赏析几例圆锥曲线切线问题

2017-03-10 11:09
中学数学杂志 2017年3期
关键词:补角对称点切点

赏析几例圆锥曲线切线问题

☉江苏省南通市通州区教学研究室 王惠清

圆锥曲线是一组非常优美和谐的曲线,笔者在平时的教学实践中发现了其中的一些优美性质,下面举几例,以飨读者.

一、圆锥曲线切线中的一个定值问题

设PA,PB分别是焦点为F的抛物线的两条切线,A,B为切点,过抛物线上任意一点C作切线分别交直线PA,PB于M,N两点,当点C移动时,∠MFN大小不变(如图1).

通过探究,对于椭圆和双曲线也有同样的结论,具体的情形就是本文的定理1,2,3.下面给出几何法的证明.

图1

图2

引理1设PA,PB分别是焦点为F的抛物线的两条切线,A,B为切点,则有∠PFA=∠PFB.

证明:如图2,设l为抛物线的准线,分别过点A,B作l的垂线,垂足D,E.由抛物线的定义及光学性质知,AF= AD,D,F两点关于切线PA对称(从点F射出的光线经抛物线上的点A反射后将垂直于准线射出,相当于从准线上的点D直接射出),此时的切线PA相当于在点A处的一面平面镜,所以△PFA与△PDA全等,PD=PF.同理,PE= PF,从而PD=PE,∠1=∠2,∠PDA=∠PEB,即∠PFA=∠PFB得证.

引理2设PA,PB分别是焦点为F的抛物线的两条切线,A,B为切点,则有∠PFA+∠APB=π.

证明:如图2,夹在两平行线DA,EB之间的∠PDA+∠PEB+∠3+∠4+∠5+∠6=2π,因为∠PDA=∠PEB,∠3=∠4,∠5=∠6,所以∠PDA+∠4+∠5=π,即∠PFA+∠APB=π,得证.

此外,还有△PAF与△BFP相似;PF2=AF·BF;∠AFB=2∠APB等结论,留给读者证明.

定理1设PA,PB分别是焦点为F的抛物线的两条切线,A,B为切点,过抛物线上任意一点C作切线分别交直线PA,PB于M,N两点,当点C移动时,∠MFN大小不变,且∠MFN+∠APB=π,即点P,N,F,M四点共圆.

证明如图3,由于MA,MC是两条切线,根据引理1知,∠AFM=∠CFM.同理NB,NC是两条切线,根据引理1知,∠BFN=∠CFN,所以∠CFM+∠CFN=(∠PFA+∠PFB)=∠PFA,即∠MFN=∠PFA,即∠MFN大小不变得证;再由引理2,∠MFN+∠PFA=π,所以点P,N,F,M四点共圆.

引理3设PA,PB分别是焦点为F1,F2的椭圆的两条切线,A,B为切点,则有∠PF1A=∠PF1B,∠PF2A=∠PF2B.

图3

图4

证明:如图4,作点F1关于切线PA的对称点D,△PAD与△PAF1全等,∠1=∠2.由椭圆的光学性质,从F1发出的光线经椭圆反射后经过另一焦点F2,相当于光线从点D直接经过A到达F2,由椭圆定义,DF2=AF1+AF2等于椭圆的长轴长.作点F1关于切线PB的对称点E,△PBE与△PBF1全等,∠3=∠4,由椭圆的光学性质,从F1发出的光线经椭圆反射后经过另一焦点F2,相当于光线从点E直接经过B到达F2.由椭圆定义,EF2=BF1+BF2等于椭圆的长轴长.因为PD=PE=PF1,DF2=EF2,故△PDF2与△PEF2全等,∠5=∠6,即∠PF2A=∠PF2B得证.同时得∠1=∠4,从而∠2=∠3,即∠PF1A=∠PF1B得证.

引理4设PA,PB分别是焦点为F1,F2的双曲线同一支的两条切线,A,B为切点,则有∠PF1A=∠PF1B,∠PF2A=∠PF2B.

证明:如图5,作点F2关于切线PA的对称点D,△PAD与△PAF2全等,∠5=∠7,由双曲线的光学性质,从F2发出的光线经双曲线反射后的反向延长线经过另一焦点F1,相当于光线从点F1经过D到达A,由双曲线定义,DF1= AF1-AF2等于双曲线的实轴长.同理得△PBE与△PBF2全等,∠6=∠8,EF1=BF1-BF2等于双曲线的实轴长.因为PD=PE=PF2,DF1=EF1,得△PDF1与△PEF1全等,∠1=∠2,即∠PF1A=∠PF1B得证.同时得∠3=∠4,从而∠5=∠6,∠7=∠8,即∠PF2A=∠PF2B得证.

