用集合来定义．到了高中阶段，教材才让学生系统地学习集合论的初步知识．这种螺旋式上升的处理方式既考虑了各个阶段学生的年龄特点和心理特征，又考虑了学生的认知水平和能力，对于学生理解和掌握集合起到了很好的作用．

2．集合概念描述的比较分析

集合是一个原始概念，不能用其它数学概念来加以严格定义，只能用自然语言给予描述和解释．由于人们理解的角度不同，因而就有不同的描述或解释方式，新旧教材也正好反映了这一事实．其中，旧教材把集合表述为“某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．集合中的每一个对象叫做这个集合的元素．”而新教材则把集合表述为“我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集．”这两种表述，哪一种更能反映集合的本质属性，更有利于学生对集合概念的理解和掌握呢？试做如下比较分析：

从形式上看：一是两种方式中集合与元素的描述顺序相反．旧教材需要学生先把“对象”转化为“元素”才能理解“集合”的概念，给学生造成理解障碍，而新教材却不需要学生去进行这种“转化”；二是旧教材的表述直观，易被学生接受，而新教材的表述过于简单，比较抽象，不如旧教材的表述直观；三是新教材采用了“…叫做…”的表述方式，这是在对数学概念下定义，“描述”和“解释”的味不如旧教材．

从内容上看：一是旧教材用“集”来说明什么是“集”，其中前一个“集”是动词，后一个“集”是名词．这种多义词在一个数学概念描述中同时出现，容易引起歧义，也有循环定义之嫌，不利于学生理解其概念；二是新教材的表述中，也存在两个问题：首先是量词“一些”用法不准确，从字面上理解“一些”应该是不止一个且有限，而集合中的元素个数可以只有一个或有限个(两个以上)，甚至是有无限个，集合中也还可以不含任何元素；其次是定义中的“一些元素”没有要求“具有某种共同属性”，不能很好地反映集合的本质属性，容易使学生对“集合”概念造成错误的认识．

为此，建议教材编写者在对教材修订时采用这样一些描述方式： “一般地，我们把研究对象统称为元素，把某些确定的元素合在一起就成为一个集合”、“ 一般地，我们把研究对象统称为元素，把满足某种条件的元素合在一起就成为一个集合”、“一般地，我们把研究对象统称为元素，把具有某种属性的元素并在一起就成为一个集合”，……．

3．教材编写方式的比较分析

3．1 开章引言的比较分析

新教材在开章引言中简明扼要地对集合的本质、地位和作用做了一些具体说明，让学生了解集合论是数学研究的一个基本工具，使学生明白将要学习的集合知识对数学的后续学习的重要性．

旧教材在开章引言中以问题“学校举办了一次运动会，某班有8名同学参赛；又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会这个班共有多少名同学参赛？”着手，让学生通过问题的解决了解将要学习的新知识是与生活有关的，它可以帮助我们解决生活中类似的问题．这个问题情境的设计，较好体现了高中数学新课标对教材编写的建议:“教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识发生,发展的过程,使学生能够从中发现问题,提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.”不仅让学生一进入高中数学学习就明白高中数学知识是有用的，从而激发学生学习的求知欲，提高学生数学学习的自觉性，而且也在小学数学与中学数学之间建立了一定的联系，使小学数学与中学数学的衔接自然、流畅．

由上可知，新教材重理论体系，给学生传递的信息是为了学好后继知识而学数学．旧教材尽管仅以“集合的初步知识是高中数学学习的重要基础”一带而过，没有对其进行具体阐述，但是所给问题情境却把新知识与生活联系了起来，体现了数学与生活的关系，发展了学生的应用意识，凸显了数学向生活世界回归．因此，在开章引言的处理方式上旧教材比新教材要好．

3．2 正文编写的比较分析

旧教材首先指出：“在初中数学中，我们已经接触过‘集合’一词．”然后列举了初中数学代数和几何中的一些具体集合，最后给出集合概念的描述．

新教材则是首先指出：“在小学和初中，我们已经接触过一些集合．”然后列举了初中数学代数和几何中的一些具体集合，同时还从数学的角度、生活的角度、生产的角度和科技的角度等列举了8个集合的例子，然后给出集合概念的描述．

下面就这两种不同的处理方式做如下分析：

第一，两种教材都注重初高中数学知识的衔接，新教材还注意新知识与小学数学的联系，但两种教材的导言都存在表述不够严谨的情况．一方面，从前面对中小学数学教材中集合内容的处理方式分析可知，在小学只是向学生渗透了集合的思想方法，学生在运用集合思想方法的过程中并没有“接触过一些集合”；另一方面，学生在初中数学中不仅知道了一些具体的集合，而且还知道了一些用集合定义的数学概念，不仅仅只是“接触过‘集合’一词”．

第二，两种教材都关注学生的已有知识经验，尤其是新教材还关注学生的生活经验．因此，它们都要求教师的教学要从学生的已有经验出发，通过对已有的一些具体集合实例的分析与研究，去揭示集合的本质属性．

第三，两种教材都采用特殊与一般的方法来编写，注重对数学思想方法的渗透．它要求教师的教学要从具体实例中抽象概括出集合的概念，向学生渗透特殊与一般的数学思想方法，让学生经历概念的抽象概括过程．

由上可知，旧教材从例子到集合概念是一个从数学到数学的过程，它关注的是学科本身．尽管它对学生的数学能力培养有一定的帮助，但缺少数学与生活、与社会、与相关学科和与科技领域等的联系．陶行之先生说：“没有生活做中心的教育是死教育．没有生活做中心的学校是死学校．没有生活做中心的书本是死书本．”然而，新教材在这方面却做了很好的弥补．这两种不同的编写方式也正反映了两种不同的教材观．

4．教学设计流程建议

根据以上分析，我们给出如下图所示的教学设计流程图，供大家教学时参考．

第一步，创设问题情境：教师根据学生的生活经验创设一个能采用集合的图示法解决的问题，以此引出本节课的课题．

第二步，列举集合实例：包括日常生活、相关学科、科技领域等方面的例子．

第三步，研究集合中的对象：主要让学生通过对所列集合实例的研究，揭示集合的本质属性，让学生明确“集合”与组成集合的“元素”具体是什么对象无关紧要，但同一个集合中的元素都具有共同的属性或满足相同的条件，为概念的形成做准备．

第四步，描述集合概念：要求学生采用特殊与一般的方法给出集合的描述性定义．