数学习题讲评中“变”的策略

广东省惠州市龙门县龙门中学 谭光友

数学习题讲评中“变”的策略

广东省惠州市龙门县龙门中学 谭光友

数学课堂教学离不开数学习题的讲评，如何借助习题的讲评使学生对数学知识得到进一步的巩固和掌握，达到举一反三的效果，是每一位数学教师都在探索的问题。在“让学生成为学习的主体，教会学生学会学习”的课程改革的指引下，数学习题的讲评如何才能体现学生的主体，激发学生的思维？本文从具体问题人手，通过改变问题的条件或结论；改变解决问题的方法；改变问题的背景形式；把问题进一步深化等几方面阐述数学习题的讲评中“变”的策略。

习题讲评；变；策略

数学的教学离不开数学习题的讲评，尤其是高三的数学复习，大部分时间都是在引导学生解决数学问题，以达到对数学知识的巩固、应用和升华的目的。事实上，纯粹的就题讲题的简单习题讲评模式达不到预期的效果。那么怎样上习题课？习题课讲什么？怎么讲？笔者认为：在习题讲评中采取以变应变的策略，即对所讲评的习题进行适当的变换、引申，便能促进学生有意义的学习，提高学生解决问题的能力。

一、改变问题的条件或结论——举一反三

在讲解习题时，把题目中的条件放大或缩小，以激起学生思维的火花；改变问题的结论，加深学生对概念的辨析以及对问题的处理能力。达到举一反三的效果。

例一：某商店购进同一种商品的价格均为每件30元，销售价格均为每件50元。根据前5年的有关资料统计，这种商品的需求量ξ服从以下分布：

10 20 30 40 50 600.10 0.25 0.20 0.30 0.10 0.05

若这种商品在一年内没有售完，一年以后以每件25元的价格处理。现商店购进这种商品40件，求商店的期望利润。

同学甲：E（ξ）=10×0.10+20×0.25+30×0.20+40×0.30+50 ×0.10+60×0.05=32，

利润y=32×(50－30)－(40－32)×(30－25)=600（元）。

同学乙：利润η的分布列为：

50 300 550 8000.10 0.25 0.20 0.45

E（η）=50×0.10＋300×0.25＋550×0.20＋800×0.45=550元。

两位同学的解法都有道理，谁也说服不了谁。事实上，甲求的是期望的利润，而乙求的是利润的期望，通过两位同学的解法，使同学对易混淆的概念有一个清晰的认识。在此基础上，将题目的条件和结论进行改变：一年中每月卖出商品的件数ξ服从以下分布：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

售一件商品可获利20元，如果售不出，每件商品每月需花保养费5元，则商店购进这种商品多少件才能使平均收益最大？再次激起学生的思维。

分析：设购进x件商品可使平均收益最大。平均收益显然是求利润的期望，所以利润η的分布列为：

20-5（x-1）40-5（x-2） … 20（x-1）-5 20x…

所以购进这种商品10件才能使平均收益最大。

A.[6,15] B.[7,15]

C.[6,8] D.[7,8]

则4＜s＜5,此时z的最大值在点（0，4)取得，即zmax=3×0＋2×4＝8。

若令s=3或5，题目可进行如下改变：

①求可行域的面积？

②求目标函数z=3x-2y的最大值？

③若目标函数z=kx+2y在点（1，2)处取得最大值，求k的取值范围？

如此改变，将线性规划内容所涉及的可行域面积、截距、斜率、距离等问题容融入到一起，达到举一反三的目的。

二、改变解决问题的方法——触类旁通

在讲解习题时，适当变换题目的解决方法，以提高学生的综合分析能力，达到对知识的迁移、触类旁通的目的。

分析：（法一)①图象过点（-1,0）,即a-b+c=0，

三、改变问题的背景形式——融会贯通

有些题目在讲解过程中，可以改变其中的背景，使问题得以扩充，以加强学生对问题和方法的认识。

例四：如图一，一人从A到B走最短路程，有多少种不同的走法？

(图一)

(图二)

分析：从A到B路程最短，则只能向右走5个单位，向上走4个单位，共9个单位；从A到B的走法，即从9个单位中选取4个向上、其余向右共有种。

在此题的基础上，改变问题的背景：如图二，把原图改为蜂窝形，一玻璃球从上顶点O滚下，求球从出口C出来的概率。

分析：根据第一题的解答提示，球从上向下滚不论从下面哪一个出口出来，都只需经过6条线段，在每个交叉口选择其中几段向左、几段向右，便可从相应的出口出来，如从A出来的概率为：从6条线段选6条向左，0条向右，而每种选择的概率是，故从A出来的概率为,所以从C出来，即从6条线段中选4条向左，2条向右，其概率为。

