立体几何中的轨迹问题

方炫苏●

武汉理工大学理学院(430070)



立体几何中的轨迹问题

方炫苏●

武汉理工大学理学院(430070)

在知识网络交汇点处设计试题是高考命题改革的一个方向，以空间问题为背景的轨迹问题作为解析几何与立体几何的交汇点，由于知识点多，数学思想和方法考查充分，求解比较困难.通常要求学生有较强的空间想象能力，以及能够把空间问题转化到平面上，再结合解析几何方法求解.以下精选几个问题来对这一问题进行探讨，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

一、用空间运动的观点来得到点的轨迹.

例1 直线PA是平面M的一条斜线，斜足为A，动直线PB过点P且与直线PA垂直，且交平面M于点B，求动点B的轨迹.

解 先探讨直线PB的运动轨迹，由于直线PB始终与PA垂直，可知PB的运动轨迹应是直线PA的垂直平面N.再结合点B一定在平面M内，所以点B的轨迹应该是两个平面的交线，所以点B的轨迹是一条直线.

针对以上解法，我们对这一问题作一深层次的探讨：若直线PA与平面M成α角，直线PB始终与直线PA成β角，再来求点B的轨迹.

由上述解法可知，我们只要得到直线PB的空间轨迹，再来考查该轨迹与平面M的交线即可.由简单的模型模拟即可知，直线PB的轨迹是一个圆锥面，再用一个平面截圆锥面，这一知识在平面解析几何中圆锥曲线的来历中有提到，即所得曲线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们有以下命题：

直线PA是平面M的一条斜线，且与平面M成α角，斜足为A，动直线PB过点P且与直线PB成β角，交平面M于点B，求动点B的轨迹.

结论：(1)若α=90°，β≠90°，则动点B的轨迹是一个圆；

(2)若α≠90°，β=90°，动点B的轨迹是一条直线；

(3)若α≠90°，β≠90°，则

①若90°>α>β，则轨迹是椭圆；

②若α=β，则轨迹是抛物线；

③若α<β，则轨迹是双曲线.

用上面的观点我们来看下一例：

例2 已知平面α∥平面β，直线l⊂α，点P∈l，平面α、β间的距离为8，则在β内到点P的距离为10且到直线l的距离为9的点的轨迹是( ).

A.一个圆 B.两条直线 C.四个点 D.两个点

解 空间中到直线的距离为定值的点的轨迹是一个圆柱，平面与圆柱的交线是两条直线.空间中到一点的距离为定值的点的轨迹是一个球面，平面与球面的交线是一个圆.在平面内两条直线与一个圆的公共点结合具体数据，可知，轨迹是四个点.

变式训练1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CD的中点，点O是侧面AA1D1D的中心，若点P在侧面BB1C1C及其边界上运动，并且总是保持OP⊥AM，则动点P的轨迹是____.

变式训练2 两根直立的旗杆相距14米，高分别是6米和8米，地面上的点P到两根旗杆顶的仰角相等，则点P在地面上的轨迹是( ).

A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线

变式训练3 直线m与平面α间的距离为h，那么到直线m与平面α的距离都为2h的点的集合为( ).

A.一个平面 B.一条直线 C.空集 D.两条直线

变式训练4 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( ).

A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线

变式训练5 如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于点A和点B的动点，且PC⊥AC，那么动点C在平面α内的轨迹是( ).

A.一条线段，但要去掉两个点

B.一个圆，但要去掉两个点

C.一个椭圆，但要去掉两个点

D.半圆，但要去掉两个点

二、用解析的方法来求轨迹

空间解析几何虽然不是高考要求，但空间向量的应用以及空间坐标系的使用对于立体几何问题的解决也引入了解析的方法，对于轨迹的处理，同学们还是熟悉平面内的问题.因此把空间问题平面化，正是空间解析法中的重要应用.

例3 空间四面体ABCD中，在侧面ABC上有一动点P，满足P到直线AB的距离与P到平面BCD的距离相等，试求P点的轨迹.

解 点P到平面的距离与点P到直线BC的距离的比例关系正是二面角的A-BC-D的平面角的正弦值.因此，在平面ABC内，点P满足的条件是P到直线AB的距离与P到直线BC的距离成比例.因此点P的轨迹是一条过B点的直线.

例4 正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1内有一点P满足：点P到直线AB的距离与点P到直线AD1的距离相等，求点P的轨迹.

所以轨迹是两条直线.

例5 圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为( ).

用平面解析几何的方法来处理空间中的轨迹问题的关键有二条，一条是空间问题平面化，要把题中的条件想办法转化到平面上来，另一个关键是把平面内的问题尽可能地解析化，用数量关系来研究几何关系，从而得到轨迹，当然在解析几何中也有很多数与形相结合的题型.因此以空间图形为背景，考查几何轨迹的典型例题很多时候也是这个方面的问题.

A.抛物线 B.双曲线 C.直线 D.以上都不对

变式训练7 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，线段EF的两端点分别在棱A1D1、AB上滑动，且EF=2，则EF的中点的轨迹是( ).

A.圆弧 B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分

变式训练8 如图，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，M为平面ABCD内的一动点，且满足MP=MC，则M在正方形ABCD内的轨迹为(O为正方形ABCD的中心)( ).

变式训练9 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是四边形A1B1C1D1内部及其边界上的动点，若异面直线AP与A1B1所成的角始终保持π/6，则点P轨迹的形状是 ( ).

A. 圆 B.椭圆 C. 双曲线 D.抛物线

变式训练11 在棱长为1的正方体中ABCD=A1B1C1D1，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于____．

以上二种题型只是空间背影下的动点轨迹的处理方法的两种典型，空间的动点要用运动的观点观察，要求熟悉一些常见的几何模型，利用曲面与曲面的相交情况来得到动点的轨迹，另一方面，利用数与形相结合的方法，用解析的方法来研究空间轨迹，也是立体几何的主要思想，把立体问题平面化来简化问题，从而为我们用平面解析几何的方法来研究空间问题提供方便，更为空间解析几何的思想在立体几何中的应用做好准备.

变式训练答案

1.线段BB12.B 3.D 4.D 5.B 6.A

G632

B

1008-0333(2016)28-0019-02