与两定圆相切的动圆圆心的轨迹问题

詹长刚 ●

湖南省常德市第一中学(415000)



与两定圆相切的动圆圆心的轨迹问题

詹长刚 ●

湖南省常德市第一中学(415000)

与两定圆相切的动圆圆心的轨迹问题是解析几何中的一类常见问题，它与两定圆的位置关系、半径大小及相切类型均有关，情形较多.本文探讨该类问题的一些常见情形及解法.

一、动圆与两定圆均外切

(1)两定圆半径大小不相等

①两圆外离：轨迹为双曲线的一支(靠近半径较小的一侧)

例1 动圆P与定圆C1:(x+2)2+y2=1和C2:(x-2)2+y2=4均外切，求P点的轨迹.

②两圆外切或相交：轨迹为双曲线在两定圆外的部分.

③两圆内切：轨迹为一条自切点在两圆心连线上向外引出的射线.

例2 动圆P与定圆C1:(x+2)2+y2=1和C2:x2+y2=9均外切，求P点的轨迹.

解 ∵r2-r1=|C1C2|=2，则两圆内切，如图2，由图易得所求轨迹为射线，其方程为y=0(x<-3).

(2)两定圆半径大小相等

①两圆外离：轨迹为两定圆圆心连线的中垂线.

例3 动圆P与定圆C1:(x+2)2+y2=1和C2:(x-2)2+y2=1均外切，求P点的轨迹.

解 如图3，易得P点的轨迹为y轴， 其方程为x=0.

②两圆外切或相交：轨迹为两定圆圆心连线的中垂线在两定圆外的部分.

二、动圆与两定圆均内切

(1)两定圆半径大小不相等

①两圆外离或外切：轨迹为双曲线的一支(靠近半径较大的一侧).

例4 动圆P与定圆C1:(x+2)2+y2=1和C2:(x-2)2+y2=4均内切，求P点的轨迹.

说明:与例1综合可以发现，均外切和均内切合在一起即为整个双曲线的两支.

②两圆相交：轨迹为双曲线的一支和另一支夹在两定圆之间的部分.

例5 动圆P与定圆C1:(x+2)2+y2=1和定圆C2:(x-2)2+y2=16均内切，求P点的轨迹.

③两圆内切：轨迹为自切点引出且过圆心的射线(除去两定圆圆心).

例6 动圆P和定圆C1:(x-1)2+y2=1和定圆C2:(x-2)2+y2=4均内切，求P点的轨迹.

解 如图6，P点的轨迹为y=0(x>0,x≠1,x≠2).

(2)两定圆半径大小相等.

无论外离或外切或相交：轨迹为两定圆圆心连线的中垂线(除去切点或交点)

三、动圆与两定圆一个外切，一个内切

▶

▶ ①两圆外离：轨迹为双曲线(无论两定圆半径大小如何).

例7 动圆P和定圆C1:(x-2)2+y2=1内切， 和圆C2:(x-2)2+y2=4外切，求P点的轨迹.

说明 若动圆P与圆C1外切，和圆C2内切，则其轨迹为上双曲线对应的右支.

②外切：轨迹为一条射线(除去定圆圆心和两圆切点).

③相交：轨迹为双曲线的一支(在某定圆内的部分).

④内切：轨迹为一椭圆(除去切点).

例8 动圆P和定圆C1:(x-1)2+y2=1外切， 和圆C2:(x-2)2+y2=4内切，求P点的轨迹.

⑤内含：轨迹为椭圆.

说明 此种情况，无论半径大小，情况一样，因为具体与哪个圆内切不确定.

综上所述，解决与两定圆相切的问题，应当首先确定两定圆的半径的大小关系，然后判断两定圆的位置关系，最后是动圆与两定圆的相切类型，由圆锥曲线的定义求轨迹方程，注意排除不合要求的点.

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1008-0333(2016)28-0028-02