问题引领 自主建构*——听“函数y=Asin(ωx+φ)的图像”课有感

江苏省丹阳市第五中学 (212300) 李 萍 王圣光

问题引领 自主建构*
——听“函数y=Asin(ωx+φ)的图像”课有感

江苏省丹阳市第五中学 (212300) 李 萍 王圣光

笔者有幸参加了“2015年江苏省高中青年数学教师优质课观摩与评比”活动，观摩了6节风格迥异且精彩纷呈的“函数y=Asin(ωx+φ)的图像”，感受颇深，下面结合这6节课，笔者谈一些粗浅的看法：

1.让抽象成为一种意识

精彩片段一

课例A课例B (投影)展示盐城市某公园摩天轮运动的动画.师:这是盐城市某公园的摩天轮在周而复始的转动,你能否用数学的眼光观察它呢?(简洁明了,引导学生用数学的眼光看世界)生1:可以把它看作是一个点的运动,它的轨迹是一个圆.师:回答的很好,为了研究问题方便,我们将这个圆放在平面直角坐标系xOy中,使圆心与坐标原点重合(如图所示),设P0为圆O上一定点,∠P0Ox=φ,动点P从P0点开始沿圆O逆时针转动,角速度为ω,则在第t秒时,以x轴的非负半轴为角的始边,射线OP为终边的角是多少?生2:ωt+φ.师:很好!若设圆O的半径为A,此时动点P的纵坐标又是多少呢?生3:y=Asin(ωt+φ).…… (投影)利用画图软件展示弹簧振子的运动随时间的变化形成的曲线.师:这种运动就是我们在物理中学习的简谐运动,位移s和时间t的关系为s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),其中:A为振幅;T=2πω为周期;f=1T为频率;ωt+φ为相位;φ为初相.在物理和工程技术的许多实际问题中,经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数,我们该如何研究它呢?……

评析:(1)《普通高中数学课程标准(实验)》中要求教学要"结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义".上述两个课例都是通过创设问题情境建立函数模型，从直观上感受y=Asin(ωx+φ)的实际意义，激发学生的求知欲.课例A是教师通过问题串的引领，层层递进巧妙的抽象出函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)；课例B是直接从物理学知识将所得函数从具体实例中抽象出来，两者都注意到了培养学生将实际问题"数学化"的能力，培养学生用数学的眼光看世界的意识，培养学生的抽象意识.

(2)课例A所设计的问题串需要学生主动参与、主动思考才能获得函数模型，体现了学生的主体参与地位，符合建构主义教学理论；课例B是直接从物理学知识将所得函数从具体实例中抽象出来，忽略了学生的思维过程，不利于学生思维能力的提升，事实上，课后笔者询问本班学生，他们物理上还没有讲到简谐运动部分.

(3)课例B抽象出函数s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)后，直接给出了名词“振幅”“周期”“频率”“相位”“初相”的解释，当然教材中也是这样设计的，但这可能是不合时宜的，因为他们物理上还没有讲到简谐运动部分，仅仅通过一个具体实例还不能使学生对s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)这一周期现象从心理上认可，笔者认为当学生对函数s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)有了进一步的认识后再介绍这些名词效果可能会更好，可以做到既忠于教材，又不拘泥于教材.

2.让探究成为一种习惯

精彩片段二

师：我们抽象出了函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)，接下来我们该如何研究它呢？(引导学生用数学的思维分析世界)

生4：研究它的性质.

师：如何研究它的性质？

生5：画图像.

师追问：怎么画它的图像？

生6：五点作图法.

生7：可以通过计算机作图.

师：很好！通过高科技手段作图.

师继续问：还有哪位同学要补充？

(教室静，学生在思考，此时无声胜有声！)

教师适时提示：我们在研究指数函数时是怎样研究函数y=2x与函数y=2x-2,y=2x+2的关系的(苏教版必修1第66页例3)？

生8：哦，图像变换！

师：大家提供了三种作图的方法，哪一种比较合适呢？

生9：可以像原来(研究函数y=2x与函数y=2x-2,y=2x+2的关系)那样，通过描点作图，来研究图像变换，再通过计算机作图验证.

师：用原来的方法研究遇到的新问题，这也是我们研究问题常用的方法，既然如此，这个函数可以通过哪个函数变换得到？

生齐答：y=sinx.

