凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错误——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的直线段

黄小宁●

广东省广州市天河区(510631)



凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错误
——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的直线段

黄小宁●

广东省广州市天河区(510631)

区间[0，x]∪(x，x+1]的子区间[0，x]之外还有正数；…；…；…这一系列中学数学常识使中学生也能一下子认识：①5千年都无人能识的自然数；②几千年都无人能识的R外正数；③2300年都无人能识的等长却不“等势”从而不合同的直线段(光滑曲线可看成由直线段组成)——推翻2300多年“几何起码常识”：形状、大小相同的图形必合同.不识这类“更无理”的数和直线段使2300多年初等几何和中学几百年解析几何一直将各异直线段误为同一线段，从而使康脱推出病态的“直线段部分点可与全部点一样多”.两没空隙的等长直线段分别包含不一样多的点从一侧面显示2300年“点无大小”公理并非“不容置疑”，因长度不变且没空隙的直线段能包含多少个点是与点的长有关的.保距变换概念揭示同样是无穷长的射线，此线的长可大于彼线的长.

N外标准自然数；貌似重合的伪二重直线(段)(只有重叠关系而无重合关系)；推翻平行公理；推翻百年自然数公理和百年“R完备、封闭”论；区间族；合同图形以及合同点；伸缩变换

人类认识自然数已有5千多年，认识直线(段)已有2300多年，中学数学的区间[0，2]等等均是无穷集.“科学”共识：数学，尤其是关于自然数和最简单、基本的图形：直线段方面的中学知识绝不可能有重大错误更不可能有一系列….“反科学”的神话般发现来自于太浅显的：①几何起码常识c：相等的图形必合同.②集合起码常识d：所谓数集A=B是说A的元与B的元可一一对应相等即有x↔y=x(表A各元x均有与之对应相等的数y∈B且B各元y均有与之对应相等的数x∈A)，故A=B的必要条件是有x↔y即A、B分别包含一样多个元.③区间概念.④下述不等式起码常识s.

质点x移动到新位置成点x′还是移动前的点即移动前后的点只有位置差别而无别的差别.图形A各点保距偏离原位生成的B≌A.A≌B≠A是说A与B只有错位的差别而无别的差别.用各不同材料(金、铁、铜、铝、…)制成许多形状、大小相同的实心球，用木、纸、塑料、面粉、煤粉、…做成的球，…；各球并非只有位置差别而无别的差别.同样，本文发现有无穷多没空隙的等长直线段(构造直线段的材料是“点”)彼此均无合同关系——从一侧面显示其分别由各不同的材料点组成——说明同样是“点”，此线段A的元点与彼线段B(与A等长且不≌A)的元点并非只有位置差别那么简单；人类由认识直线段到发现这类用而不知的直线段竟须历时2300多年！但若担心广大高中生(应熟悉非常简单易懂的保距变换概念)看此科普文后还不能认识这类直线段那就是污蔑其是弱智群体了.当然错误的应试教育会将正常人育成….关键是要求真务实而不要“求分务(文)凭”.

1.凭中学数学常识发现：①5千年都无人能识的自然数；②中学几百年重大错误：搞错y=n+1的值域而将两异数列误为同一数列

关键不在学习了前人多少知识而在能否运用所学知识见前人所未能见从而创造出前所未有的知识.与x相异或相等的数均可表为y=x+△x(△x可=0也可≠0).设本文所说变数都可形象化为沿一维空间“管道”G运动的动点(可固定一下)，n个变数可形象化为同在G内的n个动点.G内x轴各点变换为还在G内的点x+△x=y形成元为点y的点集还在G内.

只有两个点的点集{点a，点b}，设想a、b是闭直线段B的两端点，这两点绕B中任一点旋转是保距运动.至少有两元的点(数)集A保距变为点(数)集B就称A≌B——表示A与B可通过保距变换而重合.

设A={x}表A各元均由x代表，变数x的变域是A；A任两异元x与x+△x之间的距离是变量|△x|>0.a∈x轴变号为-a的几何意义是点a绕点x=0旋转180°变为点-a∈x轴.直线段A={x}=[-1，3]⊂x轴绕点x=0旋转180°变为线段B={-x}=[-3，1]⊂x轴，B沿x轴正向保距前移距离2变成C={y}(y=x+△x=-x+2)=[-1，3](⊂x轴)=A，这A通过旋转和平移变为C=A是保距变换：x↔y=-x+2.因相等的图形(点集)必合同，故有

h定理1 至少有两元的点(数)集A={x}=B={y}的必要条件是A≌B，这等价于|△x|=|△y|即△y=±△x，以及y=y(x)=±x+c——表明y=±x+c以外的一切y=y(x)的定义域必≠值域.