通过以上的变换，使学生在习题课中对知识的理解更深刻，对解题方法的选择更准确，对问题的处理得心应手，真正达到融会贯通的目的。

四、把问题进一步深化——提升能力

把问题层层向前推进，既有利于学生对问题的理解，又能使问题深化，激起学生学习数学的兴趣，增强探索的动力。

例五：高三年级共4个班，现要组织一支8人的校级男子篮球队，每个班至少1人，共有多少种不同的分配方法？

分析：（隔板法)把8个名额排成一排，在8个名额之间有7个空位，在7个空位上选出3个，即把3个隔板放入即可，所以共有种。

变式一：去掉“每个班至少1人”的限制，即高三年级共4个班，现要组织一支8人的校级男子篮球队，共有多少种不同的分配方法？

显然8人可以是来自同一个班，也就意味着有班级没有人参加，把8个名额排成一排，在8个名额之间和前后共有9个空位，要保证8人可以是来自同一个班的可能，在9个空了后再加2个即11个空位，从11个空位中选3个即可，故有种。

变式二：高三年级共4个班，现要组织一支k个人的校级男子篮球队，共有多少种不同的分配方法？（）

变式三：高三年级共x个班，现要组织一支k个人的校级男子篮球队，共有多少种不同的分配方法？（）

建构主义认为，学习并非学生对教师所授知识的被动接受，而是依据其已有的知识和经验所作的主动建构，而这种主动建构必须对问题有深入的认识。在习题讲评中进行适当变换，使问题逐步深入，以变应变，可大大提高讲评的效率。

[1]杨利刚.解题教学中强化学生解题方向的预测意识[J].数学教学通讯，2005（4）.

[2]殷翠兰.数学解题中等价转化的途径[J].高中数学教与学，2005（4）.

教学内容：比较数的大小（5以内）学期目标：见表2本课目标：了解用“＞”、“＜”、“=”表示两个数之间的大小关系教具准备：大量的图片，实物，练习纸过程 学习 指导上的注意点 教具和教材的准备导入 1.复习比较多少2.明确学习内容快速口答 图片展开1.认识“＞”、“＜”、“=”2.学习比较实物的数量大小3.比较数的大小会打手语，能熟练说出这几个符号先出示数量相等用“=”，再把图片中的实物数量换成不同的，教学填写“＞”、“＜”。不断变换数量图片，反复练习。把图片换成数字，直接练习，让学生口答出示图片“＞”、“＜”、“=”大量生活物品的实物，图片练习纸小结 练习，布置作业 快速口答

四、学期总结反思

经过一个学期的实践探索，结合郑某在课堂教学和个训课上的日常表现以及期末综合测试评价和家庭访问，考察发现郑某能够掌握比较的方法，能够熟练进行20以内的数的大小比较，能熟练进行20以内的数的加减运算。与此同时，学校通过对多重障碍学生的数学个别化教学计划的制定和实施探索，积累了一定的工作经验。

1.重视学前评估，为个别化教育提供理论依据

评估是个别化教育的前提。为更加全面综合地了解学生的信息，准确发现学生的学习优势和不足，应在一年级入学后尽早安排医学、教育专家对学生进行全面的评估，为制定和开展个别化教学计划做好准备。

2.开展多方合作，充分发挥各自的作用

个别化教育是需要多方人员共同参与，共同扶持和实施的。在开展个别化教学的过程中出现很多的问题，资金的不足，教学资料的缺乏，教学辅具不够，家长配合度不够，没有给学生提供相应的康复训练。

3.开展个别化专业培训，提高专业能力

个别化教育团队需要一支专业的团队。单单依靠自己学习个别化理论是不够的，需要专业的理论培训，学习如何开展个别化教育，如何更加有效地开展特殊学生个训课，对特殊学生开展康复训练，为进一步提高教学质量有深远的意义。

【参考文献】

[1]陈向明.质的研究方法与社会科学研究.北京：教育科学出版社.2000（12）.

[2]华国栋.残疾儿童随班就读现状及发展趋势[J].教育研究，2003（2）：65-69.

[3]朱嫒嫒，于素红.九年级随班就读学生个别化教育计划文本分析研究[J].中国特殊教育，2011（10）：14-21.

[4]于素红.美国个别化教育计划的立法演进与发展[J].中国特殊教育，2011（2）：3-8.

[5]于素红.个别化教育计划的现实困境与发展趋势[J].中国特殊教育，2012（3）：3-8.