高考数学试题中含参数问题的类型及解法研究

张彦

摘要：函数是高中数学的重要组成部分，其中经常会遇到含有参数的问题，熟练掌握含参数问题的解法对数学学习起到非常重要的作用，进而帮助学生在数学学科的高考中順利解决含参数问题的相关试题，取得良好的成绩。本文将针对高考试题中含参数问题的类型进行分析并研究其解法。

关键字：高考数学；参数问题；类型；解法

前言：参数也叫参变量，是一个变量。在研究自变量与因变量的关系时，引入一个或几个其他的变量来描述自变量与因变量之间的关系，而这个引入的变量并不是必须要研究的问题，只是一个用来描述自变量与因变量关系的辅助性参数，这样的变量叫做参变量或者参数。参数在数学中有着广泛的应用，在函数、数列、不等式与解析几何等问题中都会用到参数问题，熟练运用参数解题对数学学习有着至关重要的作用。

一、分类讨论

引起分类讨论的原因有很多，常见的包括概念本身是分类定义的；当题目中含有参数，使得函数、方程或不等式的值以及图像形状位置等不确定时，就要对参数进行分类讨论。

例1：解关于x的不等式：ax2-（a+1）x+1<0

此例题中首先要讨论x2项的系数，对a的取值不同对整个不等式的性质不同进行分析讨论。当a=0时，原式为-x+1<0，对此不等式求解可以得到{x|x>1}；当a≠0时，原式为二次不等式，整理不等式后可得出（ax-1）（x-1）>0，这两个不等式对应的方程的两个根为和1，然后对a的取值范围进行讨论。

当a<0，原不等式的解集为：{x|x<或x>1}

当a>0，存在多种讨论条件：

当<1即a>1时，原不等式的解集为：{x|

当=1即a=1时，原不等式的解集为：Φ；

当>1即0

通过分类讨论分析，可以清晰、直观的看到参数a取值不同时对原不等式的定义域范围的影响，进而得出结论。

当a<0时，原不等式的解集为：{x|x<或x>1；

当a=0时，原不等式的解集为：{x|x>1}；

当0

当a=1时，原不等式的解集为：Φ；

当a>1时，原不等式的解集为：{x|

在这道例题中，不等式的解受两方面因素的影响，第一是参数a能够决定不等式类型，其次，参数a的值会影响到不等式解的大小，所以在计算时必须分类讨论。需要格外的是，在计算过程中应通过参数a的值来判断不等式的解，不能先入为主的用x的定义域问题反推a的值，这是参数问题中常常被错误理解的误区。

二、零点问题

例2：已知函数f（x）=x3-3x2-9x+3，若函数g（x）=f（x）-m在[-2，5]上有三个零点，求实数m的取值范围。

解：f′（x）3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），f′（x）的图像为零点为x1=-1，x2=3的开口向上的二次函数，根据题中[-2，5]可知，当x∈[-2，-1）∪（3，5]时，f′（x）>0；当x∈（-1，3）时，f′（x）<0。

根据导数的性质可以得出，函数f（x）在[-2，-1）与（3，5]上单调递增，在（-1，3）上单调递减。

所以，f（x）极小值为f（3）=33-3*32-9*3+3=24，f（x）的极大值为f（-1）=（-1）3-3（-1）2-9（-1）+3=8，且f（-2）=1，f（5）=8。

为了让函数g（x）=f（x）-m在[-2，5]上有三个零点，只要让f（x）的图像与直线y=m有三个交点即可。

当m∈[8，+∞）时，函数f（x）的图像与直线y=m最多有两个交点；当m∈[1，8）时，函数f（x）的图像与直线y=m最多有两个交点；当m∈（-24，1）时，函数f（x）的图像与直线y=m有两个交点；当m∈（-∞，-24]时，函数f（x）的图像与直线y=m最多由一个交点。

综上所述，为使函数g（x）=f（x）-m在[-2，5]上有三个零点，则m∈[1，8）。

三、数形结合

如果不等式|2x+3|-1≥ax恒成立，试求a的取值范围。对于此类问题，可以把不等式的两端当作是两个函数，f（x）=|2x+3|-1以及g（x）=ax，并将两个函数的图像在同一个坐标系中画出来，f（x）的图像已确定，而g（x）其斜率未定，为了满足不等式|2x+3|-1≥ax恒成立，则需要f（x）的图像始终在g（x）的上方，且根据观察图像可知，直线的斜率只有在一定范围内才可以使不等式成立。所以，在关于此类不等式的问题中，通过采取数形结合的方式可以将不等式问题清晰、直观的表现出来，便于学生理解。但需要注意的是，在使用数形结合法时必须要保证所画函数图像是正确的，只有建立在正确图像上的分析才能的到正确的结果。

四、引参求解型

引参求解经常被应用于解析几何或与应用相关的类型题中，起到解决问题的辅助作用。

例3：设a，b，c都是正数且3a=4b=6c那么：

A. = + B. = + C. = + D. = +

对于这种比例关系的问题，需要引入参数，可以在3a=4b=6c=m，其中m>0且m≠1，那么， =logm3， =logm4， =logm6=logm2+logm3.而logm4=2logm2 由此可以得出 = + 即 = + ，得出答案B。可以很明显的看出，参数m不具备任何实际意义，它的存在对本身与a，b，c三个正数的联系没有任何影响，引入的参数m并不是必须要研究的问题，然而三者的关系则可以通过参数m的描述被更清晰、更直观的表达出来，方便学生理解掌握。

结论：通过以上题型以及解法中我们可以总结出，参数是高中数学中十分重要以及困难的一部分，需要学生在早期的基础知识学习中勤于练习，课堂上及时跟住教师的解题思路，将解题方式熟记于心，不断地摸索结合自身特点的参数问题的解答方法，取得优良的数学成绩，并在高考中充分发挥平时所学到的知识，考上心仪、理想的学校。

参考文献：

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