重视“模式识别”的作用 提高“变式教学”的效率*

●孙明辉

(安吉县高级中学 浙江安吉 313300)



重视“模式识别”的作用 提高“变式教学”的效率*

●孙明辉

(安吉县高级中学 浙江安吉 313300)

“模式识别”是学习者已有知识的运用和重组,并在此基础上对新问题的识别和解决.“变式教学”是依据学生已有的知识对问题模型进行变式，帮助学习者形成概念、解决问题.文章以模式识别为理论基础，以变式教学为实现手段，从模型背景、问题铺垫、问题细化、模式类比4个方面进行讨论和分析，从而更好地把握变式教学，提高课堂教学的效率.

模式识别；变式教学；思维定势

任何数学概念都是通过一定的形式表征出来的.我们对概念的记忆过程总是在头脑中结合原有的知识结构和经验系统来进行，从而在头脑中逐渐形成一个相对稳定的模式结构．在解决数学问题时，大多数学生是通过已有模式系统来解决的.首先要识别眼前的问题属于哪一类，然后以此为索引在记忆储存中提取相应的知识，这就是模式识别[1]．

变式教学是在强调“双基”的基础之上，重视“变式练习”，在变化中进行重复，在重复中获得变化[2].强调从问题原型出发，上升到抽象的数学概念,让学生体验数学化的过程,事实上也就是通过变换习题的形式,让学生体验、比较、归纳、抓住知识的深层结构和特征,进一步让学生在变式的过程中调整和优化自身的知识结构.实际上，变式教学就是根据学习者已有的知识平台和经验系统，设计不同层次和不同模式的问题或概念让学习者通过识别、概括、分析、解答等方式不断促进学习的过程.在这里可以看出:模式识别和变式教学都强调利用已有的知识和经验来求解所面临的新问题,而变式的目的就是让学生能够利用已掌握的原型去适应新的问题模式或概念模式,以达到对某种方法或概念的更为本质的领会和运用.因此,变式教学的各环节中依然存在一个模式识别的过程,如果没有对问题表征和结构的把握和识别,很难完成各阶段的变式训练.同时,从模式识别的角度来把握变式教学的各环节,能够对变式教学过程起到一个调节作用,更好地体现出变式教学的效率[3-5].

1 同一模型，不同背景,通过变式教学强化模式识别

心理学表明:要达到长时记忆,所记忆的对象必须要在几个或者更多的场景出现才能保持不忘[6].数学概念和方法的理解也是一样的,需要在不同的情景中加强体会和理解.因此,就学习者而言,能够在不同条件和环境下对同一概念有效地进行模式识别,也就达到了我们变式训练的目的，以下通过几个例子来说明这一点．

例1 (问题原型)袋子中有红色球3个,蓝色球5个,现从袋子中抽取小球(每次1个),抽取不放回.求：

变式1 某产品有3只次品,7只正品,每次取1只测试,取后不放回.求:

1)恰好到第5次3只次品全部被测试出的概率;

2)恰好到第k次3只次品全部被测试出的概率f(k)的最大值和最小值.

变式2 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了2只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到2只苍蝇都飞出，再关闭小孔.求

1)笼内恰好剩下1只果蝇的概率；

2)笼内至少剩下5只果蝇的概率.

从以上3个问题可以看出，问题原型的把握和理解非常重要，要多花些时间帮助学生理解和掌握，只有在原型问题理解的基础上，变式才能起到应有的效果.事实上，原型问题也是一个逐步变式的过程,目的是让学生更清楚地把握问题所呈现的基本模式和模式内涵.从变式1可以发现,背景的改变对学生的模式识别影响不大,学生根据已有经验能很快得出结果.这样的变式对学生模式识别能力的培养仅仅是外在的,缺少了分析和思考的过程,容易产生思维定势.而变式2所表现出的却是背景知识，对其本质和内涵有一定的隐藏作用,使得学生必须通过分析和鉴别才能理顺变式2是否属于问题原型,然后通过识别建立解决问题的思路.因此,变式2对模式识别能力的培养要显得层次更深刻一些,当然变式1的过渡也是不可或缺的.总之,上述的问题变式都是通过不同的应用背景形式,体会模式识别和把握问题本质的过程,是不断强化模式识别的过程.当然,对变式要把握好“度”，不要单纯地为变而变，要在每次的变式过程中体现出模式识别的心理表征，才能使学生数学思维能力得到提高.

