判别式法在高中解析几何综合试题中的应用

四川省南充市西华师范大学数学与信息学院(637000)

刘 川● 孙 海●



判别式法在高中解析几何综合试题中的应用

四川省南充市西华师范大学数学与信息学院(637000)

刘 川● 孙 海●

解析几何综合题是高考命题的热点内容之一.这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数或不等式等其他数学知识，因而涉及到较多的知识点，考查考生解题能力的综合要求比较高，于是考生在考场上答题期间，经常表现得无从下手.本文认为解决这一类问题的关键在于通观全局、局部入手和整体思维,在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.

一、问题的提出

程.文[1]中利用椭圆的定义巧妙地将问题进行了转换，即在已知直线L上求一点使得该点到直线同侧两个已知点距离的和最小的问题，详细过程见文献.此方法巧妙地转化了问题，使得转换后的问题看似简单多了，但是这种转换需要很强的技巧或者基本功底，对于学生，尤其是高度紧张的考生而言是很难想到的，或者根本不敢想的一种数学技巧.那么，除了上述提到的方法有没有更加一般的，或者考生自然而然地容易想到的数学方法呢？也就是说是否还存在简化方法呢？

二、简化方法——“Δ”判别式

带着上述问题，下面本文将给出利用数学上常用的且最基本的“Δ”判别式法进行简化求解上述问题.

将直线L:x-y+9=0代入椭圆方程得(2a2-9)x2+18a2x-a4+90a2=0.

由于直线和所求椭圆有公共点，则Δ=(18a2)2-4(2a2-9)(-a4+90a2)≥0

此时，点M的坐标易得(-5,4).

从上述解题过程可以看出，利用判别式法解此题显得更加通俗，这里主要利用了判别式法在解析几何中有关直线与圆锥曲线的位置关系这一类问题的广泛应用，从而可利用判别式法处理解决有关解析几何问题中的最值问题及其相关的数学问题.

三、应用举例与点评

众所周知，求取值范围问题主要有两种思路，其一是通过引入恰当的参数变量共同表示问题中所求的每部分变量，然后根据题中条件对应的实施；其二是构造出题中所求问题变量的一个不等式关系，然后进行处理.下面本文将根据上述两种思想并结合判别式法及相关的数学知识处理上述问题.

1. “Δ”判别式与求根公式

(9k2+4)x2+54kx+45=0.

因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k>0的情形.

当k>0时，

2.“Δ”判别式与韦达定理

设直线L的方程为y=kx+3，代入椭圆方程消去y得

(9k2+4)x2+54kx+45=0.

解析几何是通过研究代数方程的性质来研究曲线的几何性质，因而有关代数方程的定理以及代数运算的一些方法，在解析几何中有着广泛的应用.

当直线与二次曲线(抛物线除外)相交、相切和相离时分别有两个交点、一个交点和没有交点，这一点反映在代数上就是对应的二次方程组有两个不等的根、两个重根和没有根的情况.因此，这类问题大多都可以利用“Δ”判别式法，当然很多情况下都是要结合一些与判别式密切相关的其它数学知识或者数学计算技巧.

[1] 袁季春.不可忽视的圆锥曲线定义[J]. 中学数学, 2000(8).

[2] 姜坤崇. 解析几何最值问题的解法[J]. 中学生数学, 2015(06).

[3] 屠新跃. 直线与圆锥曲线问题中韦达定理的应用策略[J]. 数理化学习(高三版)，2015(02).

[4] 曾祥红, 夏雨良. 判别式在解析几何中的应用[J]. 数理化学习(高中版), 2004(03).

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1008-0333(2016)22-0029-02