师：函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)有三个参数A,ω,φ，我们先研究哪个呢？

生10：y=sin(x-φ)与y=sinx的关系.

师：很好！将复杂的问题简单化 ，下面大家开始分小组探究吧.

(大约3分钟后，教师让学生实物投影研究成果并加以解释.)

……

精彩片段三：

师：刚才这位同学用五点作图法作出函数图像，得出了函数y=sin(x-1)的图像是由函数y=sinx的图像向右平移1个单位长度而得到的，然后又归纳出函数y=sin(x-φ)的图像是由函数y=sinx的图像向右(φ>0)或向左(φ<0)平移|φ|个单位长度而得到的，由具体的例子归纳出一般性的结论，由特殊到一般，非常棒！但是，这位同学着重强调了这五个点的变化情况，其它的点是不是也是这种变化呢？哪位同学可以补充说明？

生11：多找几个点验证.

师追问：多找几个点就可以说明图像上的所有点都是这样变化的吗？我们以前遇到过类似的问题吗？

师：(生思考大约1分钟，师提示)比如函数的单调性的定义中的“任意的两个值”我们是怎样处理的？

生12：找代表！

师：你能不能证明给大家看呢？

生12：可以，设点P(t,sint)是函数y=sinx的图像上的任意一点，向右平移1个单位长度后得到点P′(t+1,sint)，经验证点P′在函数y=sin(x-1)的图像上，所以是向右平移1个单位.

师：通过点P(t,sint)的任意性证明了我们的猜想，你能不能描述的再规范点呢？(引导学生用数学的语言表达世界)

生12：函数y=sin(x-1)的图像是由函数y=sinx的图像上的所有的点向右平移1个单位长度而得到的.

师：非常棒！

……

评析:(1)《普通高中数学课程标准(实验)》指出：“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，…，高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.”这部分教学采用了教师引导，学生合作探究的形式，让学生体验了发现问题和解决问题的历程，培养了学生的合作交流的意识、探究意识和创造意识.

(2)探究内容是建立在学生已经掌握了函数y=sinx的概念、图像和性质以及函数的概念、函数的性质、函数的图像和函数图像的平移变换(特别是学习指数函数时掌握了函数y=2x与函数y=2x-2,y=2x+2的关系)的基础上，教师采用了逐步设疑、诱导、解疑，引导学生去发现问题、解决问题，由学生主动建构研究问题的方法，用合作探究的方式去解决问题.这恰是建构主义学习理论所主张的“学习不是由教师直接传递给学生，而是由学生自己主动建构知识的过程，这种建构无法由他人来替代”的体现.

美中不足的是，教师引导学生发现用图像变换的知识研究函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)与y=sinx的关系后，虽然学生说出了先研究函数y=sin(x-φ)与y=sinx的关系，但是学生真的清楚为什么先研究这两者的关系吗？学生是不是预习时从书上看到的呢？

笔者认为，教师此时应追问为什么要先研究这两者之间的关系，学生如果回答不出来，教师再适时加以引导：我们以前研究过含多参数的函数吗？(学生应该能联想到二次函数)当时我们采用了什么方法来研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=x2的关系？

经过这样的引导，学生更容易领悟到多参数问题需要采用“分而治之，各个击破”的方法研究.

(3)在探究过程中，师生共同经历了“观察——猜想——验证——归纳——总结”这一数学过程，教师让学生体验了研究问题的过程，学生学到了研究问题的一般方法：复杂——简单——复杂，一般——特殊——一般.

(4)当学生遇到困难时，教师并没有直接告知答案，而是谨慎的启发、引导学生的思考，“我们以前遇到过这类问题吗？函数的单调性的定义中的“任意的两个值”我们是怎样处理的？”教师充分借助学生已有的发展水平，立足“最近发展区”，通过谨慎的提示，激发学生学习的热情，促进学生积极的思考，在问题串的引领下实现问题的发展，培养了学生思考问题、分析问题和解决问题的能力，提升了学生的思维品质.

(5)本探究过程经历了下面四个阶段：

①理解问题：从实际问题中抽象出函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)后，我们该如何研究它呢？它的性质如何呢？我们该通过什么方法研究它的性质呢？它的图像是怎样的呢？我们怎么画出它的图像呢？这一系列的问题呈现在我们面前，我们应该先研究哪个呢？师生共同发现函数的图像是这些问题的基础，进而决定本节课研究的重点是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像.

