弗赖登塔尔的数学教育观与中学数学教育两个“标准”的对比解读*

黄美君，袁丽晴，何建锋

(楚雄师范学院，云南 楚雄 675000)



弗赖登塔尔的数学教育观与中学数学教育两个“标准”的对比解读*

黄美君，袁丽晴，何建锋

(楚雄师范学院，云南 楚雄 675000)

本文首先对弗赖登塔尔的数学教育观的主要特征进行了分析，其次对我国《义务教育数学课程标准》(2011版)、《普通高中数学课程标准》(实验)从课程基本性质及理念、课程目标、内容标准及实施建议等方面进行了论述，最后将弗赖登塔尔的数学教育观与中国数学两个课程标准进行对比解读并找出它们之间的联系。

数学教育观；课程标准；对比；解读

1.背景

自从教育部2001年颁布《全日制义务教育数学课程标准》(实验稿)和2003年颁布《普通高中数学课程标准》(实验稿)，中国的数学教育改革就汇入到国家基础教育改革的大潮中。

国家为了基础教育改革的实施，在前期做了大量调研工作，从理论和实践上不断探索.其中，借鉴国外著名的数学教育理论是常用的方法之一.而荷兰著名数学教育家、曾任国际数学教育委员会(ICMI)主席的弗赖登塔尔的数学教育理论对上述两个“标准”影响极大，我们从两个“标准”的理念到方法上都可以看到弗赖登塔尔数学观念的渗透。

弗赖登塔尔(Hans Freudenthal,1905―1990)，荷兰籍世界著名数学家和数学教育家，早在二十世纪三、四十年代就以李群和拓扑学方面的成就而闻名.二十世纪六十年代以后，他的主要精力就放在了数学教育上.在他担任国际数学教育委员会(ICMI)主席期间，召开了第一届数学教育大会(ICME)，并提出数学教育研究不能只停留在经验交流的水平上，而是要以科学论文的形式交流研究心得。自此，数学教育大会(ICME)独立举行并成为四年一度各国数学教育工作者交流研究成果的最好机会。1968年，弗赖登塔尔创办了《数学教育研究》(Educational Studies in Mathematics)，现在《数学教育研究》成为国际上最具影响的数学教育刊物。

弗赖登塔尔自1960年开始关注数学教育以后，出版了一系列影响遍及全球的数学教育著作，如《作为教育任务的数学》、《数学结构的教学现象》、《除草与播种》等。他对数学以及数学教育的观点在这些著作中全面体现，包括传统数学教育改革的原因、数学课程和数学教材要如何根据现实数学教育的观点进行设计等。他的很多观点都是在经过中、小学的课堂实践后得出的，这为现实数学教育奠定了基础，为现代数学教育改革明确了目标以及方向。

1987年，82岁高龄的弗赖登塔尔应华东师范大学的邀请在上海讲学两周,后又顺访北京。而北京和上海正是中国数学教育研究的北、南两个中心。他在中国的讲稿于1994年以Revisiting Mathematics Education (China Lecture)为名在荷兰出版，中文译本书名为《数学教育再探―在中国的讲学》。而二十世纪末，中国正处于基础教育改革的酝酿期。他这次的访华对中国的数学教育以及包括中、小学数学教师在内的数学教育工作者产生了极大的影响，现在，其教学思想中的“现实的数学”、“数学化”、“再创造”等在中国数学教育改革的理论和实践中处处可见。

2.弗赖登塔尔的数学教育观的主要特征

2.1五大主要特征

弗赖登塔尔的数学教育思想的产生来源于他对数学的认识和对教科书的解读以及对儿童和教师的实证调查。他觉得数学与别的学科不同之处表现在：数学是把一些可靠的常识经过提炼，然后系统化使之变成一定的法则并在此基础上对法则进行加工。他觉得学习数学应该在自己已经有的知识和经验的基础上去积极主动的探索，而不是被动地接受。他指出，教学活动的过程远重于结果，教会学生用数学的思想去思考问题比教会一个问题要有意义得多。教师在教学生学习数学的过程中要以引导的方式让学生自己去发现问题，获取知识。

