构造等差数列研究三角函数求值问题

江苏省泰州市森南新村15栋103室(225300)

于志洪●



构造等差数列研究三角函数求值问题

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于志洪●

有时候，解一道数学题，用从条件到结论的定向性直接思维解题方法遇到困难，甚至不能解决，这时，通过联想，把题目中的已知关系重新组合 一种新的关系，使抽象或隐含的条件清晰地显示出来，把复杂的问题化为简单的问题，从而使问题较快地解出.这种方法称为构造性解题方法.

本文主要谈谈如何构造等差数列解三角函数求值问题，供高中师生教与学时参考.

分析 若按常规平方去根号，则将陷入繁琐运算.注意到已知式呈现a+b=c两项和的特征，捕捉等差中项信息，可构设公差尝试从等差数列入手.

分析 本题源于人教版《数学》第一册(下)复习参考题四第9题.

已知tanα=3,计算:

(2)sinαcosα;

(3)(sinα+cosα)2.

由3sinα+cosα=0,表明3sinα,0,cosα成等差数列.

所以应选A.

分析 依题设知sinα,1,3cosα成等差数列，令sinα=1-d,3cosα=1+d,将sinα,cosα同时代入sin2α+cos2α=1,求得公差d即可.

从以上各例可以看出构造等差数列求三角函数值，其关键是要从问题的背景出发，根据题设及所求题目的结构特征经过合理的推理，探究出问题中的隐藏的等差数列关系，列出符合题意的关系式，从而与等差数列的有关知识联系起来，将三角函数求值问题转化为代数式的求值运算，如例1，例5，或将三角函数求值问题转化为一元二次方程求解问题，如例2、例3和例6等等.

构造等差数列解三角函数求值问题之所以具有新颖别致、独特创新的灵活性和创造性，是因为在解题过程中往往容易找到题设和结论之间的关系，使原来抽象隐含的条件充分显露出来，因而解题时，就能化繁为简，变难为易.构造等差数列解三角函数求值问题，对于数学思维的培养及数学方法的培养有一定的加强作用，有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，可使学生和教师从题海中解放出来，从而减轻教与学的负担.

通过上述专题讲座的教学研究，笔者深深体会到，构造法的应用是极其广泛的，这种方法通俗易懂，它既有利于学生融会贯通“基础知识和基本技能”，又有利于帮助学生提高综合解题水平，对于启迪学生思维、开拓学生视野，提高教学质量，提高教师讲课效果，对于培养学生学数学、用数学、研究数学的兴趣均颇有益处.

[1]马小燕.构造等差数列探究高考三角求值问题[J].数学教学通讯(重庆)，2010(9).

[2]张君昕，尚继慧.构造法解三角题览胜[J].数学通讯(武汉)，2011(11,12)(上半月).

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1008-0333(2016)22-0006-02