证1A=B≌B时A与B的元x与y必可有一一对应关系：x↔y=y(x)，在此关系下y+△y中的△y=y(x+△x)-y(x)，A=B≌B说明A各元x变为y(x)(x↔y(x))组成B={y(x)}=A不一定是没变换的恒等变换但一定是保距变换;由A≌B的定义，|△x|=|x+△x-x|=|y(x+△x)-y(x)|=|△y|；而当且仅当y=y(x)=±x+c时才有△y=y(x+△x)-y(x)=±(x+△x)+c-(±x+c)=±△x.

证2A={1，2，3}各元x=1，2，3.x=1时异于x=1的元x+△x=1+△x可=2与3，△x可=1与2；x=2时与其相异的x+△x=2+△x可=1与3∈A，△x可=-1与1；x=3时x+△x=3+△x可=1与2∈A，△x可=-2与-1.所以△x的变域是{3，±2，±1}，|△x|的变域是{1，2，3}.至少有两元的B={y}任两异元y与y+△y间的距离是|△y|，显然若A=B则|△y|必=|△x|；同样，A可是别的至少有两元的点集，…….证毕.

若A≌B则A与B可通过保距变换而重合，A的任何一部分C(至少有2元)⊂A都不可通过保距变换而与A重合(注：直线段的一部分线段可弹性伸长，但这不是保距变换.).据此应有

h几何常识：至少有4元的点集A的任何一部分C(至少有两元)⊂A都不可≌A.

A={1，2，3，4}各元x有相应的△x,B={1，2}各元x也有相应△x；这两△x是不同的变量，因此△x中x的变域是A而彼△x中x的变域是B⊂A.

R所有正数x组成A，定义域为A的y=1/x>0、y=x2>0和y=1/x2等等的值域B=A吗？因各y(x)都是y=±x+c以外的函数，故据h定理1各y的值域均≠A,这里的A各元x>0变为y=y(x)组成元为y的B不≌A均不是保距变换；同理，定义域为R+=A∪{0}的y=x2≥0的值域≠R+，….本文表明本文作者以往论文中的相应结论是正确的，但论据中的“A={x}=B={y}的必要条件是y=±x+0”应改为：A=B的必要条件是y=±x+c；相应“|y|=|x|”应改为：A任两异元间的距离|△x|=B任两异元间的距离|△y|>0.

定义：若点P与点P′重合或虽不重合但只有位置差别而无别的差别，就称P合同于P′记为P≌P′.相互合同的点可通过移动而重合，不合同的点不可重合而只可重叠.

将直线段A的一端点涂成红点，保距运动将A的红点(或中点)变为新线段B≌A的红端点(或中点)，…；将相片(像素点的集合)中人的左眼变为新相片中人的左眼；将坐标系j变为新坐标系j′≌j.复平面z=x+iy的x轴z1=x+i0各点z1=x到x轴的对称中心点z1=x=0的距离|z1|=|x|(x的变域是x轴)不随直线z1=x的保距变换而变换，例直线z1=x绕点z1=0反时针旋转θ角成直线z2=x(cosθ+isinθ)=xcosθ+ixsinθ=X+iY≌x轴，此线z2各点z2=xcosθ+ixsinθ到此线的中心z2=0的距离|z2|还=|x|.同样……

证1 坐在汽车里各人x与司机(或车内任一位置)的距离ρ(x)分别是ρ(x1)=a，ρ(x2)=b，ρ(x3)=c，…，所有ρ组成M={a，b，c，…}，ρ(x)是变域为M的距离函数；因各人x相对于车是不动而没相对位移的，故ρ(x)不可随车的匀速直线运动而变为别的变量；若急刹车ρ就可变为ρ′≠ρ.同样A变为B≌A只是A作改变空间位置的刚体运动，各元点相对于图形是没相对位移的，这就使ρ与ρ′必是同一距离变量.

证2：设A={x}≌B={y(x)}，A各元点x到A任一点x0的距离ρ=|x-x0|，B各元点y(x)到点y0(x0)∈B的距离ρ′=|y(x)-y0(x0)|，由A≌B的定义ρ′=ρ；同样，A与B可是n≥2维空间图形，…….证毕.