2 问题铺垫，层层推进，突破已有模式改善知识结构

当学习者面对新的问题时,总是首先建立与原有知识结构相关的模式,如果新问题所呈现的模式结构不能与学习者的经验系统和认知结构发生联系,这时对问题的求解表现出较大的困难.在这种情况下,我们可以适度降低问题的难度或减少干扰因素,帮助学生逐步建立模式识别系统,逐步增强学生在解决问题过程中的模式识别能力.有这样一个课例片段呈现如下：

例2 在数列的复习教学中，为了让学生学好裂项相消法，设计了这样的一系列问题变式：

让学生体会裂项相消法.

与问题原型比较，是否仍然能够用裂项相消法，引发学生思考并解决问题.

结合3个问题让学生思考：符合怎样的通项结构可以用裂项相消法？

继续追问：符合变式3的数列之和是否一定能使用裂项相消法？

让学生反思这个问题与前面的几个问题，比较它们在裂项求和过程中的差异.

结合学生已有经验，继续给出相关问题：

变式5 给出如下通项公式，求出它们的前n项和：

让学生感知这3个数列的前n项和是否可用裂项法，如果可以，让学生体会与前几个问题所呈现的规律性差异，进一步加深对裂项相消法基本模式的理解.

此变式使学习者从一般化的角度来认识裂项相消，也就是an+1-an=cn，当cn是一个可识别的数列时，就可以较为容易地求出{an}的通项.

以上变式教学的过程,正是在一个问题原型的基础上引发的.随着问题变式过程的推进,逐步影响着学生的模式识别能力,随着问题的深入和认知负荷的增加,学生的模式识别水平也在不断地提高和改善,同时形成了一个过程化的教学环境,在这种环境的带动下，学生对“裂项相消法”的理解从原型问题上升为比较系统的认知结构.这为以后更高级的模式识别和问题解决建立了良好的平台.因此,模式识别不仅要认识一般的规律和方法，而且要在一个动态的识别过程中突破原有的思维结构，更有效地解决一些异常性问题和新问题．

3 问题细化,铺设搭桥，通过模式识别引导知识建构

3.1 针对数学概念的构建

在二面角的教学中,利用垂线法找二面角的平面角对初学者来说比较困难.他们通常只对标准图形能够识别.如果在实际问题求解中通过问题引导使之理解基本构图模式,并能够识别,其实是比较容易找出二面角的平面角的.

例3 如图1,在四棱锥P-ABCD中,ABCD为菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,且PD=DC=a.

图1

1)求二面角P-BC-D的大小;

2)求点D到平面PBC的距离;

3)求二面角D-PC-B的大小;

4)求二面角C-PB-D的大小.

从以上4个问题可以看出:第1)小题是标准图形的识别,通过第2)小题建立第3)小题的模式识别,在3个问题基础上体验过程,再用第4)小题体会运用.4个问题有机组成了一个从“原型理解—铺垫引导—模式识别—经验运用(再次模式识别)”这样一个模式识别系统，为变式训练的开展明确了各阶段的目标.

3.2 针对思想方法的理解

数列通项求解的教学中有这样一道题:

an=4an-1+3λ,

得

3λ=1,

即

从这样的过程中学习者会在头脑中建立更为一般化的模式“形成基本模式(an=can-1+d)，根据待定系数法，构造等比数列{an+λ}，求出an”.结合学习者已有的经验系统,设计了以下几个问题变式:

分析 与问题原型类似,差异是原型中的d=1,新问题中d=-3n-1.因为λ为常数,尝试构造

an+λ·3n=4(an-1+λ·3n-1),

还原仍然可求出λ=-1,从而

通过尝试排除了d=-3n-1的干扰,并对原有模式进行了重构,形成了新的模式识别体系.

分析 构造出

an+λ1·3n+λ2=4(an-1+λ1·3n-1+λ2),

求出λ1=-1,λ2=-2,可得

分析 由前面的模式,亦可构造

an+λ1·3n+λ2·2n=

4(an-1+λ1·3n-1+λ2·2n-1),

求出λ1,λ2即可[7].

通过以上几个变式,我们发现模式识别过程因为与头脑原有模型相似而得以成功运用,因为差异模式识别能力而得以提高,同时通过变式在问题解决的过程中强化了对问题本质的把握和领会,相关数学知识结构进一步得到优化.然而,我们更应该理性地看到这种基于模式识别的变式教学容易引起学习者倦怠,这需要在教学过程中做好学生心理上的调控和引导.