总体上讲，弗赖登塔尔所认识的数学教育观有五个主要特征：

1.情境问题是教学的平台；

2.数学化是数学教育的目标；

3.学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；

4.“互动”是主要的学习方式；

5.学科交织是数学教育内容的呈现方式。

2.2三个关键词

弗赖登塔尔的数学教育观的主要特征可以概括为三个词——现实、数学化、再创造。

(1)现实

弗赖登塔尔认为数学教育是现实的数学教育。数学来源于现实，最后的归宿也是为现实服务。而数学现实不仅仅是指客观现实或者数学知识，它是以现实为背景，用数学的思想和方法抽象、整理出来的规律及方法等，也就是知识与现实背景的和，而每个人有属于自己的数学现实，因此在进行教学活动时，教师要了解他们的知识水平和生活经验，引导他们构建属于自己的数学现实。

当教师教学中用到“现实的数学”时，要注意以下几个方面：

第一，数学是人们对现实世界需要的一种体现，是人们对现实世界的抽象和对经验的积累、总结，因此，数学教学的内容主要来自于现实世界。教师在教学时将这些教学背景建立在学生熟悉的事物和情境中，并从与学生生活相关联的事物出发，让学生用数学去解决生活中遇到的一些问题。

第二，任何一件事物都与周围的环境相联系，数学也一样。数学不仅本身内部存在联系，同时数学与外部世界也存在着千丝万缕的联系。所以在教学过程中，要考虑数学本身知识结构之间、数学与学生日常生活之间以及数学与其他学科之间的联系，不能单纯地就数学教数学，而是要让学生学会融会贯通。

第三，每个人擅长的事情是不同的，因此不同的人所需要的数学知识自然也不一样，所以，数学教育也要因人而异，它应该尽量为不同层次、不同专业的学生提供不同的并且专属于自己的“数学现实”。

(2)数学化

弗赖登塔尔指的数学化就是用数学的眼光看世界，并用数学的思维方式组织现实世界。数学化的对象包括现实的客观事物和数学本身。前者是对客观世界进行抽象，形成一定的概念、定理等，后者是对数学知识的深化。

所以数学化的形式有两种：第一种是水平方向的(横向的)，即从现实到数学，就是将一些客观事物做符号化处理最后转化为数学问题；第二种是垂直方向的(纵向的)，即从数学到数学，就是在第一种水平的基础上进一步的处理，使数学变得更抽象。

该例中将求解划出来部分的长和宽归结为求解一元二次方程x2-6x+8=0是水平方向的数学化，而将方程x2-6x+8=0进行求解，得出x=4(因为x表示的是长，所以等于2不合题意，舍去)就是垂直方向的数学化。又如教师在进行教学时将“小明的文具袋里有4支笔，小红文具袋里有2支笔，那么他们两个一共有多少支笔？”简化为“4+2=?”是水平方向的数学化，而用数手指的方式来解答等于多少对小学生而言就是垂直方向的数学化。

因为每个人的知识存量不一样，所以对不同的人，数学化的形式区分在深度上有所不同，尤其是对初学者来说，他们对横向和纵向水平化的区别依赖于特定的情景，牵涉到他周围的环境。

数学化是数学教与学的途径，在数学教育过程中，要让学生用数学的思想方法来思考问题并学会从具体的情境中确定问题中所含的数学成分，再将数学成分进行进一步抽象为数学问题，最后使得问题得以解决。

(3)再创造

弗赖登塔尔认为数学实质是对常识的系统化，对学生来说，他们已经有了一定的进一步学习所必须的基础知识，当他们遇到一些不容易解决的问题时能在教师的帮助和指导下进行探索并将问题解决。因此，我们要利用“再创造”的方式和原则对学生进行数学教育，只有这样，教学才能有好的效果。

