数学问题393的几何解答

广东省广州市花都区赤坭镇赤坭圩小学(510830)李思根

广东省广州市花都区新华培新中学(510800)洪鹏花

数学问题393的几何解答

广东省广州市花都区赤坭镇赤坭圩小学(510830)李思根

广东省广州市花都区新华培新中学(510800)洪鹏花

注:《数学通报》数学问题2104(2013年第二期)证明了:椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合,并且求得了椭圆的内接平行四边形面积的最大值.

文[1]利用代数计算和柯西不等式得到:椭圆的内接平行四边形的最大周长为但是并没有指出如何找出满足条件的内接平行四边形.本文从几何角度求出椭圆的内接平行四边形周长的最大值,并指出如何做出这种内接平行四边形.

1.命题:如果直线ℓ1,ℓ2与椭圆C:=1(a＞ b＞0)有交点,ℓ1⊥ℓ2,ℓ1∩ℓ2=P,椭圆C的中心为O,则当且仅当直线ℓ1,ℓ2为椭圆的切线时,等号成立.

证明:(1)当直线ℓ1,ℓ2为椭圆的切线时,如图1所示,直线ℓ1,ℓ2与椭圆C相切于点A,B,连接F1A,F2A,F1B,F2B,分别作F2关于ℓ1,ℓ2的对称点连接交直线ℓ1,ℓ2于点N,M,所以四边形F2MPN为矩形.根据椭圆的光学性质可知分别过点A,B,且

图1

(2)当直线ℓ1,ℓ2与椭圆相交时,作直线且与椭圆C相切于点与ℓ2相交于点N,ℓ1与相交于点与相交于点Q,所以四边形QMPN为矩形.在∆OPN中,∠OPN＞90°,所以OP＜ ON;在∆ONQ中,∠OPQ＞90°,所以ON＜ OQ;所以OP＜OQ.由(1)可知命题得证.

图2

原问题的解答如图3示,四边形ABCD为椭圆内接平行四边形.反向延长BC,作∠ABE的角平分线,过点A作BF的垂线,交BF于点P,交BE于点A′,所以PB⊥PA,点P为AA′的中点, BA′=BA,2OP=CA′=CB+BA′=CB+BA,所以当且仅当PB,PA为椭圆的切线时,等号成立.即当椭圆内接平行四边形相邻两点处的切线垂直时,周长最大为

图3

2.尺规作法

在已知椭圆(中心O、对称轴x轴、y轴、焦点F1,F2)的前提下,用尺规法作出周长最大的椭圆内接平面四边形.设椭圆与x轴交于X,X′,与y轴交于Y,Y′.

图4

1.以O为圆心,XY的长度为半径,作圆O;

2.在椭圆上任取一点A,连接OA,延长交椭圆于点C;

3.连接F1A,F2A,并延长F1A与圆O交于点E;

4.作∠F2AE的角平分线,与圆O交于点M,N;(根据文[2],MN为椭圆的切线)

5.过点C作MN的平行线,与圆O交于点P,Q;

6.连接PM,QN,交椭圆于点B,D,所以四边形ABCD为周长最大的椭圆内接平行四边形.

证明:连接ON,OQ,根据椭圆和圆的对称性可知,点N,Q关于点O对称,所以N,Q,O三点共线,即NQ是圆O的直径,所以∠QMN=90°,即QM⊥MN,MN为椭圆的切线,根据上面的命题可得,QM为椭圆的切线,切点为D.同理可得,PN为椭圆的切线,切点为B.所以平行四边形ABCD为周长最大的椭圆内接平行四边形.

[1]杨志明.数学问题393的解答[J].中学数学研究(上半月),2015,2.

[2]陈锋.尺规法作过椭圆上一点的切线的几种方法[J].中学数学教学, 2007,3.