4 模式类比，思考差异，比较求解过程克服思维定势

以上2种基于模式识别理念的变式教学容易使学生形成相应的模式识别系统，但在数学问题的解决过程中我们总是有这样的体验:对于一些看似简单或者比较熟悉的数学问题,学习者总是由于这样或那样的原因给出错误的解法或结论.对于这种情况,我们总认为是学习者的概念掌握不扎实或者解题经验不丰富造成的.实际上是学习者在面对新问题时,对于问题类型的判断和问题呈现出的知识体系与自身头脑中已有的基本模式在匹配上还不够完善和全面.认知系统仅仅是对问题有一个大概的或者是模糊的认知结构，同时在此基础之上形成的解题方案往往因为定势思维的影响,通常会出现问题解决过程中无法察觉的错误.为了解决这些问题,需要加强对数学问题和解题过程的比较和分析，并帮助学习者不断体验和反思,促使学习者头脑中的模式形态更加完善和丰富,这样才能在模式识别和问题解决的过程中形成较为稳定的思维方式和心理状态,使学习者对结构相似容易混淆的数学问题形成更为准确的识别.例如有这样3个题组变式如下：

题组1 1)袋中有7个不同的小球，其中2个为蓝色球，5个为红色球，现从袋中逐个抽取小球(抽取完放回)，试问取到第4次恰有2次取到蓝色球的概率?

2)袋中有7个不同的小球，其中2个为蓝色球，5个为红色球，现从袋中逐个抽取小球(无放回)，试问取4次中恰有2次取到蓝色球的概率?

3)袋中有7个不同的小球，其中2个为蓝色球，5个为红色球，现从袋中逐个抽取小球(无放回)，直到第4次取到所有蓝色球的概率?

题组2 1)求函数y=lg(-x2+x)的值域；

2)求函数y=ln(x2-x-6)的值域；

3)函数y=ln(x2+ax+1)的值域为R，求a的范围；

4)函数y=log2(2x+a)的值域为R，求a的范围；

题组3[8]已知2个函数f(x)=8x2+16x-k(其中k为常数)，g(x)=2x3+5x2+4x.

1)若对∀x∈[-3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围;

2)若∃x0∈[-3,3]，使得f(x0)≤g(x0)成立，求k的取值范围;

3)若对∀x1,x2∈[-3,3]，都有f(x1)≤g(x2),求k的取值范围；

4)若对∀x1∈[-3,3],∃x0∈[-3,3]，使得g(x0)=f(x1)成立，求k的取值范围.

从以上3组问题变式可以看出,虽然问题模式结构类似但是结果却差异很大.因此,在教学中要加强对相似问题或概念的比较和分析,通过一定的问题变式呈现出来,使学习者在类比的过程中建立更为全面的模式识别系统.并形成对问题更为本质的把握,防止模式错位、机械模仿、思维定势的发生,提高学生解决问题的效率和质量.

通过以上4个方面可以看出:有效的变式教学总是通过问题变式让学生在不同的背景和模式中重新构建原有的知识体系和认知框架,通过编码和记忆在头脑中形成一定的模式结构.当问题所呈现的特点与已有模式产生联系或有相关性时,通过模式识别便可以选取相应的解决策略.事实上,在模式识别的过程中,不仅体现了对信息的提取和加工的过程,同时也常常表现为模式的选择和优化过程[1].

[1] 郑毓信,梁贯成.认知科学建构主义与数学教育[M].上海:上海教育出版社,1998.

[2] 张奠宙.中国数学双基教学[M].上海:上海教育出版社,2006.

[3] 黄翔.关于数学学习心理研究的几个问题[J].教育研究,2003(1)：88-89.

[4] 俞昕.应用模式识别指导数学问题的归类[J].数学通报,2005(7)：44-45.

[5] 涂荣豹.专家知识的特征及其数学教学启示[J].数学教育学报,2005(4)：10-11.

[6] 喻平.数学教育心理学[M].南宁:广西教育出版社,2004.

[7] 农江萍.数学问题解决中的模式识别探析[J].广西广播电视大学学报,2001，12(2)：5-6.

[8] 浙江省教育厅教研室．普通高中新课程案例研究[M].杭州：浙江教育出版社，2010.

�2016-06-21；

2016-07-23

孙明辉(1976-)，男，山东郓城人,中学一级教师．研究方向：数学教育.

O122.4

A

1003-6407(2016)11-04-04