图5

图6

引理5如图6,设PA,PB分别是焦点为F1,F2的双曲线的两条切线,当切点A,B不在同一支上时,则有PF1平分∠AF1B的外角,PF2平分∠AF2B的外角.

证明与引理4的证明类似,不再赘述.

定理2如图7,设PA,PB分别是焦点为F1,F2的椭圆的两条切线,A,B为切点,A′,B′分别是A,B关于中心O的对称点,若过椭圆上A′,B′之间的实线部分任意一点C作切线分别交直线PA,PB于M,N两点,∠MF1N与∠MF2N大小不变,且分别等于∠PF1A与∠PF2A;若过椭圆上A′,B′之间的虚线部分任意一点C作切线分别交直线PA,PB于M,N两点,∠MF1N与∠MF2N大小不变,且分别等于∠PF1A的补角与∠PF2A的补角.

图7

图8

定理3如图8,设PA,PB分别是焦点为F1,F2的双曲线的两条切线,A,B为同一支上切点,A′,B′分别是A,B关于中心O的对称点,若过双曲线上的实线部分(以A′,B′为界)任意一点C作切线分别交直线PA,PB于M,N两点,∠MF1N与∠MF2N大小不变,且分别等于∠PF1A与∠PF2A;若过双曲线上A′,B′之间的虚线部分任意一点C作切线分别交直线PA,PB于M,N两点,∠MF1N与∠MF2N大小不变,且分别等于∠PF1A的补角与∠PF2A的补角.

图9

如图9,设PA,PB分别是焦点为F1,F2的双曲线的两条切线,当切点A,B不在同一支上时,A′,B′分别是A,B关于中心O的对称点,若过双曲线上的实线部分(以A′,B′为界)任意一点C作切线分别交直线PA,PB于M,N两点,∠MF1N与∠MF2N大小不变,且分别等于∠PF1A与∠PF2A;若过双曲线上的虚线部分任意一点C作切线分别交直线PA,PB于M,N两点,∠MF1N与∠MF2N大小不变,且分别等于∠PF1A的补角与∠PF2A的补角.

定理2和定理3的证明过程与定理1的证明过程类似,只要利用引理3,4,5就行了.只是椭圆和双曲线有两个焦点,另外,切点C在实线上与在虚线上需要讨论,还有双曲线中PA,PB切在同一支上和切在两支上,情形更多,限于篇幅,不再赘述.

二、与圆锥曲线切线相关的一组等式

笔者阅读文[1]后,在教学中利用GeoGebra软件进行动态演示对其验证,并进一步探究得到圆锥曲线的另一组等式.

图10

证明:设点P坐标为(x0,y0),则直线PS的参数方程可设为(t为参数),代入椭圆方程整理得

(b2cos2θ+a2sin2θ)t2+2a2b2=0.由韦达定理知,tR+tS=-,tRtS=.切点弦AB方程为=1,与直线PS方程联立解得

若tS<tQ<tR<0,同理可证得

由文[1]知,

0外(双曲线不含焦点的区域)一点(不同于原点),过P作双曲线的切线PA,PB,切点为A,B,又过P作任一割线交双曲线于R,S,交直线AB于点Q.

图11

图12

证明:(1)的证明与性质1类似,现证明(2).

如图12,设点P坐标为(x0,y0),则直线PS的参数方程可设为(t为参数),代入双曲线方程整理得由韦达定理知.切点弦AB方程为,与直线PS方程联立解得

由参数的几何意义知,RQ=|tR-tQ|,QS=|tS-tQ|,PQ=|tQ|.若tR<0<tS<tQ,则.若tR>0>tS>tQ,同理可证得

等式3如图13,设P是抛物线y2= 2px(p>0)外(抛物线不含焦点的区域)一点,过P作抛物线的切线PA,PB,切点为A,B,又过P作任一割线交抛物线于R,S,交直线AB于点Q,则

图13

证明:设点P坐标为(x0,y0),则直线PS的参数方程可设为(t为参数),代入抛物线方程整理得sin2θt2+2(y0sinθ-pcosθ)t+-2px0=0.

若tS>tQ>tR>0,则

若tS<tQ<tR<0,同理可证得

由文[1]知,

受研究方法的限制,在解析几何中探究发现新性质往往比较困难.借助于GeoGebra软件,我们不仅可以验证结论,还可以通过动态演示更加深入、更加高效、更加精彩地探究新结论.

1.徐文春.关于圆锥曲线切线的又一组性质[J].数学通讯,2013(6)(下半月).

2.(英)A·科克肖特著;蒋声译.圆锥曲线的几何性质[M].上海:上海教育出版社,2002.2.

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