关于矩阵微分法的补充定义

邵晶晶

(云南大学滇池学院理工学院 云南昆明 650228)

关于矩阵微分法的补充定义

邵晶晶

(云南大学滇池学院理工学院 云南昆明 650228)

矩阵微分法的定义有九种，其中向量对向量求导的定义只给出了列向量对行向量求导和行向量对列向量求导两种定义，本文针对这个方面，补充了列向量对列向量求导的定义和行向量对行向量求导的定义，证明了补充定义的3个运算公式，并验证补充定义完全符合相对于矩阵求导的定义，即补充定义之后，关于矩阵微分法的定义更加完整。

矩阵微分法 对向量求导 对矩阵求导

一、向量对向量的导数定义

用X﹑a﹑b代表列向量，A﹑B代表矩阵，上标T代表转置。

由定义1的运算，向量对向量的导数有以下3个运算公式[2]：

二、向量对向量的导数的补充定义

从定义1看出，向量对向量的导数，只定义了2种情况的求导运算，即一种是行向量对列向量求导﹑一种是列向量对行向量求导。下面补充列向量对列向量求导和行向量对行向量求导的定义，证明其满足的运算性质

定义向量a(X)对向量X的导数：

验证补充定义有以下运算公式：

设a(X)﹑b(X)为n维列向量函数，X为n维列向量，λ(X)为数量函数，则：

三、总结

函数矩阵对矩阵的导数定义中[3]，当矩阵退化为一行或一列时就为行向量或列向量，很显然，文中的补充定义，就是[3]中函数矩阵对矩阵的导数定义的矩阵退化为一行或一列的特殊情形。即补充定义让矩阵微分法的定义更加完整。

[1]梁传广、荆海英、荆芷萍.关于矩阵微分法的评注[J].数学研究与评论，1993,13(1)：147—153.

[2]李继根、张新发.矩阵分析与计算[M].武汉：武汉大学出版社，2013:287—294

[3]张凯院、徐仲等.矩阵论[M].北京：科学出版社，2013:113—118.