公式课不能沦为习题课——基于核心素养下的公式课教学思考

☉江苏省宜兴市和桥高级中学 杜健

公式课不能沦为习题课
——基于核心素养下的公式课教学思考

☉江苏省宜兴市和桥高级中学 杜健

解题是数学教学的主要内容，但不是数学教学的全部，但鉴于解题在应试中的重要作用，相当多的教师把解题视为压倒一切的重要任务，从而导致“新课习题化”倾向严重.最近笔者观摩了一节市级公开课——“同角三角函数基本关系”，恰恰反映了上述倾向.

一、公式课内容简单，不能这样上

在评课环节中，授课教师介绍了自己的教学设计思路，他认为本堂课的教学内容实在太简单了，就两个公式而已，学生很容易理解掌握，并且学生在初中锐角三角函数的学习中已经知道了这两个公式，所以这两个公式没什么好讲的.公式的证明思路也简单，所以他就把重点放在公式的应用上，尽可能让学生接触更多类型的题目，从而掌握公式的应用技巧.

二、公式课还可以这样上

说实话，跟这位教师存在相同想法的教师不在少数，但仔细斟酌后，这样的想法是有问题的.最糟糕的是犯了“就课论课”的错误，本节课内容看似简单，但要知道数学课堂教学的目的不仅仅是传授基本的知识，更重要的让学生体会一般数学的研究过程，感悟其中的数学思想与方法.把结论直接抛给学生，舍弃自主探究、独立思考的过程，过度夸大练习强化的教育功能，这绝对不是我们数学公式教学“常态”，更是与当前提倡的高中数学学科核心素养相违背.数学核心素养是人们能够用数学的眼光来观察世界，发现、提出、分析和解决问题的内在素养，由数学知识与技能、数学思想与方法、数学能力与观念等组成.数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是数学课堂教学的依据.下面笔者就立足数学核心素养，对这节课进行重新设计.

1.公式的发现：以数学运算为手段激活逻辑推理问题1计算下列三角函数值并思考：

（1）sin30°=________，cos30°=________，tan30°= ________=________，sin230°+cos230°=_______.

（2）sin45°=________，cos45°=________，tan45°= ________=________，sin245°+cos245°=_______

（3）sin60°=________，cos60°=________，tan60°= ________=________，sin260°+cos260°=_______

思考：通过上述计算，你有什么发现？

问题2：在初中学习的公式sin2x+cos2x=1，tanx=，角x应满足什么条件？

问题3：若对任意角x，上述公式还成立吗？

意图：一方面在复习旧知识的基础上由特殊角三角函数值为切入点，让学生通过运算，验证关系、发现规律；另一方面由于笔者所在学校学生基础比较差，所以采用由简单到较复杂的问题串形式更容易激发学生的学习欲望，降低学习的门槛，这也充分体现螺旋上升的教学理念.

点评：这样的设计一方面发展了学生的数学运算核心素养，另一方面在明晰运算对象的基础上依据运算法则激活逻辑推理的过程，从而使学生进入公式猜想的思维历程.

2.公式证明：以直观想象为突破口实现数学抽象

问题4：在初中时怎么证明公式sin2x+cos2x=1，tanx=

意图：引导学生回顾锐角三角函数的定义过程，渗透证明公式要回归定义的思想.

问题5：任意角三角函数是如何定义的？

问题6：任意角三角函数的几何意义是什么？

问题7：公式sin2x+cos2x=1，tanx=怎么证明？

意图：引导学生用单位圆表示点的坐标的方法进行证明，因为单位圆在三角函数一章的学习中发挥重要的作用，包括后续诱导公式的推导，两角差的余弦公式推导，所以课堂教学还是要引导学生使用单位圆进行推导，理解单位圆在学习中的价值.

点评：引导学生借助单位圆及三角函数线，通过直观想象发现公式证明的方法，以初中的同角函数关系为基础进一步抽象出高中的同角三角函数公式.但数学抽象并不是“自动化”的过程，需要教师提供足够的学习、想象素材，从数量与数量、图形与图形的关系中，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构.

3.公式应用：以数学运算为平台开展数学建模

问题8：如何理解“同角”的含义？说说你对公式的理解.

意图：在公式应用前要给学生一点感悟理解的时间，公式sin2x+cos2x=1，tanx=容易使学生产生思维定式，以为角只能是“x”.让学生按自己的方式体会公式、理解公式，有助于知识的内涵.实际上“同角”就是同一个角，可以是α，可以是2α，也可以是，也可以是α+等

等.只要角存在（且有意义），就有这两个关系成立.

编题：利用公式sin2x+cos2x=1，tanx=编题.

学生编题题3：已知tanx=2，求另外两个三角函数值.

意图：通过自主编题，体会公式在计算中的重要作用；通过计算，三角函数基本关系中明确“知一求二”基本原理.

（1）sinαcosα；

（2）sinα-cosα；

（3）sin3α+cos3α.

例2已知tanα=2，分别求以下三角函数式的值：

意图：在运算中进一步体会三角函数基本关系，揭示数学问题的本质.在此基础上，再对解题方法进行归纳总结，从中提炼出一般的数学模型.比如，sinα+cosα、sinαcosα、sinα-cosα三者可以相互表示与转换，可以做到“知一求二”；对于类似于的齐次式，可以直接转化为关于tanx的代数式.这些模型对于后续的学习具有非常积极的意义.

三、公式课中如何落实核心素养

1.公式课教学应立足核心素养的养成

相比其他课型，数学公式课相对简单，学生往往记住公式后，就能够直接应用公式进行数学解题活动，这就容易给教师错觉，以为“记住公式=真正理解”.众所周知，数学教学是以数学知识、方法、技能的学习逐步展开的，而在知识、方法、技能、思想的累积过程中，应始终把相关的核心素养蕴含其中.从学生已有的知识出发，顺应学生思维发展，让学生有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动，而不是直接把公式“灌输”给学生，通过引导学生独立思考、主动探究、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，逐步建立和形成数学核心素养.

2.公式课教学要凸显主要核心素养

一般说来，高中数学核心素养由数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析、直观想象、数学运算六大素养组成.这六大核心素养之间既有联系又有区别，既各有侧重又形成体系，因此，很难实现在一节课中同时使这六大素养得到凸显和培养.课堂教学究竟要落实和培养哪个核心素养是由课型与教学内容决定的.当然，在一节课中教师既要培养尽量多的核心素养，也要使主要核心素养得以进一步凸显与落实，也就是说教师应基于教学内容，开发具有明确目标指向的教学资源及素材，突出数学的主要核心素养.对本节课来说，数学运算核心素养贯穿整个教学过程，在落实数学运算核心素养的过程中，使得数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养也同时获得提升.

数学公式课当然离不开习题的讲解与练习，关键要控制习题训练在整堂课比重，公式的发现、证明、理解是整堂课的主旋律，而公式的应用或者说习题训练只是实现公式理解的一种手段，否则就容易偏离教学的轨道，陷入“题海”之中，那么这就与数学核心素养的基本理念背道而驰了.

1.彭翕成.例说数学核心素养［J］.教育研究与评论·中学教育教学，2016（5）.

2.华志远.数学核心素养的内涵与构成［J］.教育研究与评论·中学教育教学，2016（5）.