数学归纳法中运用归纳假设的策略

☉江苏省运河高等师范学校 许荣良

数学归纳法中运用归纳假设的策略

☉江苏省运河高等师范学校 许荣良

数学归纳法是高中数学解题过程中经常运用到的一种科学的证明方法，对于数学思维的培养也非常重要，解决问题具有实效快速等优点.一般地，数学归纳法有两个步骤：（1）证明当n取第一个值n0时命题成立.n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况.（2）假设当n= k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.综合（1）（2），对一切自然数n（n≥n0），命题P（n）都成立.数学归纳法的第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，两个步骤密切相关，缺一不可.在运用数学归纳法证明命题时，对第二步n=k+1时结论的正确性的证明是整个证明过程中的重难点.我们除注意利用归纳假设外，还要注意对照结论充分利用其他数学证明方法，如放缩法、构造法等.也就是说，当我们利用归纳假设后仍不能直接变形推出结论时，需要采用下述方法进行证明，以达到目的.

一、与放缩法联合

例1设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.求证：当x＞-1且x≠0时，（1+x）p＞1+px.

证明：用数学归纳法证明.

①当p=2时，（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x，原不等式成立.

②假设p=k（k≥2，k∈N*）时，（1+x）k＞1+kx成立.

当p=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x.

所以p=k+1时，原不等式也成立.

综合①②可得，当x＞-1且x≠0时，对一切整数p＞1，不等式（1+x）p＞1+px均成立.

评注：放缩法是数学归纳法中常用的方法.本题从“k”过渡到“k+1”时，首先只能利用假设得到（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx），将（1+x）（1+kx）展开得1+（k+1）x+kx2，与目标式子1+（k+1）x进行比较发现，需要减少一项kx2，故需要放缩.

二、与方程思想相伴

例2设数列｛an｝的前n和为Sn，满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15.

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）求数列｛an｝的通项公式.

解析：（1）a1=S1=2a2-3×12-4×1=2a2-7，a1+a2=S2=4a3-3×22-4×2=4（S3-a1-a2）-20=4（15-a1-a2）-20，所以a1+a2=8.

综上得a1=3，a2=5，a3=7.

（2）由（1）猜想an=2n+1，以下用数学归纳法证明：①由（1）知，当n=1时，a1=3=2×1+1，结论成立.

②假设n=k时，结论成立，即ak=2k+1.

则Sk=3+5+7+…+（2k+1）=

当n=k+1时，将ak+1和Sk代入Sk=2kak+1-3k2-4k中，得k（k+2）=2kak+1-3k2-4k，解得2ak+1=4k+6，故ak=2（k+1）+1，即n=k+1时，结论成立.

综合①②可知对一切n∈N*，an=2n+1.

评注：此题证明中，首先利用假设得到Sk=k（k+2），再借助题设的关系式得到方程式Sk=2kak+1-3k2-4k，解出ak+1，证明n=k+1时命题成立，从而顺利解题.

三、与构造法联袂

例3求证：当n∈N*时，an+1+（a+1）2n-1能被a2+a+1整除.证明：（1）当n=1时，a2+（a+1）=a2+a+1能被a2+a+1整除.

（2）假设当n=k（k≥1且k∈N*）时，ak+1+（a+1）2k-1能被a2+a+1整除.

则当n=k+1时，ak+2+（a+1）2k+1=a·ak+1+a·（a+1）2k-1+（a+ 1）2k+1-a（a+1）2k-1=a·ak+1+a·（a+1）2k-1+［（a+1）2-a］（a+1）2k-1= a［ak+1+（a+1）2k-1］+（a2+a+1）（a+1）2k-1.

由假设可知a［ak+1+（a+1）2k-1］能被a2+a+1整除，而且（a2+a+1）（a+1）2k-1也能被a2+a+1整除，所以ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除，即n=k+1时命题也成立.

综合（1）（2）知，对任意的n∈N*命题都成立.

评注：（1）在证明n=k+1时，不仅要将ak+2分离为a·ak+1，而且要构造出相关项a·（a+1）2k-1，加一项减一项即得a· ak+1+a·（a+1）2k-1+（a+1）2k+1-a（a+1）2k-1，整理出a［ak+1+（a+ 1）2k-1］后还有（a2+a+1）（a+1）2k-1，两者均能被a2+a+1整除，故命题得证.（2）利用数学归纳法证明等式或整除问题，关键是利用加、减项，拆、并项等恒等变形的方法，构造出假设、结论的结构形式.

四、与函数单调性相遇

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：

例4函数解析：（1）f（x）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=

①当1＜a＜2时，若x∈（-1，a2-2a），则f′（x）＞0，f（x）在（-1，a2-2a）上是增函数；若x∈（a2-2a，0），则f′（x）＜0，f（x）在（a2-2a，0）上是减函数；若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数.

②当a=2时，f′（x）＞0，当且仅当x=0时f′（x）＞0成立，f（x）在（-1，+∞）上是增函数.

③当a＞2时，若x∈（-1，0），则f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）上是增函数；若x∈（0，a2-2a），则f′（x）＜0，f（x）在（0，a2-2a）上是减函数；若x∈（a2-2a，+∞），则f′（x）＞0，f（x）在（a2-2a，+∞）上是增函数.

（2）由（1）知，当a=2时，f（x）在（-1，+∞）是增函数.当 x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞.又由（1）知，当a=3时，f（x）在［0，3）上是减函数；当x∈［0，3）时，f（x）＜f（0）=0，即ln（x+1）

根据①②知对任何n∈N*结论都成立.

评注：第（2）步中应用假设可以得到ak+1=ln（ak+1）＞但是无法得到本题在第（1）步中，讨论f（x）的单调性已经为证明第（2）步做好了准备，所以需要应用a=2和a=3时函数f（x）的单调性才能进一步推导得到.

五、有加强命题相助

例5设a1=1，an+1=

（1）若b=1，求a2，a3及数列｛an｝的通项公式；

（2）若b=-1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有n∈N*成立？证明你的结论.

因为a1=，因此猜想an

下用数学归纳法证明上式：

①当n=1时结论显然成立.

②假设n=k时结论成立，即ak

下用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1.

②假设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1.

易知f（x）在（-∞，1］上为减函数，从而c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，即1＞c＞a2k+2＞a2.

再由f（x）在（-∞，1］上为减函数，得c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1.

故c＜a2k+3＜1，因此a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1.这就是说，当n= k+1时结论成立.

评注：有些关于正整数n的命题P（n），直接用数学归纳法处理难以实现n到n+1的过渡，但是证明比P（n）更强的命题Q（n），用数学归纳法进行证明反而简单一些，此时需要对命题进行加强.选择加强命题要合适恰当，这样才能顺利过渡.数学归纳法是高中数学解题过程中经常运用到的一种科学的证明方法，解决与自然数有关的命题P（n）实效快速.对于数学思维的培养也非常重要.F