“好玩”的数列接龙

哈尔滨师范大学研究生 马正方

“好玩”的数列接龙

哈尔滨师范大学研究生 马正方

数列接龙是成语接龙的好伙伴，有如文理互补，恰似山水相依，可刺激人左右脑的良性互动。引成语接龙之淡泊以明志，导数列接龙之宁静以致远。文科有成语接龙，而数列接龙填补了理科方面没有接龙的空白，不失为素质教育的好教材。

数列接龙；奇数定律；剩余定律；减1定律；三项制

数学大师陈省身说“数学好玩”。有一种游戏叫成语接龙。笔者搞出一种数学游戏，叫数列接龙。例如：推出一个三项等比数列1、2、4（公比为2），在此基础上连接三项等差数列。如何连接呢？首先，4-2=2，以2这个差数作为公差进行计算：4+2=6，从而在等比数列1、2、4之后添上6，这样1、2、4、6就成为所要求的数列接龙了。再例如：推出一个四项等差数列1、2、3、4（公差为1），在此基础上连接四项等比数列。如何连接呢？首先，4÷3=4/3，以4/3这个商数作为公比进行计算：4×4/3=16/3，16/3×4/3=64/9，从而在四项等差数列1、2、3、4之后添上16/3和64/9，这样1、2、3、4、16/3、64/9就成为所要求的数列接龙了。必须指出：推出的数列是几项，就必须连接成几项的相同项数的等差或者等比数列。例如：第一个例子所推出的三项等比数列为1、2、4，连接的三项等差数列就是2、4、6（公差为2）。第二个例子所推出的四项等差数列为1、2、3、4，连接的四项等比数列就是3、4、16/3、64/9，该数列从第二项开始，各项除以前项所得的商数成为公比4/3（4÷3=4/3，16/3÷4=16/3×1/4=4/3，64/9÷16/3=64/9×3/16=4/3）。

如上所述可知：成语接龙没有唯一性，就是说所连接的成语不只有一个。例如光明正大这个成语，可以连接“大展宏图”、“大有所为”、“大智若愚”等。然而数列接龙有唯一性，就是所连接的数列只有一个符合要求。

数列接龙可以一个数列继续连接一个数列或者任意几个数列。以下介绍数列接龙的两个例子。

例1 数列接龙（等比等差两种数列均为三项数列，即“三项制”）1、2、4、6、9、12、16、20、25、30。其中，1、2、4等比，2、4、6等差，4、6、9等比，6、9、12等差，9、12、16等比，12、16、20等差，16、20、25等比，20、25、30等差。如上所述，等比的公比依次是：2/1（公比2写成2/1）、3/2、4/3、5/4，如此这般存在规律：前一个公比的分子成为后一个公比的分母了，各个分母和分子均构成自然数列：1、2、3、4和2、3、4、5。同时，如例题所述，等差的公差依次是2、3、4、5，从而和各个公比的分子一样构成自然数列。另外，该数列之中的1、4、9、16、25形成自然数的平方数走向。

例2 数列接龙（三项制）1、3、9、15、25、35、49、63、81、99。其中，1、3、9等比，3、9、15等差，9、15、25等比，15、25、35等差，25、35、49等比，35、49、63等差，49、63、81等比，63、81、99等差。如上所述，等比的公比依次是3/1（公比3写成3/1）、5/3、7/5、9/7，如此这般，存在和例1相同的规律：前一个公比的分子成为后一个公比的分母了，各个分母和分子均构成等差数列：1、3、5、7和3、5、7、9。同时，如例题所述，等差的公差依次是6、10、14、18，从而各数分别是公比的分子3、5、7、9的2倍并且构成等差数列了。另外，如例1所示，等比的公比依次是2/1、3/2、4/3、5/4，如果例1的数列接龙无限的可持续连接下去，那么，该等比数列的公比也可持续发展下去，5/4再往下发展就成为6/5、7/6、8/7之类，分子逐项变为分母，各项的分母和分子均构成等差数列。如此这般涉及数学的极值问题：第一个公比2/1是数值最大者，往下的公比3/2、4/3、5/4的走向表明其数值越来越无限地逐项变小。又如例1所示，等差的公差依次是2、3、4、5，如果例1的数列接龙无限的可持续连接下去，那么，该等差数列的公差也可持续发展下去，5再往下发展就成为6、7、8、9之类的自然数列。如此这般也涉及数学的极值问题：第一个公差2是数值最小者，往下的公差3、4、5的走向表明其数值越来越无限地逐项变大。如例1所示的规律性，例2也具有同理不同数的规律性，限于篇幅，不详述了。

数列接龙具有极强的弹性，可短可长。拟短只要一个数列再连接一个数列，这样两个数列即可，拟长则具有无限的可持续连接的张力，要连接多少个数列都可以。数字较大可充分发挥计算器或计算机的作用。例如以“1、2、4”、“1、3、9”、“1、4、16”、“1、5、25”之类的三项等比数列开头进行“三项制”的可短可长乃至可无限持续连接的数列接龙。

