解析几何教学中的几个误区

2017-03-10 11:09
中学数学杂志 2017年3期
关键词:弦长斜率椭圆

解析几何教学中的几个误区

☉江苏省海安县曲塘中学 饶娜

解析几何内容在高中数学中衔接几何与代数,充分体现了数形结合,重点研究如何用代数方法解决几何问题.虽然解析法可以少想多算,甚至以算代想,但是如果教学中脱离几何关系,常使解题陷入困境.

一、脱离定义

定义反映的是事物最本质的特征,我们认识一个事物都是从定义开始的,数学知识的学习也不例外.比如椭圆的定义:平面内到两个定点的距离之和为定值(大于两个定点间的距离)的点的轨迹.很多与椭圆性质有关的问题都可以借助定义轻松求解.

例如椭圆的通径,即过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦.很多教师(包括教学之初的笔者)在教授此内容时,都是告诉学生将焦点的横坐标x=±c代入椭圆方程,求出y(取正)再乘2.这种做法不仅脱离了定义,而且禁锢了学生的思维.其实利用椭圆定义可以轻松解决此问题.

由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|= 2a,如图1所示,则|AF1|=2a-|AF2|.

在Rt△AF1F2,由勾股定理即可求得通径的长.

图1

(1)求椭圆方程;

(2)略.

此解法过程虽然清晰明了,但解方程的过程较为烦琐,高考的时间是有限的,显然这种方法并不可取.

二、过度将解题思维程序化

解析几何问题的核心思想是利用代数方法处理几何问题,具体体现在坐标法、代入消元法、判别式法、根与系数的关系的应用.圆锥曲线的综合问题常以直线与椭圆的位置关系为背景,因此教学中经常强调:直线与椭圆综合问题,首先要设出直线斜率(考虑直线斜率存在),引入直线方程;将直线方程与椭圆方程联立,代入消元后得含x或y的一元二次方程,由直线与椭圆有两个交点,故此方程有两个实根,利用判别式及韦达定理得出两根之关系……

这种方法对于初学者来说,确实有一定可取性,通过思维的程序化,解题中可迅速找到问题的切入点.

但通过对近几年的高考试题或模拟试题进行分析,笔者发现某些命题并不需要借助根与系数的关系,而是直接利用平面图形的几何性质找到解题思路.因长期受到固定的程序化解题思路的影响,考生在处理此类问题时不知如何入手.

例2如图2,椭圆C:x2+=1(0<m<1)的左顶点为A,M是椭圆C上异于点A的任意一点,点P与点A关于点M对称.

图2

(2)若椭圆C上存在点M,使得OP⊥OM,求m的取值范围.

解析:本题第(2)问求解中根据点关于点的对称性,将未知点的坐标用已知点表示,结合两直线垂直斜率之积为-1或向量的数量积为零,将几何问题代数化;再利用点M在椭圆上,则M的坐标满足椭圆方程,进行消元;通过分离参数m后,将所求问题转化为函数最值问题,利用均值不等式求解.例3设F,F分别为椭圆E:+=1(a>b>0)的左、12右焦点,点A为椭圆E的左顶点,点B为椭圆E的上顶点,且|AB|=2.

(2)设P为椭圆E上一点,且在第一象限内,直线F2P与y轴相交于点Q,若以PQ为直径的圆经过点F1,证明:|OP|>.

解析:本题第(2)问求解中设出点P的坐标,表示出直线PQ的斜率,求出直线PQ的方程,令x=0得出直线PQ与y轴的交点Q的坐标.因为点F1在圆上,由直径所对的圆周角为直角,则两直线垂直,斜率之积为-1,进而建立关系.利用点P在椭圆上,则点P的坐标满足椭圆方程,进行消元.结合条件点P在第一象限,得出其坐标满足的范围,进而将所求问题转化为区间内函数的最值问题进行处理.

由例2、例3的解析过程可以发现,问题的求解中并没有利用代入消元、判别式、根与系数关系等,而是直接利用已知条件,结合平面几何特征,寻找问题的突破口.因此在平常的教学中不可固化学生的解题思维,要从问题的根源入手,探寻问题的求解方法.

三、重思维,轻计算

处理解析几何问题的核心方法是“解析法”,利用解析法结合平面图形的几何特征,将几何问题代数化处理.因此在问题分析过程中要准确识别平面几何的性质.

例如题目条件中涉及等腰或等边三角形,我们可从等腰或等边三角形的性质入手,即“三线合一”;如遇到菱形有关的问题,要准确把握菱形对角线互相垂直、平分的性质;涉及两线夹角有关的问题,可将其转化为两向量的夹角来处理……

有些教师在解题教学中注重对学生解题思维的引导,这种做法毋庸置疑.教学中笔者发现,在分析一道问题时,学生能将解题思路说得头头是道,但让学生自行解题,完全正确者寥寥无几,会而不对、对而不全现象较为普遍.究其原因是计算能力不强、对计算过程中的细节把握不准所致.因此教学中在强调解题思路寻找的同时,应加强学生计算能力的培养.

(2)斜率为k的直线l过点F,且与椭圆交于A,B两点,P为直线x=3上的一点,若△ABP为等边三角形,求直线l的方程.

解析:在第(2)问的求解中,部分同学的解题思路如下:如图3,若△ABP为等边三角形,则满足等边三角形的性质,设AB中点为M,则PM垂直平分AB,且|AB|=|PA|.

设直线l的方程为y=k(x-2).

图3

(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0,易知判别式恒大于0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),故x1+x2=

设AB的中点为M(x0,y0),则x0=

设点P(3,yP),利用等边三角形的性质:|MP|=|AB|,利用点到直线的距离公式求|PM|,即|PM|=此解题思路中断.

究其原因是对弦长公式理解存在误区,平常我们认为的弦长都是直线与曲线相交所得的线段的长度,此时常想到利用弦长公式来求解.但探究弦长公式的本质,是由两点间距离推导而得,那么只要是求两点间的距离,我们都可以利用这个公式.

另外,如果问题中涉及多个直线时,要注意寻找直线间斜率的关系:两直线平行时斜率相等,垂直时斜率互为负倒数,关于x=a或y=b对称时斜率互为相反数.例如直线l1,l2互相垂直,在求得l1与曲线相交所得的弦长关系式后,根据问题的需要求l2与曲线相交所得弦长时,可直接将其中的斜率k换成-即可.

总之,解析几何问题在高考中常以压轴或把关题的形式出现,对考生分析问题、解决问题、计算等能力均有较高的要求,因此在教学中既要注重学生解题思维的培养,又要注意计算方法、技巧的训练.

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