数学和其他学科不一样，它不容易学，所以更需要学习者参与探索与创造的过程。而弗赖登塔尔指出，“再创造”思想的核心就是数学过程再现。比如像1+2=3、三角形的面积计算方法等一些简单的数学知识，学生都可以通过自己的探索而得到。换而言之，教师在数学教学过程中，不需要采用灌输式让学生接受所有的规则、定理，最后进行所谓的“应用”，而是应该做一个引导者，为学生的再创造过程提供条件。从教育学的角度来看，学生通过自身的探索而得到的知识经验比老师或者同学教的理解起来要更容易，应用起来也比较灵活，同时能记得更长久，另外学生通过“再创造”的方式学习可以激发他们的学习动力。

总之，学生学习数学的过程就是在自己的努力的前提下，顺着自己的思路，通过教师指点和帮助将知识“数学化”和“再创造”，从而学习和掌握新知识的过程。站在教师的角度上来说，数学教学就是要通过数学化的方式来完成，其中最有效的方法就是引导学生再创造。

3.中学数学的两个课程标准综述

本文中，中学数学的两个课程标准指的是文[2]和文[3]。

3.1《义务教育数学课程标准》(2011版)分析

3.1.1义务教育数学课程的理念

义务教育数学课程标准的基本理念主要有以下几个方面：

(1)数学课程所面向的对象是所有的学生，在适合每个学生需要的同时能让他们朝着符合自己个性的方向发展，让每个人都能得到良好的数学教育。

(2)数学课程的内容要符合人类社会发展的需要、学生的认知规律以及数学的特点。

(3)教学过程是一个以学生的学习为起点和最终目的，师生共同进步的过程，其中学生是学习的主体，教师发挥主导作用并强调师生交流。

(4)学习评价是了解学生学习和教师教学效果的途径，可以有效地促进学生的学习，同时可以指导教师在教学方面有所改进。评价时要重视学生的学习态度和他们在学习过程中的付出，所以标准希望能建立一个多元的、动态的评价体系。

(5)信息技术在当今社会的发展过程中起到了重要的作用，对数学的教学产生了重要的影响。教师在教学过程中要合理地利用现代信息技术对数学内容进行讲解，这样更直观，也让学生对所学习的知识理解起来更容易。

基于数学课程的基本理念，该阶段的数学课程设计充分考虑了学生学习的特点以及数学本身的特点，在符合学生认知规律的基础上，充分发挥学生的主观能动性。

3.1.2义务教育数学课程的目标

义务教育数学课程的目标分三个学段从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面来阐述。但每一个学段，在同一个方面它的要求也是不同的，学生的年级越高，要求就越严。总体来说，在义务教育阶段，主要让学生通过学习，获得一些基础知识，积累学习经验，为自己的发展奠定基础；经历探索、发现的过程体会数学内部之间以及数学与外部事物之间的联系，学会用数学的思想方法解决问题；通过主动参与学习数学的过程，提高学生的学习能力、学习的主动性以及综合应用的能力，并会用科学的态度看待问题，形成一个好的学习习惯。如果将数学思考与问题解决当作是过程与方法领域的目标，则两个“标准”的教学目标都可以统一为三维目标：知识与技能、过程与方法、情感与态度。

3.1.3课程的内容

在义务教育的各个学段中，每个学段都安排了“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”这四个方面的内容。

“数与代数”涵盖了从数的认识到运算、字母表示数、代数式以及方程和函数等内容；“图形与几何”的主要内容有两个方面：一是对图形的基本认识，包括了对图形性质、分类、证明等方面，二是对运动着的图形的了解及掌握，运动包括旋转、平移、对称、投影等；“统计与概率”就是让学生收集、整理、统计、分析数据最后处理数据并能利用学习到的知识解答遇到的简单概率问题；“综合与实践”是让学生学会主动积极参与学习的过程，会运用前面学习过的三个部分的知识和方法去解决问题，这一部分设置的主要目的就是让学生积累生活经验、养成学以致用的好习惯。

