定积分计算的方法与技巧

刘春艳

(山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009）

定积分计算的方法与技巧

刘春艳

(山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009）

定积分的计算常用的方法有三种,本文从另外的5个方面对定积分计算的方法与技巧进行了探究,因而拓宽了解题思路,提高了解题效率。

定积分;计算;方法

定积分的计算,一般情况下采用牛顿—莱布尼兹公式、换元法、分部积分法等方法,但有些定积分的计算是需要一些特殊的方法与技巧,这样可以大大的减少计算量,提高计算效率[1-6]。下面就一些方法与技巧进行探讨。

1 利用定积分的几何意义进行求解

例1求圆(x-a)2+y2=R2(0＜R＜a)绕y轴旋转一周后的旋转体体积。

2 利用对称性进行求解

在定积分的计算中,若积分区间关于原点对称且被积函数具有奇偶性,则可以简化积分运算。而当定积分不满足这两个条件时,可采用以下方法进行转化：若积分区间不关于原点对称时,可通过换元法变成关于原点对称区间,若被积函数f(x)的定义域关于原点对称且是非奇非偶函数时,则f(x)可以写成一个奇函数和一个偶函数,即：

此积分比f(x)的积分简单,就达到目的。

分析：在计算这个积分时,由于被积函数含有根式,往往会采用三角代换或双曲代换来去掉根号,但这种方法计算量大,下面我们采用定积分的对称性和几何意义来计算

3 利用建立方程或方程组进行求解

在计算某些定积分时,有时需要通过换元积分和分部积分等列成一个方程或方程组进行计算。

4 利用二重积分进行定积分求解

在计算二重积分一般是将二重积分化成二次积分计算,现在利用逆向思维将定积分转化二重积分的计算。

5 利用含参变量进行定积分求解

在计算定积分时,有时可以在被积函数中引入参变量,通过含参变量的性质来求定积分。

[1]周建莹,李正元.高等数学解题指南[M].北京：北京大学出版社,2002：239-240.

[2]孙涛.数学分析经典习题解析[M].北京：高等教育出版社,2004：262-264.

[3]舒阳春.高等数学中若干问题解析[M].北京：科学出版社,2005：101-102.

[4]宁荣健.定积分计算的方法和技巧[J].工程数学,1995(1)：199-203.

[5]杨罗辉.关于定积分计算中的技巧性[J].长春大学学报,2005(4)：55-58.

[6]刘永莉,宋学梅.巧解定积分计算问题的几种方法[J].数学教育研究,2009(10)：50-52.

〔责任编辑 高海〕

Methods and Techniques for Computation of Definite Integral

LIU Chun-yan
(School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

There are three common methods for computation of definite integral.The thesis broadens the thinking of solving problems and improves the efficiency of solving problems by studying other five methods.

definite integral;calculation;technique

O175.5

A

1674-0874(2016)03-0008-02

2015-10-09

刘春艳(1965-),女,山西大同人,副教授,研究方向：高等数学。