人类5千年来一直认定各已知自然数n∈N与1(或2,3，...)的和n+1(或n+2,n+3，...)均是已知自然数∈N.一切已知自然数n组成N⊂R各元n均有后继标准自然数n+1.挖去R轴一点x就空出一位置“洞”x说明R轴由点与容纳点的位置洞两部分组成.将x轴的射线x≥0(各x∈R)中的非自然数点x都挖去就得有许多空位漏洞的有洞射线n≥0(n的变域是N)，设想在各空位内灌入粘结剂从而将各点连接起来.有洞射线(点集)N={n}各点n≥0沿N正向保距平移距离1成为点n的后继点y=n+1>n生成由一切后继点y组成的有洞射线(点集)H={1，2，…，n+1，…}(n≥0的变域是N)≌N,即H是射线y=n+1≥1.挖去有洞射线N的起点n=0就得N的子部射线N+={1，2，…，n+1,…}⊂N.保距变换将射线的起点变为新射线的起点.射线N+各点n≥1到该线的起点n=1的距离是n-1≥0(n≥1的变域是N+)而射线H各点n+1≥1到该线起点n+1=1的距离是n+1-1=n≥0(n的变域是N)，据h定理2,N+不≌H从而更≠H.因N+各n≥1都是其左邻n-1∈N的后继n∈后继集H,故H包含N+，包含N+的H≠N+说明H中必至少有一N+外自然数n+1(>n)=t>N+一切自然数n.对N任何(一切)元n均有区间[0，n]，….变域为N的n被限制只能代表区间Q=[0，n]∪(n，n+1]∪(n+1，n+2]∪…∪…的各子区间[0，n](n的变域为N)内的自然数，当n由小到大遍取N一切数n时[0，n]的长度n-0=n由0→∞而变至能长到包含N一切数n；据区间概念在各[0，n](n的变域为N)之外还有用而不知的自然数n+1=t>n以及t+1>t等等>N一切数n∈[0，n]，因Q中区间族{[0，n]|n的变域为N}远不可包含一切标准自然数.详论见[1].人类由认识自然数到发现t竟须历时5千多年！但若担心熟悉区间概念和几何常识c的亿万学生看此文后还不能立刻认识这“特异”的t那就是污蔑其是弱智群体了.误以为“N对加法封闭”使自有函数概念几百年来数学一直认定N+=H从而使康脱推出病态的：N～N+⊂N.

2.人类由发现无理数到发现“更无理”数竟须历时2500年

R各数x均有对应数x/2.不等式起码常识s：说00可遍比A一切数x都小而取A外数(同样x可>y的变域内的一切数y)，说A=(1，2]⊂R就是说式中y可0可0且≤1由大到小取值而由1处出发→0遍取A=(0，1]⊂R一切数x时[x，1]的长|1-x|(x由1→0)由0→1地逐渐变长而长到包含A一切元x∈[x，1]，据区间概念在各[x，1](x的变域是A=(0，1]⊂R，将各[x，1]中的x都提取出来组成的集是A)之外至少有一正数x/20被限制只能在[x，1]⊂(0，1]内取值.可见常识s和区间概念表明定义域为A的y=x/2>0的值域中有用而不知的R外正数y0=x0/2

L={x}=(0，2]⊂R的子部A=(0，1]⊂L各数元x变为y=2x(△y=2△x)∈L组成L′={y=2x}(0<2x≤2)～A.L任两异元的距离是|△x|，而L′任两异元的距离是|△y|=|2△x|，据h定理1，L≠L′.包含L′的L≠L′——说明L内还有数学一直未能察觉的L′外数——说明L′⊂L.L各元也均可由y>0代表，L内满足h式y=2x>x=y/2∈A的元y的全体组成了L′，L′⊂L外的数y∈L是不满足h式的“更无理”数y(>y/2>0)，即此y的对应数y/2不可∈A从而是A和R外的正数

