赏析“新定义型”数列

浙江省金华市第六中学 (321000) 胡奇宝

赏析“新定义型”数列

浙江省金华市第六中学 (321000) 胡奇宝

近年来，全国各地高考试题或各地模拟试题中出现了一种“新定义型”数列，这种数列问题情境新颖，阅读量明了简短，让答题者眼前一亮的同时犹如一股清新之风迎面吹来，令人神清气爽.在领略了题目的真意之后，更体会到了命题人的匠心独具和创新精神．

“新定义型”数列给出一种不同于常规的新概念、新性质、新运算、新符号，旨在考查学生对数学基础知识、基本方法、基本技能的掌握情况,而且考查了学生的创新思维能力.正是由于这种总揽各种知识方法、能力的特点使得“新定义型”数列，如同一朵清新的小花成为全国各地考题的新宠．现采撷几朵与同行交流欣赏，不妥之处请批评斧正．

一、无穷互补数列

题1 对于无穷数列{an}与{bn}，记A={x|x=an,n∈N*,B={x|x=bn,n∈N*},若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*,则称{an}与{bn}是无穷互补数列．

(1)若an=2n-1,bn=4n-2,判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理由；

(2)若an=2n且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数列{bn}的前16项的和；

(3)若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列且a16=36,求{an}与{bn}的通项公式．

解析：(1)因为4∉A,4∉B,所以4∉A∪B,从而{an}与{bn}不是无穷互补数列．

(3)设{an}的公差为d,d∈N*,则a16=a1+15d=36．

评注：要证明一个结论不正确，只要举出一个反例即可，而要证明结论正确，必须经过严格的推理论证．

二、H数列

题2 设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称数列{an}是“H数列”.

(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*),证明: 数列{an}是“H数列”;

(2)设数列{an}是等差数列,其首项an=1，公差d<0.若{an}是“H数列”,求d的值；

(3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn(n∈N*)成立.

评注：本题简洁明了，计算并不复杂，着力考查学生探究能力、推理论证能力.把一个等差数列“分解”成两个“H数列”，就构造适合条件的数学对象而言，本身就蕴涵着创造，“分解”答案不唯一，这正是本题的魅力所在.

三、T数列

(1)若an=-n2+9n,(n∈N*)，证明：数列{an}是T数列；

综上，数列{an}是T数列．

评注：本题背景新颖，设问流畅，层次感强．命题者设计了关联程度高的三个问题，使本题有较强的区分度、效度和信度．第一小问是新定义数列的简单应用；第二小问是给出一个具体数列，满足T数列的条件，求出参数M的取值范围；第三小问则要求解题者能够灵活使用作差法，熟练运用分类讨论的数学思想方法，有一定的难度．

四、p-摆动数列

题4 定义数列{xn}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有(xn+1-p)(xn-p)<0成立，那么我们称数列{xn}为“p-摆动数列”．

(2)设数列{cn}为“p-摆动数列”，c1>p,求证：对任意正整数m,n∈N*，总有c2n

(3)设数列{dn}的前n项和为Sn，且Sn=(-1)n·n,试问：数列{dn}是否为“p-摆动数列”，若是，求出p的取值范围；若不是，说明理由.

解析：(1)假设数列{an}是“p-摆动数列”，即存在常数p，总有2n-1

(2)由数列{cn}为“p-摆动数列”，c1>p,即存在常数p，使对任意正整数n，总有(cn+1-p)(cn-p)<0成立.即有(cn+2-p)(cn+1-p)<0成立.则(cn+2-p)(cn-p)>0，所以c1>p⟹c3>p⟹…⟹c2n+1>p,同理(c2-p)(c1-p)<0⟹c2

(3)当n=1时，d1=-1,当n≥2,n∈N*时，dn=Sn-Sn-1=(-1)n(2n-1).综上，dn=(-1)n(2n-1),即存在p=0，使对任意正整数n，总有dndn+1=(-1)2n+1(2n-1)(2n+1)<0成立，所以数列{dn}是“p-摆动数列”；

当n为奇数时dn=-2n+1递减，所以dn≤d1=-1,只要p>-1即可，当n为偶数时dn=2n-1递增，dn≥d2=3,只要p<3即可.

综上-1

评注：从学习数列的角度看，强调数列是特殊的函数，就是说研究数列可以借鉴函数的方法来研究项(通项)与项数间的关系和项与项间的(递推)关系．本题既考查了两个特殊数列(等差、等比)及研究问题的方法，又考查了研究数列的核心问题(通项、递推)．以课本摆动数列的定义为线索，改变题目原有的呈现形式，来实现对教材中问题的适当延伸或拓展．

五、ω域收敛数列

所以，当-n2+5>0⟹n≤2时，|bn+1|>|bn|;同理可得，-n2+5<0⟹n≥3时，|bn+1|<|bn|.即数列{|bn|}在n=1,2,3时，递增；n≥4时，递减；即|b3|是数列{|bn|}的最小值．

评注：本题以“ω域收敛数列”为载体，融合了数列单调性﹑分类讨论等知识与思想方法，着重考察了学生阅读、分析、理解能力，是一道不可多得的新定义型试题.

后记：以上“新定义型”数列题考查了学生阅读和理解能力，同时考查了学生对新知识、新事物接受能力和加以简单运用的能力，考查了学生探究精神．要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂和理解新定义，获取有用的新信息，然后运用这些有效的信息进一步推理，综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力(多想少算甚至不算)．因此，“新定义型”数列在高考中常有体现，是一种用知识归类、套路总结、强化训练等传统教学方法却难以解决高考中不断出现的新颖试题．