②拟定计划：函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)受A,ω,φ三个参数的影响是作图的难点，教师引导学生联想：我们以前研究过含多参数的函数吗？当时我们采用了什么方法来研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=x2的关系？最终确立了采用“分而治之，各个击破”的方法作图，拟定了作图计划，突破了难点.

③执行方案：怎么分别研究y=sin(x+φ),y=Asinx,y=sinωx呢？作图过程让学生经历了“观察——猜想——验证——归纳——总结”的数学活动，归纳出一般的结论.

④回顾反思：由五点作图法得出的结论正确吗？由计算机作图给我们的直观感受是对的吗？能否有更深入的思考？图像的变换归根结底是点的变换，通过图像上任意一点的平移去理解图像的平移，加深了学生的理性思考，从而实现了从“形”到“数”的突破，使学生达到心理上的认可，也培养了学生的质疑精神.

这四个阶段也是波利亚在《怎样解题》一书中提到的解题的四个阶段.这四个阶段具有普适性，我们可以把它应用到各种各样的问题中，代数的、几何的；数学的、非数学的；理论的、实际的等等，为学生今后解决问题提供了行之有效的思维模式.

3.让回归成为一种理念

3.1 回归问题本质

通过五点作图法或者用几何画板作出的函数图像可以直观的看出函数y=sin(x-1)的图像与函数y=sinx的图像的关系.在此基础上，教师继续启发、引导学生，回归到图像的本质：图像的变换归根结底是点的变换.通过图像上任意一点的平移去理解图像的平移，加强了学生的理性思考能力，使“回归问题的本质”这一理念给学生留下更深刻的印象.

通过探究，师生先从“形”的角度对两个函数图像的关系有直观的认识，又从“数”的角度理性的诠释了两函数图像之间的关系，如果此时教师能够乘胜追击，将结论拓展到一般情形，即函数y=f(x-a)的图像与函数y=f(x)的图像有什么关系？这样，可以实现从“形”到“数”再到“形”的转化.就像我国著名的数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，能让学生感悟到数形结合的数学思想，从而回归数学的本质——数学是研究数量关系与几何图形的科学.

3.2 回归问题情境

回归到引入课题时的问题情境，首先，让学生了解函数y=Asin(ωx+φ)在现实生活和物理学中有着广泛的应用，如：弹簧振子、单摆、潮汐、波的传播、交流电……这些现象都与简谐运动有关，可以利用函数y=Asin(ωx+φ)的知识来分析和理解；其次，介绍简谐运动，给出“振幅”“周期”“频率”“相位”“初相”等概念，让学生形成“数学源于生活，服务于生活”的理念.

结束语

本节课采用“教师问题引领，学生自主建构”的课堂模式，在教师问题串的引领下，学生自主地感受问题、发现问题、探究问题，为学生提供自由表达、探究、讨论的机会，学生通过个人研究、小组讨论等多种活动，实现知识的建构，促进学生知识、技能、情感的全面发展.

贯穿于本节课的主线有两条：一条明线，一条暗线.明线是指知识的呈现，本节课从内容上向学生呈现了三种变换：相位变换、周期变换和振幅变换.暗线是指在学生自主建构知识的同时，教师潜移默化的将研究问题的一般方法：复杂——简单——复杂，一般——特殊——一般蕴含在其中，将数形结合的数学思想渗透给学生. 正可谓：“授人以鱼，不如授之以渔，授人以鱼只救一时之急，授人以渔则可解一生之需.”这为学生的终身发展奠定了基础.

数学常常在人们意想不到的地方存在着奇妙的联系，经过科学认真的思考，就有可能揭示其规律，有所发现.若教师能将这种方法论传递给学生，并推而广之，必将在培养学生的理性思维、独立发现客观世界的规律方面发挥更大的作用.

[1]中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.

[2]渠东剑. 基于整体把握教材结构的教学——以函数y=Asin(ωx+φ)的图像为例[J].中学数学教学参考:上旬,2015(7):18-20.

[3]波利亚. 怎样解题[M].阎育苏译.北京:科学出版社,1982.

*本文系江苏省镇江市教育科学“十二五”规划青年专项课题“在高中数学课堂教学中培养学生思维灵活性的研究”的部分成果 ，课题主持人：王圣光.