圆周x2+y2=1有一半径B与线段[0，1]⊂x轴重合.B绕圆心反时针旋转使B由∥x轴变到⊥x轴，B在x轴的正投影T就相应不断缩短使T两端点的距离ρ由=1逐渐变小到=0致两端点重合.自由落体的高h≥0也是由大到小取值的.稍有一点头脑的人都知由大到小取值的ρ≥0必取尽其变域J所有正数后才能取0即ρ必取到无正数可取了才取0.但有“定理”断定ρ→0每取一正数ρ后总还有后续正数如ρ/2∈J要取而总不能取到无正数可取从而更谈不上能取0——尖锐自相矛盾！所以如所述J必有最小正数元ρ1(文[2]严格证明了R有最小正数元⊕)使ρ1/2是J外正数，ρ→0取ρ1后就无正数可取了.产生逻辑悖论是因主观认识与客观实际不符.由大到小取值且变域为[0，1]⊂R的x→0有最后一次的取值：取0，即其取数过程是有完有了的.真正的无穷集必是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一体，不能只识其“无穷”的一面而不识其“有穷”的另一面.详论见[1].

3.区间概念让中学生也能一下子认识几百年都无数学家能察觉的中学数学重大错误：定义域=[0，1]的y=2x的值域=[0，2]中学几百年函数“常识”：“定义域=[0，1]的y=2x的值域=[0，2]”其实是违反区间概念和集合常识d的肉眼直观错觉.U={x}=[0，2]的子部V=[0，1]⊂U各元x变为y=2x∈U组成U′={y}～V.U′≠U即0≤x≤2中x的变域是U=[0，2]，但0≤2x≤2(x的变域是V)中y=2x(△y=2△x)的变域≠U.理由：

①|△y|=|2△x|>|△x|，据h定理1U′={y=2x}不≌U={x}，从而更≠U.几百年“U=U′～V”使康脱误以为V～U⊃V.

②因U′一个不漏的一切正数元均由y=2x>x>0中的y代表,故据常识s该式表示至少有一正数x∈V⊂U小于U′一切正数y.U=[0，2]=[0，x]∪(x，2x)∪[2x，2]中的[2x，2]中的2x>0且≤2,由2处出发→0遍取U′一切正数y=2x∈U时,[2x，2]的长|2-2x|(2x由2→0)由0→2地逐渐变长而长到包含U′一切正数2x∈[2x，2]，据区间概念在各[2x，2](2x遍取U′一切正数2x)之外至少有一正数x∈V⊂U小于U′一切正数2x∈[2x，2]，关键是2x>0被限制只能在[2x，2]内取值即2x>0,不可遍取U=[0，2]一切正数.

③U′各元y=2x的对应数x∈V的全体组成的集是V⊂U而非U，没人能证U′各元2x∈U与U各元x可一一对应(配对)，即如[3]所述没一配对法能使U=[0，2]各元x都有“配偶”y=2x∈U′——说明U′～V⊂U不可～U即U与U′不“等势”.U=[0，2]各数都由x代表，其中有一类数可表为y=2x(x∈V⊂U)，而也可由y=2x代表，所有y组成的集记为B(=U′).B=U′各元2x↔x∈V能与V各元x一一对应只说明B=U′～V⊂U而不能说明U～V⊂U.“U各数x都有对应数α=x/2”时，U中有一类数可表为y=2α(α=x/2)=x(不限制α必∈U)而也可由y=2α代表，所有y组成I.因有x↔y=2(x/2)=x故I=U.U各数都由x代表的同时也都可由y=2α代表，但却不可也都可由y=2x(x∈V)代表，因x↔y=2x=x不能成立，故无人能证B=U.

4.以上知识让中学生也能一下子认识2300多年都无人能识的直线段一下子认识R外正数——存在没合同关系的点

对R(包含一切已知正数)各正数元x>0均有对应数y=x+3、y=3x、等等，均有区间[0，x]等.人类自识正有理数和加法几千年来一直认定各已知正数x∈R的对应x+3均是已知正数∈R，然而区间概念和常识s推翻此认定.区间[0，x]∪[x，y=x+3]中的x>0由小到大遍取R一切正数x时[0，x]就长到包含R一切正数x，极显然：据区间概念在各[0，x](x>0遍取R一切正数)之外还有正数y=y1=x1+3大于R一切正数x∈[0，x]；而y1的对应数y1+3和3y1等等均>y1.同样…，所以已知正数∈R全体仅是正数全体的沧海一粟.可见“R各元x均有对应数x+3且R对加法封闭”中的R是自相矛盾的非集.

