极小子群拟中心的有限群*

高建玲， 曹建基

(山西大同大学 数学与计算机科学学院， 山西 大同 037009)

极小子群拟中心的有限群*

高建玲， 曹建基

(山西大同大学 数学与计算机科学学院， 山西 大同 037009)

利用极小阶反例, 借助内幂零群的结构, 分析了有限群G及其2-极大子群与3-极大子群的p阶与4阶循环子群在G中拟中心, 与G的极大子群的p阶与4阶循环子群在极大子群中拟中心, 分别给出了这些群的刻画. 可借助这些结论来判定某些群的p-幂零性.

拟中心子群;p阶子群;p-幂零群; 内幂零群

对于利用子群性质研究有限群结构的结果已有许多, 如文献[1-4]. 而利用极小子群的性质探讨有限群结构也有一些结果, 参见文献[5-9].特别地, 利用极小子群的拟中心性对有限群结构的影响的研究也有些结果, 如文献[10]中研究了二次极大子群中2阶与4阶循环子群拟中心的有限群, 并给出了分类. 本文利用p阶与4阶循环子群的拟中心性来讨论有限群, 得到一些结论.

本文中用G表示有限群,p表示素数. 以下如果没有特殊说明, 所考虑的群G都假设p‖G|, 且(|G|,p-1)=1. 称群G的子群K为MQC群, 如果K的p阶与4阶循环子群(当p=2时)在G中拟中心. 称群G的子群K具有MQC性, 如果K的p阶与4阶循环子群(当p=2时)在K中拟中心.显然拟中心性是子群遗传的.设P是有限p-群, 且exp(P)=pe, 对于任意的0≤s≤e, 规定ΛS(P)={a∈P|aps=1} ,ΩS(P)=〈ΛS(P)〉. 所用术语与符号参见文献[11].

1 预备知识

定义 1 设x是G的一个元. 若〈x〉〈y〉=〈y〉〈x〉对一切y∈G成立, 称x为G的一个拟中心元.

引理 1[12]设p‖G|, 且(|G|,p-1)=1. 如果G的Sylowp-子群循环, 则G为p-幂零群.

引理 2[13]设G的每个真子群均p-幂零. 但G非p-幂零, 则有：

1)G的每个真子群幂零;

2) |G|=paqb, 其中p,q均为素数, 且q≠p,a,b均为正整数;

4) 当p=2时, exp(P)≤4; 当p>2时, exp(P)=p;

5) 如果P为非交换群, 则Z(P)=Φ(P)=P′; 如果P为交换群, 则P为初等交换群;

6)P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群;

7)CP(Q)=P′.

引理 3 如果x是G的拟中心元且o(x)=p, 则〈x〉中心化G的一切p阶元. 特别当p=2时, 〈x〉还中心化G的4阶元.

证明 任取c∈G且o(c)=p. 由题设〈c〉〈x〉=〈x〉〈c〉 是交换群, 从而cx=xc. 当p=2时, 设o(y)=4, 若[x,y]≠1, 由题设〈x〉〈y〉=〈y〉〈x〉, 则xy=yix, 即yx=yi, 从而o(yi)=4. 因此yx=y-1, 于是(yx)2=1. 但〈x〉〈yx〉≠〈yx〉〈x〉 矛盾. 所以[x,y]=1.

2 主要结果

定理 1 设G是MQC群, 则G是p-幂零群.

证明 取G为极小阶反例.

综上所述， 极小阶反例不存在,G是p-幂零群.

推论 1 设p‖G|, 且最小. 如果G是MQC群, 则G是p-幂零群.

证明 如果p‖G|, 且最小, 必有(|G|,p-1)=1. 因此由定理1可得.

推论 2 如果G的2-极大子群是MQC群, 则G是p-幂零群.

证明 任取x∈G,x4=1或xp=1.设P为G的Sylowp-子群 如果〈x〉=P, 由引理1,G为p-幂零群. 如果〈x〉

定理 3 如果G的3-极大子群是MQC群, 则以下结论之一成立:

1)G为p-幂零群;

证明 如果G是MQC群, 由定理1,G是p-幂零群. 故1)成立.

情形 1 如果P是交换的, 则引理2表明2)成立.

定理 4 如果G的极大子群具有MQC性, 则以下结论之一成立:

1)G为p-幂零群;

情形 1 如果P是交换的, 则引理2表明2)成立.

情形 2 如果P非交换, 任取x∈P且x≠1. 则o(x)=p或4. 因为P

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Finite Groups of Quasicentral Minimal Subgroups

GAO Jian-ling, CAO Jian-ji

(School of Mathematics and Computer Sciences, Shanxi Datong University, Datong 037009, China)

With minimal order counter example and the structure of inner nilpotent subgroups, the finite groups were characterized in which the subgroups of orderpof 2-maximal subgroups and 3-maximal subgroups and cyclic subgroups of order 4 of finite groupsGwere quasicentral and whose subgroups of orderpand cyclic subgroups of order 4 of maximal subgroups were quasicentral in the maximal subgroups. Then, using the conclusion, thep-nilpotency of some finite groups can be solved.

quasicentral subgroups; subgroups of orderp;p-nilpotent groups; inner nilpotent subgroups

1673-3193(2017)01-0024-03

2016-04-26

山西大同大学青年基金资助项目(2009Q14)； 山西大同大学博士科研启动经费(2014-B-08)

高建玲(1981-)， 女， 讲师， 硕士， 主要从事群论研究.

O152.1

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.01.005