例谈高中数学中的最值问题

例谈高中数学中的最值问题

☉江苏省高淳高级中学 顾忠华

最值问题是高考数学中常见的题型，也是重要的考点之一，这类题往往和导数、二次函数等相联系，其题型也是新颖多变.下面笔者结合平时的教学实践谈谈高中数学中的最值问题.

一、含绝对值的二次函数的最值问题

最值问题常常与二次函数联系在一起，纯粹的二次函数似乎难度又有欠缺，因此含有绝对值的二次函数成了函数题的热点.对此，我们有必要去探索含有绝对值二次函数的解题策略，提高函数复习的实效性.

例1已知函数f（x）=x|2x-a|，x∈［0，2］，求f（x）的最大值.

（2）当a=0时，f（x）在R上递增，f（x）max=f（2）=8.

综上所述，f（x）max=

方法2：（1）当a≤0时，当x∈［0，2］时，（fx）=2x2-ax，对称轴为x=≤0，所以函数（fx）在［0，2］上单调递增，所以（fx）max=（f2）=8-2a.

（2）当a≥4时，当x∈［0，2］时，（fx）=-2x2+ax，对称轴为x=＞1，所以，①当1＜＜2，即4＜a＜8时，f（x）在在（0，）单调递增，（，2）单调递减，所以（fx）=f（）max=；

所以f（x）max=max8-2a.令f（）≥（f2），

综上所述，f（x）max=

点评：数形结合、分类讨论是数学中的基本思想，然而上述两种解题思路侧重点却有所不同.方法1所侧重的是由形到数，整个解题思路是先作图（或描述单调性），再讨论区间；但作为含有绝对值的二次函数如何讨论作图是该方法的关键.事实上该方法在研究图像时，就讨论了a＞0，a＜0与a=0，其临界值0无非是通过对称轴x=与去绝对值的关键值x=比较大小而得到的，而a与0的比较也贯穿于整道题的始末，是关键的讨论值.我们也不难发现，含有绝对值的二次函数本身就是由二次函数演变而来，我们在研究其图像时，讨论的关键点就是对称轴在不在研究区间里面，与本题的思路也是吻合的，而一旦单调性问题解决，整道题也就迎刃而解了.方法2所侧重的是由数到形，整个解题思路是先去绝对值（x=与区间的端点值比较），整道题的关键讨论点是先去绝对值，再研究单调性，把含有绝对值的二次函数变成二次函数在闭区间上的最值问题.相比较而言，方法1比较简洁，更侧重图形，而方法2比较容易掌握，但在解决具体问题时，需要具体情况具体分析，毕竟与含有绝对值二次函数相关题目很多，种类也多，比如最值问题、恒成立问题、方程有解问题等等，希望大家做到灵活应用，需要做到具体情况具体分析，总之两种方法各有优劣，关键是要正真领会其中要义.

二、含参函数的最值问题

纵观近几年全国各省市的高考数学试题，一些含参数的最值问题正悄然兴起.由于这类函数题有参数在内“捣乱”，主要考查数形结合、分类讨论的数学思想，因此极具综合性和挑战性，学生常常感到迷雾重重，找不到突破口，以致于考试时往往弃而不答.笔者借助导数公式（|x|）′=（x≠0），谈谈此类函数最值问题的一般策略.

例2设a为实数，函数（fx）=2x2+（x-a）|x-a|，求（fx）的最小值.

点评：由于极值可疑点的大小关系未定，因此需要分类讨论.从例2可以看出，用导数法讨论函数的单调性，步骤比较机械化.

例3已知函数f（x）=x3+3|x-a|（a＞0），若f（x）在［-1，1］上的最小值记为g（a）.求g（a）.

（1）当0＜a＜1时，若-1＜x＜a，则f′（x）=3（x2-1）＜0.若a＜x＜1，则f′（x）=3（x2+1）＞0，所以f（x）在［-1，a］上为减函数，在［a，1］上为增函数，故g（a）=f（a）=a3.

（2）当a≥1时，f（x）在（-1，1）内无极值可疑点，因此g（a）=min｛f（-1），f（1）｝=3a-2.

点评：与例2不同的是，例3函数的定义域不再是实数集，由于还得考虑区间的端点与极值可疑点的大小关系，因此往往还需要确定二次讨论的分界点，最后得出函数在各个子区间上的单调性，从而得出函数的最值.

三、“多元变量”最值问题的求解策略

“多元变量”的最值问题频频在高考中出现，这类问题因综合性强、形式灵活多变、思维严密而具有挑战性，成为最值求解中的“难点”和命题的“热点”.下面结合例题将这些策略和方法加以总结，供大家参考.

例4对于c＞0，当非零实数a，b满足：4a2-2ab+4b2-c=0，且使|2a+b|最大时，的最小值为_______.

解法1：因为c=4a2-2ab+4b2=（2a+b）2-3b（2a-b）=最大时，取等号的条件为“2a= 3b”.将“2a=3b”代入4a2-2ab+4b2-c=0，此时c=10b2，所以的最小值为-2.

从本题解法可以看出，转化条件，抓住目标，巧妙使用基本不等式，建立并找到|2a+b|达到最大时所满足的条件，解法精妙但仍然属于通法，只是对不等式的应用提出了更高的要求.

解法2：令t=2a+b，则2a=t-b，代入原方程可得6b2-3tb+t2-c=0，由方程是关于b的一元二次方程且有实数根可知，Δ≥0⇒t2≤c，从而|2a+b|的最大值为，此时，当且仅当t=2时，等号成立，此时有最小值为-2.

本题的关键是如何把握众多未知参数的关系，考虑已知题设方程的二次型结构，利用判别式法较好的生成了a与b的关系均用t去表现，以t为主元，利用函数的思想方法，为后续问题的研究打开了局面.

解法3：由4a2-2ab+4b2=c，可变形为（k∈Z），即，可得2a=3b.

从关于a，b的二次式容易联想到圆x2+y2=r2的参数方程但难点是先要视“c”为常数，将a，b分别用参数θ去代换，从而实现多元向一元转换，最终利用三角函数的有界性解决问题.这种解法接地气，常规思路，学生最容易接受.

四、直线与圆中的最值问题

直线与圆相关的最值问题在高考中是屡屡受到命题者的关注，也是教学中的重点、难点，在解决这类问题时，根据学过的几何知识、代数方法，通过数形结合分析，突破难点转化，寻求最值的求解方法，从而解决问题.下面就以近几年高考试卷中出现的题目为例，归纳总结出解决此类问题的方法.

例5（1）圆的方程x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点M（3，5）的最长弦，最短的弦分别为AC、BD，求四边形ABCD的面积.

（2）M是圆x2+y2=1上动点，则点M到l：3x-4y-10=0的距离的最大值_________，最小值_________.

解：（1）由圆的方程得（x-3）2+（y-4）2=25，圆心N（3，4），半径r=5，点M（3，5），在圆内最长弦AC=2r=10，易知最短的弦BD过M且与AC垂直，|BD|=

让定直线动起来，例5（1）中直线绕M转动，能发现何时弦长最长，何时弦长最短.（2）中平行移动，很直观看出两个相切时，两线间距离为最值，利用切点与圆心连线垂直，转化出需要的结论，能用运动变化的观点分析思考问题，为以后学椭圆与直线关系打下基础.