再论Cauchy微分中值定理的逆问题

王良成，马秀芬，杨明硕

(重庆师范大学涉外商贸学院，重庆401520)



再论Cauchy微分中值定理的逆问题

王良成，马秀芬，杨明硕

(重庆师范大学涉外商贸学院，重庆401520)

文[1]给出了“Cauchy微分中值定理”中值点唯一的条件，并得到了其逆定理的较弱表述.继续文[1]的工作，利用闭区间上连续函数的性质及函数的单调性，解决了其逆定理中端点的唯一性.

Cauchy微分中值定理； 严格单调性； 左右导数； 导数； 逆问题

1 引 言

本文均假定f(t)与g(t)在[a,b]上连续, g(t)在t∈(a,b)处左右导数均存在且恒正(即g(t)在[a,b]上严格递增(参见[2]).对∀c∈(a,b)，定义函数

文[1]以较弱形式统一了“Cauchy微分中值定理”的逆问题，得到如下定理.

定理A 对∀c∈(a,b)，若函数F(x,c)关于x在[a,c)∪(c,b]上严格递增，则存在r,s∈[a,b]，r

若函数F(x,c)关于x在[a,c)∪(c,b]上严格递减，则上式反向成立. 若函数F(x,c)关于x在[a,c)∪(c,b]上严格单调， f′(c)与g′(c)存在且g′(c)恒正，则存在r,s∈[a,b]，r

本文的目的是解决上述定理中r与s的唯一性问题.为了解决本文的问题还须文[2]中如下定理.

定理B 对∀c∈(a,b)，若函数F(x,c)关于x在[a,c)∪(c,b]上严格递增，则f′-(c)与f′+(c)均存在，且有如下三个不等式

1. 对a≤x1

(1.1)

2. 对∀r,s∈(a,b)，r

(1.2)

3. 对∀x∈[a,b], x≠c, 则有

(1.3)

若F(x,c)关于x在[a,c)∪(c,b]上严格递减，则f′-(c)与f′+(c)均存在且上述三类不等式反向成立.

2 主要结果

定理2.1 对∀c∈(a,b)，若函数F(x,c)关于x在[a,c)∪(c,b]上严格递增， 则有如下三个结果.

(i) 存在唯一的z∈(a,b)使得

(2.1)

① 存在唯一的d∈(ξ,b)使得

(2.2)

反之对上述的d，只有a才能使上式成立.

② 对∀r∈(a,ξ)及上述的d，则存在唯一的s∈(ξ,d)，使得

(2.3)

反之对上述的d及∀s∈(ξ,d)，则存在唯一的r∈(a,ξ)才能使上式成立.

① 存在唯一的e∈(a,ξ)使得

(2.4)

反之对上述的e，只有b才能使上式成立.

② 对∀u∈(ξ,b)及上述的e，则存在唯一的v∈(e,ξ)使得

(2.5)

反之对上述的e及∀v∈(e,ξ)，则存在唯一的u∈(ξ,b)才能使上式成立.

当F(x,c)关于x在[a,c)∪(c,b]上严格递减时，则(i)-(iii)中的不等式均反向.

证 (i) (2.1)式及唯一的z∈(a,b)是文[1]中定理3的直接结果.

(ii) ① 设w(x)=f(x)-f(a)-m(g(x)-g(a)), 则w(x)在[ξ,b]上连续.由已知及 (1.3)式有

由 (2.1)式, 已知及(1.2)式有

由连续函数零点定理知，存在d∈(ξ,b)使得

f(d)-f(a)-m(g(d)-g(a))=w(d)=0，

即(2.2)式成立.

对∀x1,x2∈[ξ,b] , x1

w(x2)-w(x1) =f(x2)-f(x1)-m(g(x2)-g(x1))

即w(x)在[ξ,b]上严格单调递增.则(2.2)式中的d是唯一的.

对∀r∈(a,ξ)，则a

即对于上述的d，只有a才能使(2.2)式成立.

② 对∀r∈(a,ξ)，设p(x)=f(x)-f(r)-m(g(x)-g(r)),则p(x)在[ξ,d]上连续.由已知及 (1.3)式有

由a

由零点定理知，存在s∈(ξ,d)使得f(s)-f(r)-m(g(s)-g(r))=p(s)=0，即(2.3)式成立.