3.1.4课程实施建议

对课程实施的建议主要有教学建议、评价建议、教材编写建议、课程资源开发与利用建议四个方面。

在教学建议上指出，教师在教学过程中要把教学理念转化为教学行为，从实际出发，创造问题情境，让学生在自主探索、解决问题的过程中提高学习和获取知识的能力。同时指出教师要通过合理利用以多媒体信息技术为主的教学设备，从而提高教学效益。

评价的目的是了解教学的实际情况，在了解的基础上，对教师在“教”方面的不足加以改进，发挥评价的激励效果。值得注意的是，在进行评价时，看重结果但也不能忽略过程，对学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现进行评价时要以课程目标和内容为依据。

教材编写时用到的素材要尽可能地贴近生活，要具有科学性和整体性并能体现重要知识的产生、形成和发展的过程。

数学课程资源包括文本资源(教科书、辅导资料等)、信息技术资源(比如网络、多媒体技术等)、社会教育资源(图书馆、报纸杂志等)、环境与工具(教具与学具等)、生成性资源(教学活动过程中提出的问题、课堂实录等)。教师在教学过程中要合理地使用数学课程资源，提高教学效率。

3.2《普通高中数学课程标准》(实验)分析

高中数学课程是普通高中开设的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，学习该课程可以训练学生的思维，增强学生的应用意识，为学生以后的发展奠定基础。

3.2.1课程的基本理念及框架

高中阶段的教育仍属于基础教育，但又要为学生的升学提供选择方向，所以在这个阶段的数学既要注重基础性也要有发展性，为学生以后的学习提供数学基础，做好数学准备，因此这个阶段的数学课程由必修和选修两个部分构成，必修部分是每个学生都必须学习的内容，可以满足大家在数学上的共同需求，而对于选修内容，学生根据实际来选择，从而满足他们对不同层次、不同方向的数学需求。

学生的数学学习不是一种生搬硬套的机械化活动，而应该是一个学生主动参与、积极探索并在此基础上进行“再创造”的过程。所以高中课程更要求学生通过数学学习提高思维能力，培养应用意识、创新意识，并形成一种积极探索，勇于创新的学习习惯。在此标准中，也注重强调在内容中渗透数学文化的内涵。

3.2.2课程目标

高中数学课程的三维目标分别是：知识与技能目标、过程与方法目标、情感态度与价值观目标。

知识技能目标主要就是让学生通过对数学课程的学习，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解数学文化背景，掌握数学基础知识和基本技能。这一目标的水平有三个层次：知道/了解、理解/独立操作、掌握/应用/迁移。“知道”水平的行为动词有“认识”、“初步了解”、“初步学会”等；“理解”水平的行为动词有“描述”、“说明”、“解释”、“推测”、“判断”、“初步应用”、“初步讨论”等；“掌握”水平的行为动词有“分析”、“推导”、“证明”等。

过程与方法目标旨在让学生经历知识发生与发展的过程，体会数学知识中蕴涵的思想方法，培养学生各方面的能力,发展学生的应用意识和创新意识。过程与方法目标有两个水平层次:经历/模仿、发现/探索。“经历/模仿”水平的行为动词有“经历”、“感知”、“体验”、“操作”、“查阅”等；“发现/探索”水平的行为动词有“设计”、“整理”、“发现”、“交流”、“探究”、“解决”等。

情感态度与价值观目标主要是让学生通过对数学课程的学习，提高学习的兴趣、养成良好的学习习惯和塑造健全的人格，认识到数学在生产生活等方面的价值。情感态度与价值观目标有两个水平层次:反应/认同和领悟/内化。反应/认同水平的行为动词有“感受”、“认识”、“了解”、“初步体会”等；领悟/内化水平的行为动词有“获得”、“提高”、“增强”、“树立”、“发挥”、“发展”等。

