高中数学教学中如何培养学生的方程思想初探

白玉花

（吉林省汪清县汪清二中学 吉林延边 133200）

高中数学教学中如何培养学生的方程思想初探

白玉花

（吉林省汪清县汪清二中学 吉林延边 133200）

方程思想是高中数学教学中一种重要的解题应用方法，也是高考重点考察的数学思想之一。方程思想是学习函数知识的基础，方程思想是通过设元，探求已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种思想对于高中数学学习具有重要意义。基于此，笔者结合案例，试在文章中探讨在高中数学教学中的应用，旨在培养高中生的方程思想，促进高中数学教学质量的提升。

高中数学 方程思想 培养

引言

方程思想在高中数学教学中的应用很广泛，也是高考数学考试中的热点。函数思想与方程思想的联系十分密切，教师在渗透方程思想的过程中，不可避免的要和函数思想有所结合。解方程如分f（x）=0，就是求函数y= f（x）当函数值为零时自变量x的值；求综合方程f（x）= g（x）的根或根的个数，就是求函数f（x）= g（x）的图像的交点或交点个数；参数方程更具有函数因素，属于能随参数的变化而变化的动态方程。它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线[1]。认知主义学习理论强调数学学习对于知识、规律的发现与理解的过程，这就要求学生在数学学习中要通过数学知识的外在形式，进行不断的探索、总结，进而发现数学知识中所蕴含的数学思想、知识规律。方程思想是高中数学教学中的重要解题方法，需要学生结合实际案例进行方程思想的总结与运用，已提升高中学生的数学学习能力。

一、方程思想在导数中的应用

导数考点属于近年来高考中的重要考点内容，而方程思想在导数题型中的应用是各级、各类考试中的热点问题。导数的单调性、极值、最值等性质的研究常常和函数与方程思想相结合，主要综合考查学生的思维能力[2]。

例题：已知函数 f（x）=（x-a）2ex在 x=2 时取得极小值.

（1）求实数 a 的值；

（2） 是否存在区间［m，n］，使得f（x）在该区间上的值域为［e4m，e4n］？ 若存在，求出 m，n 的值；若不存在，说明理由。

在奔类题型中，利用导数研究函数的最值及其他性质时都不可避免地会经历构建方程的过程，这道题目的突破口是建立两种情况下的方程组：

然后在运用方程思想的同时再结合函数思想进行解题，充分体现了方程思想在导数中的应用。

二、方程思想在解析几何中的应用

在解析几何题型中，常常会出现直线、圆、圆锥曲线之间的位置关系问题，通常会使用联立方程组的方法进行解决。

例题：如图 1，在平面直角坐标系 xoy 中，圆 O1，圆 O2都与直线 l∶y=kx 及 x 轴正半轴相切。若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为 P（2，2），求直线 l的方程。

这道题考查了直线的方程、圆的方程等知识，由直线 l 的方程，可以引进参数 t，建立的直线 O1O2的方程，再根据过点 P（2，2）建立方程组，渗透了方程组的思想，在整个问题的解决过程中自始至终都渗透了建立关于参数 t 的方程的思想。

图1

三、方程思想在不等式中的应用

不等式 2x-1＞m（x 2 -1）能够对︱m︱ ≤2 的一切实数 m 恒成立，求得实数 x 的取值范围。对于不等式这种问题，了解关于 x 的不等式后，这种问题会形成一种思维定式，但是应该进行视角的改变，把不等式当做关于 m 的不等式，并且构造函数 f （m）=（x2-1）m-（2x-1），这一问题就会转化为求得 m∈［-2，2］上，使 f（m）＜0 恒成立的 x 的取值范围。而对于一次函数来说，图象为一条线段，如果想要 f （m）＜0，应该让f（-2）＜0，f（2）＜0 才能解得在通常情况下，含有多个变量或参数的问题，应该对变量与参数进行积极确定，将函数关系提出来，从而使问题更加明朗。

四、方程思想在实际问题中的应用

例如一个实际应用问题：某班级组织20名学生在一条直线公路上植树，要求以10米为间隔，并且每人植一棵树。 在开始之前，要求将树苗集中放在某一个树坑旁边，能够让每位同学领取树苗所用的路程总和最小，求这个最小值。 对于这一问题来说，应该建立合适的数学模型，通过列式向函数的最值问题转化[3]。如图2所示。

图2

当 i=10 或 11 时，s 的值最小，为 1000。因此往返路程的最小值为 2000 米。 对于这类问题，还有另外一种解答方式，针对轴对称图形的原理，两端的树坑旁边放着树苗，路程的总和相同，能够取得一个最值。因此从两端的树坑移动到中间过程中，路程总和的变化是相同的，到第 10 个以及 11 个树坑旁边时，路程总和达到一个最值，因此只需进行两个路程总和的计算就可以。 将树苗放在第一个树坑旁，路程总和为 10×（1+2+…+19）×2=10×19（1+19）×2=3800。 树苗放在第 10 个与第 11 个旁边时，路程总和为 10×（1+2+…+9）+10×（1+2+…+10）×2=2000。 因此，路程总和最小应为 2000 米。对于二次函数形式的构造具有重要作用，函数对实际问题的解决具有重要意义。对于这道题能够借助实际模型的建立，通过函数解析式的方式，对函数的性质进行研究，从而促进实际问题得到合理的解决。

结语

总而言之，数学思想与数学方法是高中数学教学中的重要内容，但也是学生在数学学习中的重难点。方程是高中数学中的主线，它不仅是对中枢中相关变量之间关系的描述，更是我们解题的重要手段[4]。学生只有通过对于数学思想与方法的深入理解和熟练应用，才能真正理解数学学习的意义与价值。在高中数学学习中，对于方程思想的掌握能够为数学学习奠定良好的基础。方程思想在高中数学解题中而对应用，能够起到简化解题流程、丰富解题方法的重要作用，因此对于高中学生的方程思想的培养具有不可忽视的重要意义。

[1]陈燕青.高中数学中思想方法的应用——高中数学中的函数与方程思想[J].新课程,2015(06):95-96.

[2]牛含冰.函数思想在解题中的体现[J].高中数理化,2013(17):112.

[3] 李侠.函数与方程思想在解题中的运用举隅[J].数理化学习 (高中版 ),2013(08):56-57.

[4]例谈高中数学解题中函数与方程思想的运用[J].课程教育研究,2016(11):32-35.