关于二元初等函数在其定义域上连续性问题的分析

河南省郑州工业应用技术学院基础教学部 袁晓华

关于二元初等函数在其定义域上连续性问题的分析

河南省郑州工业应用技术学院基础教学部 袁晓华

函数连续性是高等数学中重要的概念，但二元初等函数在定义域上的连续性的判断一直是学习的难点。基于这种认识，本文首先对定义域和定义区域进行了区分，然后对二元函数的连续性定义和二元初等函数在定义域上的连续性问题展开了分析，从而为关注这一话题的人们提供参考。

二元初等函数；定义域；连续问题

在多数数学教材中，既没有明确进行定义域和定义区域的区别论述，同时也未对二元初等函数的连续性进行具体叙述。在这种情况下，学生学习多元函数连续性问题时常常感到困惑，从而无法较好地完成相关问题的理解。因此，相关人员还应该对二元初等函数在其定义域上连续性问题展开进一步分析。

一、二元初等函数的定义域和定义区域的区分

二元初等函数连续性的讨论都围绕着定义区域和定义域进行。比如在分析基本初等函数时，就会指出其在定义域内是连续的。但是在叙述多元初等函数时，则需要指明其是在定义区域内保持连续。所以在分析二元初等函数连续性之前，还应该了解定义区域和定义域的区别，以便帮助学生更好地认识多元初等函数。所谓的定义区域，就是在定义域内的区域或闭区域。比如在将使算式有意义的点集当成是函数的自然定义域时，其定义区域就是包含定义域的连通闭集或开集。因此，定义区域范围更大，与定义域有明显区别。

二、二元初等函数在其定义域上的连续性问题

1.二元函数的连续性定义

2.定义域上二元初等函数的连续性分析

由二元初等函数的定义可知，二元初等函数是利用一个式子表示的二元函数，所以其肯定为二元函数，也遵循二元函数的连续性定义。分析二元函数在定义域的连续性定义可以发现，其中并未对函数在一点相对于点集的连续性进行定义，并且也未对函数在孤立点上的连续性进行定义。而D的内点就是D的聚点，D的界点既有可能为D的聚点，也有可能为D的孤立点，在定义域D内，无论（x0，y0）为内点还是界点，想要了解函数在该点是否连续，还要确保（x0，y0）为D的聚点。所以，如果定义域内存在孤立点，就是函数的不连续点。因此，二元初等函数在定义域内连续的结论将被定义域中含有孤立点所打破。

3.二元初等函数在定义域上连续性定义

通过分析二元初等函数在定义域上的连续性可以发现，二元初等函数即便在点集上有定义，但是却不一定在该点集上保持连续，所以，利用二元函数的连续性定义判定二元初等函数在定义域上保持连续，无法准确进行二元初等函数的连续性问题的叙述。由上面的例子可知，可以认为二元初等函数在除去孤立点的定义域上将保持连续，所以，根据这些内容，还应该对二元函数的连续性定义进行补充，从而更好地判断二元初等函数在定义域上的连续性。具体来讲，就是设点集D上函数f（x，y）有定义，并且在点集D上存在有点A（x0，y0）为D的界点，在ε＞0，且ξ＞0的条件下，如果A（x，y）∈∪（A0，ξ）∩D时，|f（x，y）-f（x0，y0）|＜ε，则可以认为函数f（x，y）在点A0处保持连续，也可以叙述为函数f（x，y）在点A0相对D上保持连续。在这一定义中，点A0为定义域D的孤立点，在∪（A0，ξ），由于ε＞0，且ξ＞0，所以除A0外的D中其他点不在∪（A0，ξ）内。而由于|f（A）-f（A0）|=|f（x，y）-f（x0，y0）|=0＜ε，因此可以证明孤立点Ao处的函数f（x，y）保持连续。在平时的分析中，通常称在某点连续的函数为完全连续，所以，如果函数在该点完全连续，其在该点相对于包含点的任何点集也将保持连续。实际上，对所有的多元初等函数来讲，函数在定义区域上是连续的，都不能说明其在定义域上也是连续的。对二元初等函数在定义域的连续性问题展开分析，能够帮助学生更好的理解多元初等函数的这一特性。

总之，通过分析定义域与定义区域的区别，并且分析二元函数的连续性定义，可以发现二元函数在定义域上保持连续的结论并不成立，但其在定义区域上具有一定的连续性。因此，相信本文对二元初等函数在其定义域上的连续性问题展开的分析，可以为相关研究的开展提供指导。

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袁晓华（1985）女，汉族，河南项城人，学位：硕士，职位：教师，职称：助教，研究方向：非线性动力学】