3.2.3课程内容及实施建议

(1)课程内容

高中数学课程的内容由必修和选修构成。必修课程由5个模块构成，为学生将来的学习打下良好的基础。5个模块的内容主要有：集合与函数、几何初步、概率统计、向量、三角恒等变换、解三角形、数列以及不等式。而选修内容由4个系列组成，学生可以根据自己的兴趣来选择，它为学生的进一步学习提供了平台。

(2)实施建议

高中数学课程不同于义务教育数学课程，它在具有基础性的同时，有一定的难度，所以在教学设计上要充分考虑高中学生学习的心理特点，运用多种教学手段和教学方法，引导学生形成积极主动的学习态度，勤动脑动手；注重知识点之间的联系和衔接，发展学生的应用意识和创新能力；合理利用现代信息技术和多媒体设备，提高教学效率。

因为每个人都有其特殊性，所以在进行教学评价时要因人而异，对不同的学生使用不同的方式方法，不能打击学生学习的自信心，同时重视学生学习的过程，发挥好评价的重要作用，促进学生的进步。

4.弗赖登塔尔的数学教育观与中学数学两个课程标准的对比解读

弗赖登塔尔的数学教育观与中国数学两个课程标准的要求基本是一致的。它并不是单纯地谈理论，与两个标准一样，是通过实践得到的经验总结，也是对现代教学的要求。基于弗赖登塔尔的数学教育观念对世界数学教育的影响和他与中国的渊源，两个“标准”中处处闪耀着他的数学教育思想的光辉。

(1)弗赖登塔尔的数学教育观的五大主要特征与中国数学课程标准的典型观点对比解读

弗赖登塔尔强调情境问题是教学的平台，用符合学生认知规律并能激发学生学习兴趣的情境引入，可以引起学生探究的好奇心，体验知识发生与发展的过程，增强学生学习的效果。比说在讲授相似的内容时，弗赖登塔尔并不是直接切入主题，引出相似的概念，而是通过创设情境问题——“巨人的手”来引入。

中国数学两个课程标准中提到教材的编写素材要与学生的实际生活和数学基础贴近，适应学生的特点，这样既有利于引入教学内容，也能加深学生对数学的理解等观点与弗赖登塔尔的教育观念是相吻合的，除此之外的四个特征也与我国数学教育改革的观点高度一致。

表1 弗赖登塔尔的数学教育观与中国数学两个课程标准的比较

中国数学课程标准的要求与弗赖登塔尔的数学教育观其实并没有悖离的地方，但后人在运用上产生了一点误解。弗赖登塔尔的数学化包括两个方面的，一是水平方向的，对客观现实的数学化(从现实到数学)；二是垂直水平的数学化，就是对数学进一步抽象化(从数学到数学)，但现在人们一般认为的数学化只是第一种，从现实到数学。

(2)从两个“标准”的数学教学目标、理念、内容设立、教学方法等几个方面与弗赖登塔尔的数学教育观点进行对比解读。

①从目标来看

《义务教育数学课程标准》(2011年版)和《普通高中数学课程标准》(实验)对课程的目标总的概括为三个方面，即知识与技能目标、过程与方法目标、情感态度与价值观目标。

