函数问题错解钩沉

张新松

函数问题错解钩沉

张新松

函数是初中数学的重要内容，也是形成数学思想的核心之一，本文对同学们在解题中常见的错误略作分析，以期对大家的复习有所帮助.

一、与函数概念有关的错解

例1如果关于x的函数y=（m-3）xm2-3m+2+ mx+1是二次函数，则m的值一定是（）.

A.0B.3C.2D.0或3

【错解】由m2-3m+2=2，解之得m1=0，m2= 3，故选D.

【正解】没有考虑到二次项系数m-3≠0，即m≠3，故选A.

二、与函数图像有关的错解

例2已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：

?

写出该抛物线的对称轴.

【错解】由表中观察可得该抛物线的对称轴为直线x=1.

【正解】实际上，点（0，1）与点（3，1）和直线x=1并不“等距”，正确的答案为：该抛物线的对称轴为直线

例3若函数y=（m-1）x2+6x+1的图像与x轴只有一个交点，求m的值.

【错解】因为函数y=（m-1）x2+6x+1的图像与x轴只有一个交点，所以判别式Δ=0，由62-4×（m-1）×1=0，得m=10.

【正解】实际上，题中并没有指明该函数为二次函数，因此，不存在m-1≠0（即m≠1）这样一个前提条件，当m=1时，直线y=6x+1的图像与x轴也只有一个交点，故m的值为10或1.

我们知道，若m-1≠0，m-1越小，抛物线y=（m-1）x2+6x+1的开口越大，当m-1趋近于0时，抛物线趋近于一条直线，因此，抛物线向直线的渐变也是一个量变到质变的过程.

例4如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c过A（1，2）、B（3，1）两点，若在该抛物线上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则这样的点P共有_______个.

【错解】分别以A、B为圆心，AB长为半径作弧，均与抛物线相交，得到2个满足条件的点；作线段AB的垂直平分线，与抛物线相交，得到满足条件的第3个点.因此，满足条件的点共有3个.

图1

【正解】还存在满足条件的第4个点，理由如下：首先，求出抛物线的解析式为y=x2-，直线AB的解析式为，设直线AB和x轴、y轴分别交于点E（5，0）、，线段AB的垂直平分线l分别交AB和x轴于点C、D，根据A、B两点的坐标，可求点C坐标为利用△ECD∽△EOF，可求点D坐标为，从而求出直线l的解析式为，和抛物线的解析式y=联立，消去y，整理得关于x的一元二次方程，该方程的判别式Δ=，所以直线l和抛物线有两个交点.

三、与函数性质有关的错解

例5已知一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，求k、b的值.

【错解】由题意知直线y=kx+b过点（1，3）和（4，6）两点，将这两点的坐标代入解析式，即可求出k=1，b=2.

【正解】上述的解法是想当然地认为y随x的增大而增大，实际上也可能y随x的增大而减小，这时将两点的坐标（1，6）和（4，3）代入解析式，即可求出另一组值：k=-1，b= 7.所以，正确的答案为：k=1，b=2或k=-1，b=7.

例6已知函数y=x2-4x+3，当-1＜x＜3时，求y的取值范围.

【错解】把x=-1和x=3分别代入解析式，得y的相应值为8和0，所以y的取值范围为0＜y＜8.

【正解】因为y=x2-4x+3=（x-2）2-1，该抛物线的对称轴为直线x=2，而x的取值范围-1＜x＜3在对称轴的两侧，其增减性不同，因此，y的取值范围包含最小值-1，所以，正确的答案为：-1≤y＜8.

四、与函数自变量取值范围有关的错解

例7已知抛物线y=x2-2mx+m2+m+2与x轴的交点为（a，0），（b，0），求a2+b2的最小值.

【错解】因为a2+b2=（a+b）2-2ab=（2m）2-2（m2+m+2）=，所以，当m=时，所求最小值为

【正解】上述的错解是忽视了抛物线与x轴有交点的条件，即要判别式Δ≥0，正确的解法应当是：由题意得（-2m）2-4（m2+m+2）≥0，解得m≤-2，在抛物线的对称轴左侧函数值随自变量的增大而减小，所以，m=-2时，a2+b2的最小值为8.

例8如图2，在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，连接QP.已知AD=13，AB=5，AP=x，BQ=y.求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.

图2

【正解】上述解答错误在自变量的取值范围，由题中“线段BP的垂直平分线交边BC于点Q”，可知点Q运动的终点是点C.令=13，解之得x1=1，x2=25（舍去），所以x的取值范围为1≤x≤13.

（作者单位：江苏省宿迁市钟吾国际学校）