一类导数题的常见解法

周和平

（武汉市新洲区第二中学）

一类导数题的常见解法

周和平

（武汉市新洲区第二中学）

函数求导后，导函数的符号决定原函数的单调性，对导函数要重点分析它的符号怎么确定的。

求导；子集；零点；图像；分离变量；数形结合；构造函数

函数与导数在高考中有着重要地位。用导数处理函数单调性或极值问题时，我们经常会遇到求导后怎么进一步处理的问题，下面看几个例子：

例1.（2010·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1.

（1）设a=2，求f（x）的单调区间；

（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围.

（2）解法一：利用子集关系

f′（x）=3［（x-a）2+1-a2］.

当1-a2≥0时，f′（x）≥0，f（x）为增函数，故f（x）无极值点；

当1-a2＜0时，f′（x）=0有两个根，

解法五：间接法

考虑问题的反面，转化为恒成立问题，即f（x）在区间（2，3）无极值点，f（x）在区间（2，3）为单调函数，∴f′（x）=3x2-6ax+3≥0或f′（x）=3x2-6ax+3≤0在（2，3）上恒成立，具体解法类似如下例2。

例2.已知a为实数，f（x）=（x2-4）（x-a），若f（x）在（-∞，-2］和［2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围.

【思路】由题意可知（-∞，-2］，［2，+∞）应为函数f（x）的增区间的子集，即为不等式f′（x）≥0解集的子集，也可转化为f′（x）=3x2-2ax-4≥0在（-∞，-2］∪［2，+∞）上恒成立.

解析f（x）=x3-ax2-4x+4a，f′（x）=3x2-2ax-4.

解法一：利用二次函数图像特征

f′（x）=3x2-2ax-4的图像开口向上，且过点（0，-4）的抛物线，

f′（x）=3x2-6ax+3=3（x2-2ax+1），

令g（x）=x2-2ax+1，x∈（2，3）问题转化为g（x）=x2-2ax+1在（2，3）上有变号零点（零点两边的函数值符号相反）。

解法二：利用二次函数图象特征

g（x）=x2-2ax+1的图像为开口向上，且过点（0，1）的抛物线，

若g（x）=x2-2ax+1在（2，3）上有一个变号零点，则只须g（2）· g（3）＜0，得＜a＜①所以a的取值范围为［-2，2］.

解法二：利用子集关系

令f′（x）=0，即3x2-2ax-4=0，由求根公式得

所以a的取值范围是［-2，2］.

解法三：分离变量

f′（x）=3x2-2ax-4≥0恒成立，由3x2-4≥2ax分离变量，

同理，当x≤-2时，得a≥-2，

所以a的取值范围是［-2，2］.

解法三：分离变量

由x2-2ax+1=0得2a=x+在（2，3）上有变号零点，∴y=2a和y=x+在（2，3）上有交点

解法四：数形结合

x2+1=2ax在（2，3）上有变号零点，如下图，分别画出函数y= x2+1，x∈（2，3）和y=2ax的图像。

解法四：数形结合

由解法三知3x2-4≥2ax在（-∞，-2］∪［2，+∞）上恒成立，即y=3x2-4，x∈（-∞，-2］∪［2，+∞）在直线y=2ax上方，∴直线的斜率范围为-4≤2a≤4，得-2≤a≤2.

例3.（2010·新课标全国）设函数f（x）=x（ex-1）-ax2.

（2）若当x≥0时（fx）≥0，求a的取值范围.

f′（x）=ex-1+xex-x=（ex-1）（x+1）.

当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0；当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0.

故f（x）在（-∞，-1］，［0，+∞）上单调递增，在［-1，0］上单调递减.

（2）f（x）=x（ex-1-ax）.由题意只需g（x）=ex-1-ax≥0在x≥0时恒成立即可.

解法一：则g′（x）=ex-a.

若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0.

若a＞1，则当x∈（0，ln a）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，ln a）时g（x）＜0，即f（x）＜0.综合得a的取值范围为（-∞，1］.

解法二：数形结合

由题意，只须ex-1≥ax在x≥0时恒成立，函数h（x）=ex-1在原点O（0，0）处切线方程为y=x，直线y=ax在h（x）=ex-1（x≥0）下方，则a≤1.

思路：构造函数

要ex-1-ax≥0成立，当x=0时，显然成立，此时a∈R，

函数求导后，导函数的符号决定原函数的单调性，对导函数要重点分析它的符号怎么确定的，根据函数特点采取数形结合局部二次求导等方法来进行突破。

练习：

2.已知函数（fx）=a ln x-ax-3（a∈R）.

（1）求函数（fx）的单调区间；

当a＞0时，（fx）的单调递增区间为（0，1］，单调递减区间为［1，+∞）；

当a＜0时，（fx）的单调递增区间为［1，+∞），单调递减区间为（0，1］；

当a=0时，（fx）不是单调函数.

∴g′（x）=x2+（m+4）x-2.

·编辑刘青梅