巧用二次函数与一元二次方程的关系解题

杭永根

【课本原题】（苏科版《数学》教科书九年级下册第25页例题）不画图像，判断二次函数y=-x2+5x-8的图像与x轴是否有公共点？

本题的求解比较容易，故从略.

【演变过程】这是判断二次函数图像与x轴交点情况的问题，我们知道x轴上的点的纵坐标都是0，即y=0.当y=0时二次函数y=ax2+bx+c就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0，因此判定二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点个数情况就转化为判定一元二次方程ax2+bx+c=0实数根个数的情况，即由根的判别式Δ=b2-4ac的符号来确定：Δ>0[?]抛物线与x轴有两个交点；Δ=0[?]抛物线与x轴有一个交点；Δ<0[?]抛物线与x轴没有交点.还可应用求根公式和根的判别式等知识去寻找二次函数问题的求解途径.反过来，也可构造二次函数来解决方程问题.中考命题者常常在这两个核心知识的交汇处设计试题.

【考题在线】

变式1：（2016·湖南永州）抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）.

A.m<2 B.m>2

C.0

【思路分析】抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同交点，即对应的一元二次方程有两个不等的实根，因此可由Δ>0确定m的取值范围.

【解答】由题意可知方程x2+2x+m-1=0有两个不等的实根，∴Δ=22-4（m-1）=8-4m>0，解得m<2，故选A.

【解后反思】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系，应用这种联系将二次函数问题转化为一元二次方程问题是解题的关键.

变式2：（2016·湖北荆州）若函数y=（a-1）·x2-4x+2a的图像与x轴有且只有一个交点，则a的值为 .

【思路分析】由于题目中没有说明是二次函数，因此需要分a=1、a≠1两种情况进行分类思考，分别找出解题思路.

【解答】当a=1时，函数y=（a-1）x2-4x+2a=-4x+2，其图像与x轴有交点；当a≠1时，由Δ=（-4）2-4×2a×（a-1）=0，解得a=2或-1.因此a的值为1、2或-1.

【解后反思】解决本题的关键是要明确函数的类型，进而分类运用相关的知识来求解.

变式3：（2016·四川泸州）若二次函数y=2x2-4x-1的图像与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则[1x1]+[1x2]的值为 .

【思路分析】首先根据二次函数与一元二次方程的关系得到x1和x2是一元二次方程2x2-4x-1=0的两个根，然后由根与系数的关系求出对称式的值.

【解答】∵x1和x2是一元二次方程2x2-4x-1=0的两个根，∴x1+x2=2，x1x2=[-12]，∴[1x1]+[1x2]=[x1+x2x1x2]=-4.

【解后反思】二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，因此二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的两个横坐标也满足一元二次方程根与系数的关系.

变式4：（2016·江苏泰州压轴题）已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m.对于函数y1，当x=2时，该函数取最小值.

（1）求b的值；

（2）若函数y1的图像与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；

（3）若函数y1、y2的图像都经过点（1，-2），过点（0，a-3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图像共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1

【思路分析】这是一道以一次函数和二次函数为背景的综合题，难度适中，入口宽，解法多，考查一次函数、二次函数、一元二次方程、不等式（组）、勾股定理等核心知识和转化、方程、分类、模型、配方等数学思想方法.

【解答】（1）由二次函数的对称轴为x=2有x=[-b2]=2，∴b=-4.

（2）由函数y1的图像与坐标轴只有2个不同的公共点，知有两种情况：①图像与x、y轴都只有一个公共点，此时Δ=0，解得c=4，两个公共点分别为（2，0）、（0，4），∴两公共点间的距离为[22+42=25]；②二次函数的图像与y轴必有公共点，要使二次函数的图像与坐标轴只有两个公共点，则其中必有一个是原点，即c=0，此时y1=x2-4x，∴两公共点间的距离为[x1-x2]=[x1+x22-4x1x2]=[42]=4.

（3）函数y1、y2的图像都经过点（1，-2），∴c=1，m=-3，∴y1=x2-4x+1，y2=x2-3，如图所示.

①当a>0且a-3<-2，即0

由x2-4x+1=a-3有x2-4x+4-a=0，∴x3+x4=4，x3·x4=4-a，∴x4-x3=[x3+x42-4x3x4]

=[16-44-a]=[2a]，∴x4-x3+x2-x1=[2a]+[2a]

=[4a].∵0

②当a-3>-2，即a>1时，x2、x4在y1上，x1、x3在y2上，由x2-4x+1=a-3有x2-4x+4-a=0，∴x2+x4=4；由x2-3=a-3有x2-a=0，x1+x3=0，∴x4-x3+x2-x1=（x4+x2）-（x3+x1）=4-0=4.

∴综上所述，x4-x3+x2-x1的最大值为4.

【解后反思】这里，第（1）题运用了转化与方程思想，先由x=2时该函数取最小值转化出二次函数的对称轴为x=2，再利用二次函数的对称轴为x=[-b2]，构造出方程来求解.第（2）题运用了分类与转化思想.先用分类思想找出了y1的图像与坐标轴只有2个不同公共点的两种情况，避免了漏解.然后，对情况①，将二次函数转化为二次方程来处理；对情况②，从两个公共点中转化出必有一个是原点，然后运用坐标轴上两点间距离公式和根与系数关系，巧妙地将求两公共点间的距离转化为求代数式的值.第（3）题利用整体思想，在求出a的两个不同取值范围后，将x4-x3+x2-x1分别转化为两根之差与两根之和，再利用由直线解析式和二次函数解析式得到的两个方程，利用一元二次方程根与系数的关系分别求出两根之差与两根之和，然后整体代入，避免了对根的不同情况的讨论，解题过程显得比较简捷.

（作者单位：江苏省兴化市戴泽初级中学）