点集A：各点x沿x轴正(负)向保距前(后)移变成点x+常数c≠x形成点集B就不可还=A了，因B各点x+c都在点x的前(后)面，从而使各x+c与各x不可一一对应重合相等,各x只可与各x+c≠x中的x一一对应相等而不可与各x+c本身一一对应相等.初中生就须正确认识：一次函数y=x/2的定义域即函数x=2y的值域；y=x-3的定义域即函数x=y+3的值域；…运动坐标系的坐标轴可沿轴保距平移.说R轴即x轴各元点x可沿轴保距前移变为点x+△x=x+3=y就是说R轴可沿轴正向保距平移距离3变为元为点y=x+3的y=x+3轴≌x轴.其余类推.y=x+3轴=x轴吗即定义域为x轴的y=x+3的值域y=x+3轴=x轴吗？据常识s说y=x+3>x中x遍取R一切数就是说y可遍比R一切数x都大而取R外数y；上述也已证有数y1>R一切数；x轴各元x只可与各x+3∈y=x+3轴中的x一一对应相等而不可与各x+3本身一一对应相等.不识这类用而不知的y1使中学一直搞错y=x+3的值域.在保距平移变换:x↔x+常数△x中，显然当且仅当△x=0时才可有x↔x+△x=x;可见集合起码常识d表明直线A沿本身保距平移非0距离后就≠A了，世人在初中阶段就搞错了y的值域而将两异直线误为同一线.x轴沿本身保距平移距离|c|≠0变成X=x+c轴(≌x轴)=x轴吗？在x↔x+c中当且仅当c=0时才可有x↔x+c=x;x轴的子部射线x≥0各点x≥0到该线起点x=0的距离是x≥0，而X=x+c轴的子部射线X=x+c≥0各点X≥0到该线起点X=0的距离是X=x+c≥0(c≠0)，据h定理2射线X≥0不≌射线x≥0从而更≠射线x≥0——由此知X轴≠x轴.

半直线是直线的一半.据第一节的h几何常识x轴的半直线：射线x≥0不≌它的子部射线x≥3.显然若射线x≥0与射线x≥3(各x∈R)均为x轴的半直线则其必等长从而必有≌关系.射线x≥0各点x≥0到该线起点x=0的距离是x≥0，而射线x≥3各点x≥3到该线起点x=3的距离是x-3(x≥3)≥0，据h定理2两射线不合同——反映两线不等长使射线x≥3并非x轴的半直线——说明点x=3不可是x轴的中心，同样…——说明同样是无穷长的射线，此线的长可>彼线的长.文[2]严格证明了R轴有最大元x=®，这更有力说明点x≠0不可是x轴中心.x轴各点x到x轴的对称中心x=0的距离是|x|，y=x+3轴(≌x轴)各点y到y=x+3轴的“中心”y=0的距离是|y=x+3|≠|x|，据保距变换概念点y=0不是y=x+3轴的中心，点y=x+3=3(x=0)才是y轴中心；可见保距变换概念说明“直线(点集)A上任一点x0都将A分成以x0为分界点的两半部分，x0是A的对称中心.”是对直线的重大错误认识.

据“橡皮几何”和仿射几何，平面和直、射线等也有伸缩变换.射线x≥0可伸缩为射线kx(正常数k≠1)≥0.李惠玲等教授：“一维空间里的坐标变换无非是平移和反射[4].”其实这是极片面认识，因直线(段)还有一类非常重要的伸缩变换.例⊥x轴的y轴有向着x轴的正压缩变换：变为Y=y/2轴.伸缩变换是仿射变换中的最简单变换.一维空间管道G内R轴各元点x变为还在G内的点x+△x=kx=y(正常数k≠1)生成元为点y=kx的y=kx轴(叠压在R轴上)是伸缩变换，可将y轴记为kR轴(高等几何一直认定R轴伸缩变换成kR轴还=R轴)；伸缩变换是非保距变换，故kR轴不≌R轴；R轴各元点x到R轴的对称中心x=0的距离是|x|，而kR轴各元点y=kx(△y=k△x)到kR轴的中心y=kx=0的距离是|kx|≠|x|(k≠1)，据h定理2kR轴不≌R轴——推翻举世公认2300年的公理：凡直线必合同(“等长的直线段必合同”的理论依据是此理).所以中学几百年“定义域为R的y=kx的值域=R”其实是被伪二重直线迷惑的肉眼直观错觉.将各异直线误为同一线自然就会将各异直线段误为同一线段.

