数学转化知识探究

王禹童

(黑龙江省绥化市第一中学 黑龙江绥化 152061)

数学转化知识探究

王禹童

(黑龙江省绥化市第一中学 黑龙江绥化 152061)

处理数学问题的实质是实现新新知识向已学知识的转化﹑复杂问题向简单问题的转化，未知向已知的转化，陌生的向熟悉的转化。

这种解决问题的模式可图示如下：

一、树立用转化解题的信心，提高转化的自觉性

问题看起来不论多么复杂，一般都可通过转化加以解决。而转化往往是从已知条件或所求结论中开始，对不熟悉的条件或结论形式，通过化简变形，转化为熟悉和简单的形式。树立这样的信念和自觉地在解题中不断进行转化是很重要的。

对一切│p│≤2，p∈R，不等式(log2x)2+plog2x+1＞2log2

x+p恒成立，求实数x的取值范围。

这里由于题中p的取值范围是确定的，因此以p作自变量给问题的解决带来方便，如果把│p│≤2改为│p│＜2，则相应的有f(-2)≥0且f(2)≥0。

需要说明的是：对于一般函数g(x)在某区间[a,b]上恒大于零不一定等价于g(a)＞0且g(b)＞0，这一点在转化时要注意，因为g(x)在[a,b]上不一定单调。

分析与解：设t=cosx+cosy，则

评注： 对所求证的结论运用所学的三角知识实现转化直到与已知条吻合，最后又转化为不等式问题，这样就很快使问题得证。其间的转化体现了数学的统一美﹑协调美。

二、注意转化的合理性

一个问题，常常能同时转化为多个不同的问题，究竟选择哪一个作为方向，这是需要考虑的。有时会由于所作的转化不当而使解答显得繁琐，进而影响解题的正确性与效率。

分析 ： 若条件等式的分母实数化，则运算十分复杂，仔细分析条件，不难发现其中规律。因为x2+2xy+y2+x2y＝(x+y)2-(xyi)＝(x+y+xyi) (x+y-xyi)

又27-8i=33+(3i)3=(3+2i)[32-3×2i+(2i)2]=(3+2i)(5-6i)于是条件转化为x+y-xyi=5-6i。所以x+y=5，xy=6。解之得x=3,y=2或x=2,y=3。

分析 这是一个实际问题，需要转化为数学问题来做

两种转化都可以得到结果，但转化1比转化2在运算上要简单得多，一般来讲，当一个问题有多种的可能转化且所选取的某一种转化不合适时，应该及时改变转化的方向，以提高解题效率。

三、等价转化与非等价转化辨析

等价转化原则是实施转化策略过程中应遵循的最基本的原则，它是指在转化前后的等效性。它要求我们在转化的过程既要看问题的结构﹑形式，更要看问题的实质。假如解题中用的是一种非等效性转化，则最终求得的结果可能与题意的要求不一致。

⑵变形为yx2-50x+y=0(※)，显然y＞0，看成关于x的方程，则Δ≥0，得 y≤25，若据此得出ymax=25，则也是错误的，这是由于y=25时x=1并不适合x≥2，因此y的最大值不是25，这是因为求原函数的值域不能等价转化为方程(※)有解，而应转化为(※)有不小于2的根，当且仅当(※)的大根不小于2；或者可令f(x)=yx2-50x+y(y＞0)则又可转化为二次函数问题来做，答案也是一样。

转化包括了许多的数学思想和方法。事实上，除了极简单的数学问题外，几乎所有的数学题都要经过一次或多次转化才能解决，例如，反证法就是把原命题转化为它的逆命题来进行处理，立体几何问题常转化为平面几何问题，数形结合就是数与形的相互转化等等。

由于每个人在知识与能力上的差异，对问题的理解与认识必然也会有差异，尽管差异有时导致差错，但正如恩格斯所说的“由这种形式转化为另一种形式，不是无聊的游戏，而是数学的杠杆。如果没有它，就不能走很远。”为了获得问题的解决，也为了走得更远，我们就得注重转化，让数学的灵魂光芒四射。

(指导教师：秦竹)