把思考的权利还给学生——《求三角形内角度数》教学

王仁平

【课堂片断】

探索三角形的内角和是180°(略)。

师：前面我们已经知道了三角形的内角和是180°。根据这一结论，我们可以解决一些数学问题（课件出示下图）。你能求出下面三角形中未知内角的度数吗？

生：∠1=180°-100°-25°=55°。

生：还可以用 180°-（100°+25°）=55°。

生：∠2=180°-70°-50°=60°，还可以用 180°-（70°+50°）=60°。

师：为什么这样计算？

生：三角形的三个内角合起来是180°，去掉其中的两个内角后，剩下的就是第三个角的度数。

师：也就是说根据三角形的内角和是180°，知道其中两个内角的度数，就能求出第三个角的度数，对吗？（生：对）这样的问题，是一星级的问题。老师还有一个二星级的问题，你能解决吗？

（课件出示）如果只知道三角形的一个内角是40°，你能求出未知内角的度数吗？

学生陷入了沉思，过了一会儿，一个学生大声喊道：“我能！”

生：在直角三角形中，一个锐角是40°，另一个锐角是50°。

师：你是怎样想的？

生：180°-90°-40°=50°，还可以用 180°-（90°+40°）=50°。

生：还可以用90°-40°=50°。

师：行吗？为什么？

生：因为三角形内角和是180°，其中有一个内角是直角，是90°，剩下的两个锐角合起来是90°。

师：看来只知道一个锐角的度数，也能求出未知锐角的度数。（一个学生插嘴道：“这个三角形是一个特殊的三角形”）是这样吗？（生：是）还有不同的想法吗？

生：等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是180°-40°×2=100°。

生：（迫不及待地说）等腰三角形的顶角是40°，它的一个底角是 （180°-40°）÷2=70°。

师：是这样吗？你们怎样想的？

生：因为等腰三角形的两个底角相等。

师：在等腰三角形中，只知道一个内角的度数，的确能求出未知内角的度数。二星级的问题我们也解决了。想不想试试三星级的问题？（生：想）

（课件出示）有没有可能三角形一个内角的度数都不知道，也能求出内角的度数？

很多学生激动地答：“有！”

生：等边三角形的每一个内角都是180°÷3=60°。

师：为什么？

生：因为等边三角形的三个内角都相等，所以用180°÷3=60°就知道了等边三角形内角的度数。

师：大家真了不起！一个内角的度数都不知道，也能求出三角形内角的度数。看来，三星级的问题也难不倒大家！

下课后，学生还在兴致勃勃地回味刚才学习的情境，一个学生跑过来问我：“老师，还有四星级、五星级的题目吗？”

【教学反思】

1．“只知道一个内角的度数，我也能！”——学生能独立自主地思考。

学生是天生的学习者，学生自身有一种先天的结构支持着他们的学习。如面对问题时，学生总会自觉地调用已有的知识、经验和智慧去尝试、去探索、去解决。在本节课的学习中，仿佛已知三角形的两个内角是求第三个内角度数的必要条件，别说一个内角的度数也不知道，就是知道一个内角的度数求未知内角的度数，好像都是不可能的。但在课堂上，尽管教师未作任何指导，学生依然能从自己的认知库中调取知识、经验和智慧将未知变成已知：虽然只知道一个内角是40°，但是可以假设这个角是直角三角形的一个锐角，这时就转化成了两个内角分别是90°和40°，求第三个内角的度数；也可以假设这个角是等腰三角形的一个底角，由于等腰三角形两个底角相等，就转化成了两个内角都是40°，求第三个内角的度数；还可以假设这个角是等腰三角形的顶角，则两个底角的度数和是 180°-40°=140°，一个底角只需要把140°平均分成2份即可。一个内角的度数也不知道时，可以假设这是一个等边三角形，因为等边三角形的三个内角相等，把180°平均分成3份，每份就是等边三角形任意内角的度数。学生通过假设把已知条件置于一个特殊三角形的背景中来解决，说明了学生是一个天生的思考者，面对问题总是会积极主动思考的，学生的这种天性甚至可以说是“人类的一种生存逻辑”。

2.“还有四星级的题目吗？”——学生的思考需要挑战性的问题来激发。

学生是天生的思考者，但是课堂中学生为什么总是表现出不愿意思考的一面呢？造成这一现象的原因是教师总是假设学生的学习是被动的，思考较多的是如何讲学生能听懂，很少考虑如何调动学生自身的动力系统、如何激发学生积极主动地思考。久而久之，学生也变得不愿、不会思考了。在本节课的学习中，如果简单地呈现一组求三角形未知内角度数的条件完备的封闭题，如已知三角形任意两个内角的度数求未知内角的度数，求直角三角形一个锐角的度数，求等腰三角形的顶角（或一个底角）的度数，求等边三角形内角的度数等，让学生依次解决，课堂必然是另一番景象。在教学中，我根据这些问题的内在联系——都是“已知三角形两个内角的度数求未知内角的度数”和直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角的特点，把需要解决的问题设计成一组缺少条件的、开放的、具有一定挑战性的问题，并根据难易程度确定不同的星级。这样的问题挑战着学生的思维，但学生“跳一跳能摘到果子”。因此，很多的学生投入到积极主动的思考中，甚至下课了还在激烈地思考着、讨论着。这就是教师对学生学习做出“积极主动的假设”后，通过创设情境，设计挑战性的问题点燃学生思考的“火把”的结果。

3．“它是一个特殊的三角形！”——学生自主的思考带来了学习的增值。

思考是人大脑各部分整体联动的系统行为，带来的不可能仅仅是问题的解决。在本节课的学习中，学生调动知识、经验和智慧将已知条件置于特殊三角形的背景中解决的过程，也是学生认知结构的建构、丰富和完善的过程。在这个过程中，学生需要把三角形从角的维度进行“回放”——回忆锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形的角分别有什么特点，还需要结合已知条件进行判断和选择——锐角三角形已知一个内角能求出未知内角的度数吗？直角三角形呢？等腰三角形呢？……这样，学生通过解决问题得到的就不仅仅是三角形内角和是180°这一孤立的知识点，围绕在它四周的还有直角三角形、等腰三角形和等边三角形等，每类三角形都与它用“学生自己发明的线”连在了一起，这就是属于学生自己的知识结构。在这个过程中，学生也感悟到了“转化”的思想方法——面对一个新的问题时，我们首先要考虑的是如何转化成学过的问题，这就是我们经常说的“把新知转化为已知”。学生通过自己的思考体验到学习的快乐，成功的高峰体验必然会增强数学学习的自信，等等。因此，可以说思考带来的附加值是全方位的。

把思考的权利还给学生，就是要充分相信学生，相信学生是天生的思考者，就是要设计挑战性的问题激发学生积极主动地思考。在这样的课堂中师生必将会体验到思考带来的快乐和幸福！