直线段Z={x}=[0，2]⊂R轴的子部D=[0，1]⊂Z各元点x变为点y=x+△x=2x∈2R轴生成元为点y=2x(△y=2△x)的Z′(～D)={y=2x}=[0，2]⊂2R轴覆盖在Z上.“Z′=Z”其实是被伪二重线段迷惑.理由：

①Z=[0，2]⊂R各点x到Z的中心x=1的距离ρ=|x-1|而Z′=[0，2]⊂2R各点y=2x到Z′的中心y=2x=1的距离ρ′=|2x-1|≠ρ;|△y|=|2△x|>|△x|.据h定理2或h定理1,Z′={y=2x}不≌Z={x}从而更≠Z——说明中学几百年解析几何一直将用而不知的直线段Z′误为Z.②Z′各元y=2x的对应数x∈D⊂Z的全体组成的集是D⊂Z而非Z，类似第3节所述没人能证Z′各元2x与Z各元x可一一对应(配对)，即Z′～D⊂Z而不可～Z——说明Z′的元点少于Z的元点.两没空隙的等长线段Z与Z′分别包含不一样多的点从一侧面显示2300年“点无大小”公理并非“不容置疑”，因长度不变的直线段能包含多少个点是随着点的变大(小)而变少(多)的.有人以“Z′=Z”为据断定Z′～Z，然而以上一系列论据证明Z′≠Z.由Z与Z′分别包含不一样多的点也知Z′不≌Z.

用h定理1、2检验知课本上类似这样将两不“等势”从而不合同的线段Z′～D和Z⊃D误为同一线段的几百年错误比比皆是——使康脱误以为“直线段的部分点可与全部点一样多”；详论见[5].真正建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误，但限于篇幅本文无法详谈.显然有伪二重线段相应就有伪合同线段.元点间的距离由|△x|>0变大近千倍而变为|△y|=1000|△x|，这一来元点之间还能“亲密无间”吗？极显然：没空隙的直线段D=[0，1]⊂R轴各元点x沿R轴平移变为点y=x+△x=1000x≌点x生成元为点y=1000x的线段K=[0，1000]⊂1000R轴；如[6]所述这类不改变元点个数的增距变换使元点与元点之间拉开了一段距离从而使其所占据的空间变长了约千倍，这一来K就不能和D一样没空隙了即K的元点y之间不能有“亲密无间”的关系了，除非各元点y都相应膨胀变大从而使点y=1000x不≌点x∈D，否则就不合逻辑了.“直线段被拉长了，但作为图形的一部分的元点却没增加也没被‘拉扯’大”——这显然是不合科学常理的自相矛盾.所以2300年“点无大小”使几何学自相矛盾.详论见[2].

z=x+iy平面上的直线z=x+ikx(y=kx中的k是常数)可伸缩成元是点cz的直线cz(正实常数c≠1是伸缩因子)叠压在直线z上，直线z≠直线cz的理由：①伸缩变换是非保距变换即直线z不≌直线cz.②w=z与w=cz不是同一关于z的函数使其图象不相等.③说直线z与直线cz重合就是说两线的差别为0：cz-z=z(c-1)=0即说z=0——与z是直线矛盾.所以xy面上直线i：ax+by=0伸缩成直线j：c(ax+by)=0是≠直线i的.例直线i：

x-y=0(x与y=x的变域均为R)…(1)

伸展成元是点(X=2x，Y=2y)的直线j：

2x-2y=0(X=2x与Y=2y的变域均为2R)…(2)

叠压在直线i上但≠直线i.满足方程(2)与(1)的点(x，y)的全体组成的集均是直线i，但满足方程(2)的点(X=2x，Y=2y)的全体组成的集是直线j≠i.(2)中：x的变域是R而X=2x的变域是2R≠R，….——这使关于X=2x、Y=2y的方程(2)与关于x、y的方程(2)有根本区别，而不同的方程，其图象也是不同的.同样，方程(1)：2(x/2)-2(y/2)=0若是关于x/2=X(x的变域是R)、y/2=Y的方程则其图象不是直线i(因Y=X=x/2的定义域是(1/2)R≠R)；…；若(1)中x与y的变域均为cR(正常数c≠1)则其图象不是直线i；….注：对于常数项≠0的直线方程可选择适当的新坐标原点使常数项=0.(x/3)2+(y/2)2=1的图象是什么？若其是关于x、y的方程则图象是椭圆，若是关于x/3=X、y/2=Y的方程则图象是单位圆——反映不同的方程(不同的函数关系)有不同的函数关系图象.搞错自变量就会搞错函数关系从而画错函数关系图.可见中学几百年解析几何和几百年一次函数理论对直线的认识一直存在极重大缺陷和错误.

