解析几何教学中的几个误区

解析几何教学中的几个误区

☉江苏省海安县曲塘中学 饶娜

解析几何内容在高中数学中衔接几何与代数，充分体现了数形结合，重点研究如何用代数方法解决几何问题.虽然解析法可以少想多算，甚至以算代想，但是如果教学中脱离几何关系，常使解题陷入困境.

一、脱离定义

定义反映的是事物最本质的特征，我们认识一个事物都是从定义开始的，数学知识的学习也不例外.比如椭圆的定义：平面内到两个定点的距离之和为定值（大于两个定点间的距离）的点的轨迹.很多与椭圆性质有关的问题都可以借助定义轻松求解.

例如椭圆的通径，即过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦.很多教师（包括教学之初的笔者）在教授此内容时，都是告诉学生将焦点的横坐标x=±c代入椭圆方程，求出y（取正）再乘2.这种做法不仅脱离了定义，而且禁锢了学生的思维.其实利用椭圆定义可以轻松解决此问题.

由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|= 2a，如图1所示，则|AF1|=2a-|AF2|.

在Rt△AF1F2，由勾股定理即可求得通径的长.

图1

（1）求椭圆方程；

（2）略.

此解法过程虽然清晰明了，但解方程的过程较为烦琐，高考的时间是有限的，显然这种方法并不可取.

二、过度将解题思维程序化

解析几何问题的核心思想是利用代数方法处理几何问题，具体体现在坐标法、代入消元法、判别式法、根与系数的关系的应用.圆锥曲线的综合问题常以直线与椭圆的位置关系为背景，因此教学中经常强调：直线与椭圆综合问题，首先要设出直线斜率（考虑直线斜率存在），引入直线方程；将直线方程与椭圆方程联立，代入消元后得含x或y的一元二次方程，由直线与椭圆有两个交点，故此方程有两个实根，利用判别式及韦达定理得出两根之关系……

这种方法对于初学者来说，确实有一定可取性，通过思维的程序化，解题中可迅速找到问题的切入点.

但通过对近几年的高考试题或模拟试题进行分析，笔者发现某些命题并不需要借助根与系数的关系，而是直接利用平面图形的几何性质找到解题思路.因长期受到固定的程序化解题思路的影响，考生在处理此类问题时不知如何入手.

例2如图2，椭圆C：x2+=1（0＜m＜1）的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称.

图2

（2）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围.

解析：本题第（2）问求解中根据点关于点的对称性，将未知点的坐标用已知点表示，结合两直线垂直斜率之积为-1或向量的数量积为零，将几何问题代数化；再利用点M在椭圆上，则M的坐标满足椭圆方程，进行消元；通过分离参数m后，将所求问题转化为函数最值问题，利用均值不等式求解.例3设F，F分别为椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、12右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|=2.

（2）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞.

解析：本题第（2）问求解中设出点P的坐标，表示出直线PQ的斜率，求出直线PQ的方程，令x=0得出直线PQ与y轴的交点Q的坐标.因为点F1在圆上，由直径所对的圆周角为直角，则两直线垂直，斜率之积为-1，进而建立关系.利用点P在椭圆上，则点P的坐标满足椭圆方程，进行消元.结合条件点P在第一象限，得出其坐标满足的范围，进而将所求问题转化为区间内函数的最值问题进行处理.

由例2、例3的解析过程可以发现，问题的求解中并没有利用代入消元、判别式、根与系数关系等，而是直接利用已知条件，结合平面几何特征，寻找问题的突破口.因此在平常的教学中不可固化学生的解题思维，要从问题的根源入手，探寻问题的求解方法.

三、重思维，轻计算

处理解析几何问题的核心方法是“解析法”，利用解析法结合平面图形的几何特征，将几何问题代数化处理.因此在问题分析过程中要准确识别平面几何的性质.

例如题目条件中涉及等腰或等边三角形，我们可从等腰或等边三角形的性质入手，即“三线合一”；如遇到菱形有关的问题，要准确把握菱形对角线互相垂直、平分的性质；涉及两线夹角有关的问题，可将其转化为两向量的夹角来处理……

有些教师在解题教学中注重对学生解题思维的引导，这种做法毋庸置疑.教学中笔者发现，在分析一道问题时，学生能将解题思路说得头头是道，但让学生自行解题，完全正确者寥寥无几，会而不对、对而不全现象较为普遍.究其原因是计算能力不强、对计算过程中的细节把握不准所致.因此教学中在强调解题思路寻找的同时，应加强学生计算能力的培养.

（2）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程.

解析：在第（2）问的求解中，部分同学的解题思路如下：如图3，若△ABP为等边三角形，则满足等边三角形的性质，设AB中点为M，则PM垂直平分AB，且|AB|＝|PA|.

设直线l的方程为y=k（x-2）.

图3

（3k2+1）x2-12k2x+12k2-6=0，易知判别式恒大于0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），故x1+x2=

设AB的中点为M（x0，y0），则x0=

设点P（3，yP），利用等边三角形的性质：|MP|=|AB|，利用点到直线的距离公式求|PM|，即|PM|＝此解题思路中断.

究其原因是对弦长公式理解存在误区，平常我们认为的弦长都是直线与曲线相交所得的线段的长度，此时常想到利用弦长公式来求解.但探究弦长公式的本质，是由两点间距离推导而得，那么只要是求两点间的距离，我们都可以利用这个公式.

另外，如果问题中涉及多个直线时，要注意寻找直线间斜率的关系：两直线平行时斜率相等，垂直时斜率互为负倒数，关于x=a或y=b对称时斜率互为相反数.例如直线l1，l2互相垂直，在求得l1与曲线相交所得的弦长关系式后，根据问题的需要求l2与曲线相交所得弦长时，可直接将其中的斜率k换成-即可.

总之，解析几何问题在高考中常以压轴或把关题的形式出现，对考生分析问题、解决问题、计算等能力均有较高的要求，因此在教学中既要注重学生解题思维的培养，又要注意计算方法、技巧的训练.