Dirichlet级数的准确级和型的系数重排

牛英春

(内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽 028000)



Dirichlet级数的准确级和型的系数重排

牛英春

(内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽 028000)

研究了Dirichlet级数的系数重排与Dirichlet级数增长性之间的关系.对整Dirichlet级数的准确级进行了研究，得到了使其保持不变的系数重排所满足的条件；还研究了控制准确级的型的指标，得到了系数重排下，使准确级的型及其范围保持不变的充要条件.

Dirichlet级数；型；准确级；重排

1 有关定义及定理

关于Dirichlet级数的系数重排与其和函数的级、型之间的关系，已有过一些研究：郑少薇[1]得到了使级保持不变的重排特征；夏爱桃等[2-4]也曾在全平面及半平面上分别得到了Dirichlet级数的型保持不变的重排特征.那么，对于Dirichlet级数的准确级及其型是否也在满足一定条件的系数重排下保持不变呢？本文对此做了研究并得到了一系列的重排特征.

设Dirichlet级数:

(1)

(2)

(3)

其中σa是级数(1)的绝对收敛横坐标.于是级数(1)所表示的函数f(s)为一整函数.

设

ρ称为f(s)的(R)级.

文献[5]给出了如下定义：设级数(1)满足条件(2)、(3)，若级数(1)的级ρ为有限，给出一种型函数U(σ)=e-σρ(σ)，其中ρ(σ)在σ≤σ0(σ0<0)上连续、其导数处处存在，且满足：

则称τ为f(s)关于(R)准确级ρ(σ)的型.

定理1[6]设ρ(0<ρ<)级Dirichlet级数(1)满足条件(2)、(3)，则:

定理2[2]设级数(1)在条件(2)、(3)下有:

文献[4]中用一个重要指标给出了型τ的范围，很好地刻划了τ的变化情形.

定理3[4]设f(s)是级数(1)表示的ρ(0<ρ<)级整函数，且满足条件(3)，则：

于是，当对级数(1)进行系数重排时，τ的变化情形就被指标ξ所决定.

2 主要结论

证明 由定理1、2即可得到.

引理1 对满足条件(2)、(3)的有限ρ级Dirichlet级数(1)进行系数重排π(n→n′)，当重排满足：

(4)

证明 必要性.由式(4)，对任取的ε>0，存在无穷多个n, 使得：

由重排π(n→n′)的一一对应性，对无穷多个n′有：

(5)

而

(6)

代入式(5)得：

(7)

(8)

由式(7)、(8)得:

(9)

对无穷多个n成立.

利用式(9)的推导过程同理可得:

对充分大的n是成立的.

故

所以级数在条件(4)下系数重排时型τ保持不变.

令S={s1,s2，…},T={t1,t2,…}. 若S为一无限集，定义Dirichlet级数

其中

显然f(s)在全平面上是解析的且满足:

当n∈S时，

(10)

若S为一有限集，则T必为一无限集.定义Dirichlet级数

其中

利用推导式(10)的类似方法可得:

故与已知条件矛盾，从而必要性得证.

由定理3、定理4、引理1容易得到：

[1] 郑少薇.关于Dirichlet级数的系数重排[J].华南师范大学学报(自然科学版)，2000(1)：7-12.

[2] 夏爱桃.关于Dirichlet级数的型[J].华南师范大学学报(自然科学版)，2003(1)：10-13.

[3] 南华.半平面上有限级Dirichlet级数关于型函数地增长级[J].延边大学学报(自然科学版)，2003(1)：10-13.

[4] 许全华.Dirichlet级数所表示的整函数的(R)准确级[J].数学年刊，1986，7A(3)：266-177.

[5] 庄圻泰.亚纯函数的奇异方向[M].北京：科学出版社，1982.

[6]YUCY.Surlesdroitesdecertiansfunctionsentiéres[J].AnnScientÉcNormSup,3eseries,1951,68： 65-104.

[7] 黄志波，孙道椿.无限级Dirichlet级数[J].应用数学，2003，16(增)：65-69.

责任编辑：时 凌

Rearrangements of the Coefficients on the Proximate Order and Type of Dirichlet Series

NIU Yingchun

(College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalties,Tongliao 028000,China)

The relationship between the growth of Dirichlet Series and rearrangments of its coefficients is studied.Proximate order and its type respectively are researched.The condition of rearrangements of coefficients that keeps the quantums unvarying is obtained.In addition,the index that controls the type of proximate order is studied and the condition of rearrangements of coefficients that keeps the type and its range unvarying is obtained.

Dirichlet series;type;proximate order;rearrangment

2016-09-18.

国家自然科学基金项目(11461052)；内蒙古自然科学基金项目(2014BS0106).

牛英春(1972- )，男，硕士，副教授，主要从事函数论、算子理论、算子代数等的研究.

1008-8423(2016)03-0291-04

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.09.012

O174.52

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