浅谈高中数学平均值不等式的运用

李睿贲

说到高中数学，平均值不等式是不等式的重要内容之一，是高中数学不等式一章中的最基础、应用最广泛的灵活因子。作为一名高中生来说，在数学课堂学习中，丰富平均值不等式这方面的知识对提高数学解题能力和数学修养等方面都是大有益处的。

在处理有关平均值不等式的证明问题时，并非每一个问题都可以看出它是否可以使用均值不等式，这就存在一个如何创造使用均值不等式的环境问题.此时会用到平均值不等式的一些运用技巧。这些技巧体现了平均值不等式在数学问题中的灵活性、广泛性与重要性。

一、拆项法

我们在解题时，要注意到使用n次平均值不等式的前提必须是有n个和项或积项（注：在高中阶段只要求n=2或n=3两种情况），有时题设不具备n个项，这时我们可以考虑把一项或几项进行分拆，产生n个项，以创造均值不等式的使用环境。

二、添项法

对不具备使用平均值不等式条件的关系式，添加一些关系式，创造均值不等式使用环境，也是一种常用手段。比如，如果所求式的形式为a+b且ab不为定值，我们可以考虑使用添项法，给所求式添上仅符号相反的同类项，把它变成a+c-c+b的形式.注意，添项后应符合“积为定值”的情形。通过添项我们把原式分为两部分，这两部分各项之积分别为定值，这是求解的关键。

三、减项法

多元轮换对称不等式，常可利用减元或减项的方法化为二元不等式，创造使用均值不等式的环境，然后轮换相加，以达到证明目的.

四、代换法

一般来说，对于以下三种情况，可用代换法求解：第一种情况，如果条件中存在或通过化简能得到一个值为1的代数式，可把这个结果为1的代数式代入目标式中，变形后再利用均值不等式求解。第二种情况，对于多元条件的求最值问题，一般可考虑通过换元化多元为一元，将所求目标化为一元函数，再利用均值不等式求解。第三种情况，如果目标式含有分式且分母形式复杂，可以考虑用一元未知数替换分母，将分母的形式简化后再求解。我们通过一个例题来看一下。

例题：已知a，b都是负实数，则+的最小值是（ ）

解析：在例题中，分母a+2b，a+b均为多项式，且·不为定值.若能将分母转化为单项式，则有利于问题的化简和求值.

设m=a+2b，n=a+b.因为a，b都是负实数，所以m<0，n<0，所以>0. 由m=a+2b，n=a+b可得a=2n-m，b=m-n，所以+=+=+-2≥2-2=2-2.当且仅当=时等号成立.

评注：例题中，采用了换元法，它的巧妙之处在于用m替换了分母a+2b，用n替换了分母a+b，把分母从多项式转化为单项式，使化简、计算更简单.

五、改变结构法

有些不等式仅从式子结构上看并不具备使用均值不等式的环境，但如果对结构式做适当的变化，解决的方式就一目了然了。比如，如果条件式和目标式的系数存在一定的联系，可以根据题意对条件式或目标式进行变形，如取倒数、平方、因式分解等，构造出和或积是定值的情形，同时使得目标式与条件式相互对应。

例题：已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是

（A）3（B）4（C）5（D）6

解析：我们发现，条件式x+2y+2xy=8的系数1，2，2和目标式x+2y的系数1，2具有一定的相似度.如果对条件式进行因式分解，将它变为“积”式（x+1）（2y+1）=9，就可利用均值不等式求出“和”式（x+1）+（2y+1）的最小值.

由x+2y+2xy=8可得（x+1）（2y+1）=9，所以（x+1）+（2y+1）≥2=6，即x+2y≥4.当且仅当x+1=2y+1，

x+2y+2xy=8时等号成立. 结合x>0，y>0，解得x=2，

y=1.所以x+2y的最小值是4，选B.

评注：由于目标式x+2y的形式为“和”式，所以我们尝试从条件中找出与目标式系数相等的、具有定值的“积”式.对条件式重新进行组合，将它转化为对应的“积”式（x+1）·（2y+1）=9，就能根据“积定和最小”求解.这正是此类问题的思考方向。有时候，我们可以把目标式看作一个整体，构造一个关于目标式的不等式，通过解不等式求出答案。

如何添项、拆项、换元、构造，是利用均值不等式求最值问题的难点.但实际上，所有的配凑变形技巧都是为了实现“一正、二定、三相等”的目标，只要找准方向，使目标“和”与条件“积”对应，使目标“积”与条件“和”对应，就能顺利解题。

平均值不等式始终贯穿于高中数学学习中，它是不等式的基础，同时也是数学学习的重点、难点。它的应用很广泛，尤其是在求函数最值的时候。事实上，利用均值不等式求最值，“一正、二定、三相等”的条件很重要，特别是“等号条件的成立”。但是，在运用均值不等式的时候，往往就容易产生这样或那样的错误。因此，我们在使用平均值不等式解题时，需要注意以下事项。

（1）不同的均值不等式对实数的取值范围有不同的要求，如果实数在二次根号下，要求实数大于等于零。（2）均值不等式是带有等号的不等式，在解答此类问题时，首先，要考虑等号成立的条件。（3）为了便于掌握均值不等式，可以运用多种形式，例如，符号表达、图形表达、生活用语。把生活语言表述成符号，容易看出其与均值不等式的密切关系。（4）解答圆的直径与弦长大小的比较也可用均值不等式，体现了均值不等式的几何意义。这是一个典型的几何问题，在实际应用中有很多用处。（5）在周长相等的全部矩形中，面积是最大的是正方形。在面积相等的全部矩形中，周长最小的是正方形。这个结论通过反复验证、分析，具有普遍意义。

在重新整理了均值不等式的过程中，我开拓了解题思路，提高了对均值不等式的认识。通过对本文的阐述，我相信同学们对解均值不等式的应用也有了进一步的了解和自己的体会。利用均值不等式的常用技巧，可以提高我们的解题思路，大大增加解题效率，对提高数学解题能力和数学修养等方面将大有益处。