用《高等数学》微积分工具解决高中物理问题

叶晓文

摘要：本文章针对《高等数学》中的微积分工具对高中物理问题进行分析，采用过程语言对物理过程进行描述，帮助同学更好地理解数学物理问题，为解决高中物理难题提供一种新方法。

一般来讲，我们在高中所接触到的物理问题，都是从宏观上进行分析，列出数学方程式进行计算，最后得出数学答案，再转化为物理含义。往往在解题的过程中，忽略了物理学的内在含义。为了解决这个问题，本文采用《高等数学》中微积分的思想，对高中物理中的典型问题进行分析，达到从物理角度，利用数学工具，解决物理问题的目的。

下面，我们就力学中的有关问题对微积分的应用进行阐述：

1、解决变速直线运动位移问题

匀速直线运动，位移和速度之间的关系 ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？

例1 汽車以 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？

普通解析：现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式 就可以求得汽车走了 公里。

但是，这一种公式从表面上看无法与物理过程相联系。在运动的过程中，物体的速度是连续变化的，不应该用一个固定的公式来进行计算。这样会给学生理解物理过程带来很大的困难。又比如加速度是不断变化时，这时候又必须重新推导公式。下面我们尝试用微积分来进行求解。

微积分解：汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系 ，从开始刹车到停车的时间 ，所以汽车由刹车到停车行驶的位移

2、解决变力做功问题

恒力做功，我们可以利用公式直接求出 ；但对于变力做功，我们如何求解呢？

例2：如图所示，质量为 的物体以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为 ，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。

普通解析：物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在不同位置与圆环间的正压力不同，故而摩擦力为一変力，本题不能简单的用 来求。

可由圆轨道的对称性，在圆轨道水平直径上、下各取两对称位置A和B，设OA、OB与水平直径的夹角为θ。在 的足够短圆弧上，△S可看作直线，且摩擦力可视为恒力，则在A、B两点附近的△S内，摩擦力所做的功之和可表示为：

又因为车在A、B两点以速率v作圆周运动，所以：

综合以上各式得：

故摩擦力对车所做的功：

微积分解：物体在轨道上受到的摩擦力 ，从最低点运动到最高点摩擦力所做的功为

这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到的。利用微积分思想，把物体的运动无限细分，在每一份位移微元内，力的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在恒力作用下的运动；接下来把所有位移内的功相加，即“无限求和”，则总的功就可以知道。

3、微分的应用

我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如 图像，求其斜率可以得出加速度 ，求其面积可以得出位移 ，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，过 图像中某个点作出切线，其斜率即a= 。

下面我们从代数上考察物理量的变化率：

例3、若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2，试求其t时刻的速度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）

微分分析：我们知道，公式 一般是求 时间内的平均速度，当 取很小很小，才可近似处理成瞬时速度。

当 取很小，小到跟 相比忽略不计时， 即为 时刻的瞬时速度。

在高中物理中还有很多例子，比如我们讲过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。作为大学知识在高中的应用，虽然微积分高中不要求，但他的思想无不贯穿整个高中物理。“微积分思想”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维。我们在学习的时候，要学会这种研究问题的思想方法，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍，并可以解决一些复杂的物理问题。

参考文献：

[1] 高等数学，同济大学出版社，[M]，2007.4

[2] 高一物理必修一，人民教育出版社，[M]，