知识与技能目标主要就是让学生通过义务教育阶段以及高中阶段对数学课程的学习，获得必要基础知识和基本技能，并了解其中的基本思想，积累在活动中得到的经验。

过程与方法目标是经历学习和探索的过程，体会数学课程所蕴涵的思想以及方法，提高各个方面的能力，如分析和解决一些复杂问题的能力、创新能力等。

情感态度与价值观目标是让学生了解数学，培养学生学习的兴趣和毅力，同时形成一定的理性精神和科学态度。

弗赖登塔尔对数学教育的目的进行了分析与探讨，主要可以分为以下几个方面：

(ⅰ)掌握数学的整个体系

因为数学知识的应用广泛并且应用起来比较灵活，所以究竟有哪些知识点将来能派得上用场，我们不得而知。因此数学教育需要对整体的结构进行把握，所教的数学内容要在符合数学体系的基础上联系成一个整体。但要注意的是大多数人可能只需要用到一些最简单、最基本的数学知识，也就是整个体系的大致框架，所以说数学的教学目的不是培养数学家。数学的教学不能过分强调数学体系严谨，不能单纯地以数学体系来决定教学的内容，而是要在符合教学法规律的同时结合学生的实际，满足社会的要求。

(ⅱ)学会数学的实际应用

数学教育的首要目的不是追求完整的数学体系，而是应该考虑数学在社会中扮演的角色。换而言之，数学教育必须让学生学会用所学的数学知识解决现实中的问题。数学教育的目的要求在数学教学过程中不能单纯地就数学教数学，更重要的是弄清知识之间的联系并让数学成为解决问题的工具。

(ⅲ)可以训练人们的思维

从古至今，人们认为数学对所有人来说都是不可或缺的思维训练内容，并强调数学学习对人们的逻辑思维有重要的作用。

弗赖登塔尔基于数学到底能不能训练人们的思维这个问题进行了多次的试验，而试验的结果表明受过数学教育的人相对于没有接受过数学教育的人来说，他们在对问题的看法、理解以及回答问题等方面有了很大的长进。由此可见，数学教育与逻辑思维有一定的关联。但如何找出它们之间的本质联系和存在的规律，这需要从其他的角度进行分析探讨。

(ⅳ)数学作为筛选的工具

长期以来，数学在各个领域都被作为是一种选择的方法。不仅仅是理工类的学生需要学习数学，很多文学类的学生也需要学习并获得一定的数学知识，基于此种情况，数学便成为了测试学生智力以及才能的有效方法，同时也成为了一种挑选学生的便捷工具。

(ⅴ)数学能提高学生解决问题的能力

数学可以解决许多问题，从日常生活中遇到的数值计算到许多高端领域对数学的应用。人们在实际中遇到的一些问题能用数学语言使之简化，然后得以推广，最后将问题一般化。数学给人们解决各种各样的问题提供了手段、方法，帮助人们综合分析问题，为顺利解决问题奠定了基础。

从上面的分析对比，可以看出弗赖登塔尔的数学教育观与中国数学两个课程标准二者在对学生的培养目标上有一定的相似性。具体表现为以下几个方面：

第一，弗赖登塔尔认为数学教育的目的是让学生掌握整个数学知识体系以及基本的数学，数学教学内容要结合学生的实际。数学的学习对人的逻辑思维有重要的作用，受过数学教育的人在看待和解决问题的方式方法上有很大程度的提高。而两个“标准”的数学教学目标的知识与技能目标就是要让学生通过对数学课程的学习，培养“双基”，并了解数学的基本思想，积累学习活动中的相关经验。

第二，弗赖登塔尔在数学教育目的中提到，教师在数学教学过程中不能单纯地就数学教数学，而是要注重结合实际，让学生在“再创造”的过程中培养解决问题的能力，并让数学成为解决实际问题的工具。这一点与两个“标准”的数学教学目标的过程与方法目标中的让学生经历知识发生的过程，体会到数学中所蕴涵的思想以及方法，提高学生的整体能力等要求是相同的。