不明上述真相就有：凡直线必合同；从而有2300多年“几何起码常识”：有一交点的两直线中一线绕交点旋转使两线夹角=0，两线就重合了.

x轴伸缩变换为y=kx轴(正常数k≠1)，有等长线段：A=[0，b]⊂x轴和A′=[0，b]⊂y=kx轴，A各点x到A的中心x=b/2的距离ρ=|x-b/2|而A′各点y=kx(△y=k△x)到A′的中心y=b/2的距离ρ′=|kx-b/2|≠ρ；|△y|=|k△x|≠|△x|.据h定理2或h定理1A不≌A′.

y=kx轴中的k≠1可取无穷多正数说明有无穷多长度均=b的直线段互不合同.可见2300多年“等长的直线段必合同”其实是被伪合同线段迷惑的肉眼直观错觉.线段D=[0，1]⊂x轴各点x变为点X=x+△x=xk(正常数k≠1)≥0组成元为点X=xk(0≤xk≤1)的D′覆盖在D上(非保距变换)；中学几百年函数“常识”：“D′=D”其实是被伪二重集迷惑.理由：D不≌D′；X=xk是y=±x+c以外的函数，据h定理1X的定义域D≠值域D′——说明D′是用而不知的点集！

R轴可伸缩变换成kR轴使R2平面可伸缩成(kR)2平面；….z=x+iy平面可伸展成2z平面叠压z面上(非保距变换).z面有圆盘A⊂z面：|z|≤1，2z面也有圆盘B⊂2z面：|2z|≤1，数学一直认定A=B≌B.其实这是肉眼直观错觉.A⊂z面各点z到A的圆心z=0的距离是|z|≤1，而B⊂2z面各点2z到B的圆心2z=0的距离是|2z|≤1，据h定理2A不≌B.

同理可证空间中有无穷多大小相同的圆球体(椭球体)不合同.例设正常数k≠1，有半径均=1的圆球体A：x2+y2+z2≤1和B:X2+Y2+Z2≤1，其中X=kx、Y=ky、Z=kz，相应有X=kx轴、Y=ky轴、Z=kz轴以及相应空间(kR)3；A各点(x,y,z)到A的球心x=y=z=0的距离是(x2+y2+z2)1/2≤1,而B各点(X，Y，Z)到B的球心的距离是((kx)2+(ky)2+(kz)2)1/2≤1，据h定理2,A不≌B，两者是伪合同球体；相应有伪合同球面.对球体的认识存在重大缺陷与错误自然就使人推出“分球怪论”等怪论.

据h定理2可证在二维和三维空间中分别都有无穷多形状、大小相同的各种各类的图形均不合同.

希尔伯特的《几何基础》有平行公理：平面A上：有直线a及a外一点D，过D有且只有一条直线b∥a.其实直线b沿本身保距平移或伸缩成直线c还∥a但c≠b——说明有无穷多各异直线均过点D且∥a，但其均≠b.这说明c不是A的子集，尽管c在A上.详论见[7].

5.人的思想须与实际相符——“点无大小”使几何学一直不能自圆其说——试提出符合实际的“点”概念

“元点是组成直线A的部分”，显然若A各部分都=0则A的长就只能=0.人的思想须与实际相符.与实际相符的理论才能用于指导科学实践.以上表明人类2300多年一直将伪合同、伪重合图形误为合同、重合图形，坚持2300年的“点无大小”就无法纠正此重大错误从而化解数学危机.否定客观存在的“更无理”的数和图形犹如医学否定前所未见的非典病毒，是致命错误.钱学森非常重视逆向思维，“点无大小”的逆向思维是：点有大小.文[2]证明R轴可由大小都一样的“分子”点：长为⊕(⊕是无穷小正数，⊕/2是R外正数，…)的正方形点：⊙(放大到肉眼可见的图象)组成，各点如原子有原子核那样有中心，这中心称为点的核心(设是圆形)，其直径D是比⊕>>>D高级的无穷小正数；规定：两点间的距离是它们的核心的连线的长，闭直线段的长度是两端点间的距离.若无有刻度线的量尺就不能量出线段的长，须有度量两元点间距离的思维量尺，其刻度线的宽度=点的核心的直径D，在此量尺下量出：D=0，两相邻元点间的距离是点的长度.同样在相应思维量尺下量出元点的长度=0即点的长只是相对的0而非绝对的0.R轴可伸缩为kR轴(正常数k≠1)(可由长、宽都是k⊕的正方形点组成).