对∀x1,x2∈[ξ,d] , x1

p(x2)-p(x1) =f(x2)-f(x1)-m(g(x2)-g(x1))

即p(x)在[ξ,d]上严格单调递增.则(2.3)式中的s是唯一的.

反之对∀s∈(ξ,d)，设q(x)=f(s)-f(x)-m(g(s)-g(x)),则q(x)在[a,ξ]上连续.由a

由已知及(1.3) 式有

由零点定理知, 存在r∈(a,ξ)使得f(s)-f(r)-m(g(s)-g(r))=q(r)=0，即(2.3)成立.

对∀x1,x2∈[a,ξ] , x1

q(x2)-q(x1) =m(g(x2)-g(x1))-(f(x2)-f(x1))

即q(x)在[a,ξ]上严格单调递增.则(2.3)式中的r是唯一的.

(iii) 设k(x)=f(b)-f(x)-m(g(b)-g(x)), 仿照(ii)中①的证法，可证得(2.4)式; 对∀u∈(ξ,b)，设l(x)=f(u)-f(x)-m(g(u)-g(x)), 再仿照(ii)中②的前半部分的证法，可证得：存在唯一的v∈(e,ξ)使得(2.5)式成立; 反之对∀v∈(e,ξ)，设j(x)=f(x)-f(v)-m(g(x)-g(v)), 仍仿照(ii)中②的后半部分的证法，可证得：存在唯一的u∈(ξ,b)才能使(2.5)式成立.

由定理2.1直接可得如下定理.

定理2.2 对∀c∈(a,b)，若函数F(x,c)关于x在[a,c)∪(c,b]上严格单调，f′(c)与g′(c)存在且g′(c)恒正，则有如下三个结果

(i) 存在唯一的z∈(a,b)使得

(ii) 对∀ξ∈(a,z)，则存在唯一的d∈(ξ,b)使得

反之对上述的d，只有a才能使上式成立.且对∀r∈(a,ξ)，则存在唯一的s∈(ξ,d)，使得

反之对∀s∈(ξ,d)，则存在唯一的r∈(a,ξ)才能使上式成立.

(iii) 对∀ξ∈(z,b)，则存在唯一的e∈(a,ξ)使得

反之对上述的e，只有b才能使上式成立.且对∀u∈(ξ,b)，则存在唯一的v∈(e,ξ)使得

反之对∀v∈(e,ξ)，则存在唯一u∈(ξ,b)才能使上式成立.

注1 当g(x)=x时，本文的定理A、定理2.1与定理2.2的结果变为文[3]中主要定理的相应结果.

注2 当g(x)在[a,b]上严格单调递减时，仍有与本文定理相应的结果.

[1] 王良成,等.与Cauchy微分中值定理相关的几个问题[J]. 高等数学研究, 2013,16(5):9-11.

[2] 王良成.凸函数及其不等式[M]. 成都：四川大学出版社, 2001.

[3] 王良成，等.关于Lagrange微分中值定理的逆问题[J]. 大学数学, 2012,28(5)：140-143.

Further Discuss Inverse Problem of Cauchy’s Differential Mid-VaIue Theorem

WANGLiang-Cheng,MAXiu-fen,YANGMing-Shuo

(Chongqing Normal University, Foreign Trade And Business College, Chongqing 401519, China)

In the paper [1], the condition of unique mid-value point for " Cauchy’s differential mid-value theorem " is given, and its the inverse theorem of weak expression is obtained. In this paper, we continue to the work of the paper [1]. By the properties of continuous functions on closed interval and monotonicity of function, we solve the uniqueness of end-point for its the inverse theorem.

Cauchy’s differential mid-value theorem; strictly monotonicity; left and right derivative;derivative; inverse problem

2015-06-10； [修改日期] 2016-06-26

重庆师范大学涉外商贸学院重点科研项目(KY2015001)

王良成(1949-)，男，教授，从事凸分析研究，Email: wlc@cqut.edu.cn

O178

C

1672-1454(2016)05-0101-04