②从课程理念来看

中国数学课程的基本理念提到：提倡学生积极主动、勤于动脑动手，敢于尝试和探索，教学时教师要注重以学生为主，提高他们学习的积极性，发展学生的创新能力以及应用意识等。

弗赖登塔尔认为现代数学的特性有以下几个方面：

(ⅰ)最近的几十年，数学有所变化，但变化主要是它的外表形式，数学的内容实质并没有得到比较好的改变。在这个自然演变的过程中形式化成为了组织现代数学的重要方法之一。

(ⅱ)数学概念的建设方法。弗赖登塔尔强调数学教育是一个过程，在这个过程中，教师要让学生经历知识的形成过程从而掌握知识，在实践中学会抽象化、形式化的方法。

(ⅲ)现代数学强调传统数学中的算法数学，同时加强了对概念数学(思辨数学)的重视。算法数学给概念数学以技术和方法上的支持，为探索更进一步的概念深度奠定了基础。而概念数学体现了机械操作的突破，提高了理论的深度。

根据前面对《义务教育数学课程标准》(2011版)以及《普通高中数学课程标准》(实验)的课程理念分析，结合弗赖登塔尔对现代数学的特性，对我国数学教育的启示有：

(ⅰ)数学教育要以具体的、能给予学生直观感知的内容为背景和基础，结合学生的认知规律和身心发展规律，达到让学生理解现代数学的形式体系。

(ⅱ)我国现代的数学教育要以人们赖以生存的现实世界为背景给学生渗透一些现代的数学思想方法。

(ⅲ)根据算法的数学与思辨的数学这一辩证关系来组织数学教育，处理好知识与技能的关系，让我国的数学教育从算法的数学和思辨的数学两方面培养学生，并让学生学会实际应用。

③从内容设立来看

从数学课程内容的设立来看，弗赖登塔尔的数学教育观与中国数学两个标准的要求基本是一致的。以义务教育数学课程内容中的“综合与实践”部分为例：

“综合与实践”部分就是让学生运用所学知识进行自主探索并参与解决问题的一种学习活动。它重在“综合”与“实践”。其中重“综合”就是注重所学的数学各知识点的联系以及数学与其他事物之间的联系；重“实践”指重视学生在活动中的自主参与的过程。在实施“综合与实践”过程时，教师只需要在学生实践过程中发挥好组织、引导的作用，在关注结果的同时注重过程，让学生充分参与，积累经验，挖掘潜能，让“综合与实践”部分的实施成为教师与学生提升自我的互动过程。

弗赖登塔尔认为，数学教育的目的之一就是要学会数学的实际应用。同时他强调学生学习就是要通过自己的努力得出结论，这也属于教育内容中的一个组成部分。换而言之，学习数学不仅是单纯地接受由教师传授数学课本上的理论知识，更要学会自己探索发现，勇于“实践”。

④从教学方法上来看

中国数学的两个课程标准中指出：数学教学活动应体现“以人为本”理念，让学生在主动学习和探索的过程中自身素质得以提高和发展；教师不是直接灌输给学生知识和理论，而是组织和引导学生，为学生的发展创造良好的学习环境；实行启发式教学有利于学生主体地位和教师主导地位的落实，能让学生主动参与学习的过程。

弗赖登塔尔认为学生的学习过程就是学生“再创造”的过程，这类似于我国数学教育在教学要求和教学方法上的“启发式”、“发现法”。弗赖登塔尔认为，数学学习就是要通过自己主观努力来获取数学知识，当学生所遇到的问题超出自己的能力范围时，教师应给予一定程度的引导而不是直接给出答案。因此在教学时，教师要遵循“再创造”原则，通过“再创造”的方式来教学。这些观点与两个“标准”中关于教与学的上述方法的定位是一致的。

5.结束语

从二十世纪五十年代初起，弗赖登塔尔就把大量的精力和时间花在数学教育上，在他担任国际数学教育委员会主席期间，为数学教育事业做了巨大的贡献。由于弗赖登塔尔数学教育思想产生的背景是二次世界大战后为了满足社会物质生产的需要，要培养具有数学基础知识的技术工人，教师需要在越短的时间内讲授的知识越多越好等等。而在我国，高考是决定数学教育内容的主要因素，所以从这个角度来看，我国当前的情况与弗赖登塔尔所处的时代有相似的地方。因此，弗赖登塔尔所提出的关于数学教育方面的思想对我国的数学教育改革具有指导性意义，并且影响着两个数学课程标准。