前面说过，成语接龙没有唯一性，具有多样性的发散思维，然而数列接龙具有唯一性，连接的每个数列只有一个。各有千秋，良性互补，对于培养学生的语感和理性思维大有益处。成语接龙和数列接龙都是龙的传人进行素质教育的好教材啊！

数列接龙的方法：进行等比等差这两种数列的数列接龙，则针对已经成立的（或者说确定的，或者说给定的）N项等比数列，该数列的尾项减去前项之差作为公差，从而尾项加上公差之和就是所要连接的等差数列的第三项；根据N项的需要，该第三项加上公差之和就是第四项，以此类推。紧接着，对于已经成立的等差数列，该数列的尾项除以前项之商作为公比，从而尾项乘以公比之积就是所要连接的等比数列的第三项；根据N项的需要（也就是根据“N项制”的需要），第三项乘以公比之积就是第四项，以此类推。数列接龙并不难，简便易行（尤其都是三项数列的“三项制”）。以此进行速算竞赛的游戏，玩中学，学中乐，从而提高数学素养。

等比数列好比奇数，等差数列好比偶数（古代把奇数称为阳数，索性把等比数列称为雄性数列；古代把偶数称为阴数，索性把等差数列称为雌性数列），如同奇数偶数在自然数列之中交替间隔出现一样（暗藏玄机），项数相同的N项等比等差两种数列也交替间隔出现在数列接龙之中。以前已经介绍过，如此这般，上不封项的高次方程应运而生了。

奇数定律：数列接龙a1、a2、a3、a4、a5，其中a1、a2、a3为等比数列，a2、a3、a4为等差数列，a3、a4、a5又为等比数列，从而（a2×a4）-（a1×a5）=（a1）2×（x-1）2×某一个奇数（a5除以a1所得的商数再进行开方运算），x为a1、a2、a3的公比。

例1 数列接龙0.5、1、2、3、4.5，其中，0.5、1、2为等比数列（公比是2），1、2、3为等差数列（公差是1），2、3、4.5是等比数列（公比是1.5），从而（1×3）-（0.5×4.5）=0.52×（0.5、1、2的公比2-1）2×3（4.5÷0.5所得的商数9，然后开方）=0.75。

例2 数列接龙5、20、80、140、245，其中，5、20、80为等比数列（公比是4），20、80、140为等差数列（公差是60），80、140、245又为等比数列（公比为），从而（20×140）-（5×245）=52×（4-1）2×7=1575，其中，5为数列接龙的首项，4为5、20、80的公比，7为245除以5的商数49进行开方。

剩余定律：数列各数在正整数范围内，数列接龙a1、a2、a3、a4、a5，其中，a1、a2、a3为等比数列，a2、a3、a4为等差数列，a3、a4、a5又为等比数列，从而（a2×a5）-（a1×a4）=ax2+2x（能整除情况下“+2x”取消，实际上，2x是“（a2×a5）-（a1×a4）”的结果数再除以x2而不能整除的余数，故此称为剩余定律），x为a1、a2、a3的公比并且公比为正整数，a为x2的系数。

例1 数列接龙5、20、80、140、245，其中，5、20、80为等比数列（公比是4），20、80、140为等差数列（公差是60），80、140、245又为等比数列（公比是），从而（20×245）-（5×140）=（262×42）+（2×4）=4200，4为5、20、80的公比，262为42的系数。

例 2 数列接龙 4、20、100、180、324，其中 4、20、100为等比数列（公比是5），20、100、180为等差数列（公差是80），100、180、324又为等比数列（公比是），从而（20×324）-（4×180）=（23×52）+（2×5）=5760，5为4、20、100的公比，23为 52的系数。

减 1定律：数列接龙 a1、a2、a3、a4、a5、a6，其中，a1、a2、a3为等比数列，a2、a3、a4为等差数列，a3、a4、a5又为等比数列，a4、a5、a6又为等差数列，从而（a2×a6）-（a1×a5）= （a1）2×（x4-1），其中x为a1、a2、a3的公比并且公比仅限于2和3。由于“x4-1”，故此称为减1定律。

例1 数列接龙4、12、36、60、100、140，其中，4、12、36为等比数列（公比是3），12、36、60为等差数列（公差是24），36、60、100又为等比数列（公比是），60、100、140又为等差数列（公差是40），从而（12×140）-（4×100）=42×（34-1）=1280。

例2 数列接龙0.5、1、2、3、4.5、6，其中，0.5、1、2为等比数列（公比是2），1、2、3为等差数列（公差是1），2、3、4.5是等比数列（公比是1.5），3、4.5、6又是等差数列（公差是1.5），从而（1×6）-（0.5×4.5）=0.52×（24-1）=3.75。