R轴可是一元点□· 作相应直线运动划出的宽为⊕的无穷长长方形.有大小和核心的质点p(可与□· 的形状、大小相同也可不同)从R轴的位置x=0处出发沿R轴“轨道”正向运动，当与出发处相距1+⊕/2时其位置坐标x=1+⊕/2是R外正数，…；这说明动点p很多时候所处位置都不可用R内数表示，但这又有什么关系呢？其运动划出的直线段完全可不是R轴的子集.上文说明R2面的R轴伸缩成kR轴不能还是R2面的子集了，虽其还在R2面上；…文[2]证明点集与数集有根本区别，数形结合须跃出根本误区.用积分法来求直线段A=[2，3]⊂R轴的长需将其看成由无穷多部分组成，各部分的长|dx|不必限制一定∈R而完全可是比⊕小的正数即各部分可比R轴的元点还短小从而不是R轴的子集；同样求定义域为A的曲线段y=y(x)的长时须将曲线段看成由无穷多子部组成，不必限制各子部均；….其余类推.射影几何有点列定义：“动点在一条定直线上平移所产生的图形称为点列.那条直线称为点列的底[8].”显然这动点沿点列的底连续平移所产生的图形(点列)是直线段F，F可以不是其底的子部.在R2平面内放置一对相交的坐标轴就能表示平面各元点的位置，但坐标轴无须一定是平面的子集.

物理学要知自由落体z在各时刻的速度就须研究z的非0位移，而这位移的长ρ须可<“任意给定”的正数ε，当ε=普朗克长度数P时非0的ρ<ε就是

设数学内的所有正数组成S+，上文说明若S+各元x均有对应正数kx(k是非1正数)、x2等等，则并非所有kx都还在S+内.其实不必害怕使用S+外正数进行推理，借用S+外正数同样能得正确结论，可将S+内正数称为目标正数，将S+外正数称为辅助正数；借助辅助数可求出目标数，这好比借助房子以外的脚手架可造出房子一样.但限于篇幅本文无法详谈.

6.结语

不明上述真相的老师们一直都在以讹传讹误人子弟从而使受教育者打歪成才的基础(“基础不牢地动山摇”)，是否及时纠正与每一人的切身利益息息相关.h定理让亿万中、大学生也能一下子认识5千多年都无人能识的自然数，一下子认识2300多年都无人能识的无穷多各种各类的伪合同、伪重合图形；不识这类比虚数更“虚”的自然数和图形使康脱误入百年歧途推出康健离脱的病态理论.破除迷信、解放思想、实事求是才能创造几千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：一下子跃进到认识“更无理”的数和图形的时代.备注：已对本文采取法律公证等法律保护措施.

[1]黄小宁.数列、集合、逻辑学起码常识暴露课本一系列重大错误——数列起码常识否定5千年“常识”：无最大自然数[J]，科技视界，2015(32)：5.

[2]黄小宁.著名数学家朱梧槚的发现揭示课本有一系列重大错误——发现最小、大正数推翻百年集论破解2500年芝诺著名世界难题[J]，科技视界，2014(10)：70.

[3]黄小宁.两集相等概念推翻百年集论和几百年函数“常识”——课本重大错误：定义域=[0，1]的y=2x的值域=[0，2][J]，数学学习与研究，2015(3):117.

[4]李惠玲等.集合与面积[M]，南宁：广西教育出版社，1999：79.

[5]黄小宁.不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系列重大错误——让2300年都无人能识的直线段一下子暴露出来[J]，数学学习与研究，2016(5):151.

[6]黄小宁.“时空量子化”的关键：纠正数学课本一系列重大错误——证明实数轴有最小、大正数点推翻百年集论[J]，科技信息，2011(17)：38.

[7]黄小宁.几何、集合起码常识暴露中学数学一系列重大错误——几何起码常识让5千年都无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，科技视界，2016(3)：92.

[8]孙泽瀛.近世几何学[M].北京：高等教育出版社，1959：55.

G632

B

1008-0333(2016)24-0019-05