弗赖登塔尔对我国基础教育改革的指导意义表现在以下几个方面：

(1)加快课程标准和教材体系建设。以前的教学大纲在确定培养目标时，大部分是强调能力的培养，而课程标准则注重培养学生的创造性思维和创造意识。传统的教材在编写上注重严谨的逻辑和严密的知识体系，缺少对知识背景的阐述，弗赖登塔尔将这种现象称之为“教学法的颠倒”并进行了批判。所以新的教材体系从过去注重逻辑的严密转向展示数学知识发生、发展的过程。在教材的编写上也不只是具体的结论，而是结论产生的思路或者得出结论的一部分过程，让他们通过自己的再创造来发现结论，获得知识。

(2)对教师变量的研究有所加强。以往课堂教学模式的研讨是数学教育改革的侧重点，忽视了教学活动过程中教师和学生的这两个主要的因素。在有些人看来，教学是一项非常简单的工作，但事实上，只有少部分具有教学天赋的人能很好地胜任教师这份工作，大部分的教师的教学效果并不理想。所以弗赖登塔尔在对教师培训这方面提出了最低的要求：

①掌握对现代数学基本方法的使用。在基础教育课程改革中，强调现在数学思想方法的渗透。所以要求在对教师进行培训时需要贯彻数学思想方法，加强对数学思想方法的解释，以便于将来应用于教学之中。

②提供能理解现代数学知识结构的概念。如果教师在教学过程中没有强调结构体系，那么学生所学到的知识可能会处于条块分割的状态，并且他们不能理解和综合运用所学的知识。因此教师在教学中要取得比较好的效果，就要掌握他所教课程的基本结构体系,发展学生的应用意识。

③初步介绍如何进行数学研究。因为只有教师自己学会怎么探索研究才能教会学生如何通过自己的探索得出结论的过程。

(3)加大对教学法的研究力度。数学课堂教学改革可以说是弗赖登塔尔数学教育思想的主旨，弗氏提出在进行数学课堂教学时应使用“再创造”模式：先提出问题，给学生创造一个问题情境，然后帮助、引导学生自己去探索数学知识形成的过程，这和我们课程标准里提到的过程与方法目标有相似之处。

[1]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011版)[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[S].北京：人民教育出版社，2003.

[4]李永杰，毛凤梅.弗赖登塔尔数学教育思想综述[J].平顶山师专学报，2003,(05):96―98.

[5]蒲淑萍，汪晓勤.弗赖登塔尔的HPM思想及其教学启示[J].数学教育学报，2011,(06)：20―24.

(责任编辑 李艳梅)

The Contrast Reading on Thoery of Freudenthal’s Mathematics Education and Two “Standards” of Mathematics Education in Senior Middle School

HUANG Meijun, YUAN Liqing & HE Jianfeng

(ChuxiongNormalUniversity,Chuxiong, 675000,YunnanProvince)

Firstly, the paper focuses on the analyse of Freudenthal’s thoery of mathematics education based on the mathematics curriculum standard of the Compulsory Education (2011 edition) and the mathematics curriculum of senoir middle school (trial edition). Secondly, it discusses the aspects of the basic properties, conception, objectives, contents, standards, implementation suggestions and some factors. Finally, comparing the Freudenthal's thoery of mathematics education with Chinese two mathematics curriculum standard interpretation and finding out the connections between them.

Education of mathematics; Curriculum standard; Contrast; Interpretation

2016 - 06 - 25

黄美君(1994―)，女，数学与统计学院2012级学生，研究方向：数学与统计。

O1-0

A

1671 - 7406(2016)09 - 0007 - 09