刍议高中数学批判性思维的培养

徐广

[摘 要] 高中数学由于纯粹的应试教学的思路，常常只能发展学生的常规思维.要突破原有的思维水平，需要借助于批判性思维. 在课程改革的背景下理解批判性思维，可以拓宽教师的教学视野；在数学概念构建与问题解决的过程中借助于批判性思维，可以提升学生的思维品质，从而提高学生的数学素养.

[关键词] 高中数学；批判性思维；课程改革；数学素养

这是一个从课程改革的喧嚣向传统教学回归的时代，这样的回归有助于梳理课程改革中重教学形式改革而忽视了学科本质的不足. 就高中数学教学而言，数学思维是一个无法回避的话题，因为数学原本就是思维的科学，且数学以其简洁（抽象）而区别于其他学科，学生在数学知识建构的过程中，思维可以得到培养. 但这样的回归又使得应试的某些缺点再度出现，海量的习题训练，使得学生在数学学习中难以很好地表现出灵性，不要说举一反三，就连举三反一都很难. 很多时候的一题多解只剩下了单一的解题思路，很多时候有着明显的逻辑错误或者明显的违背常识规律，但学生就是发现不了. 这说明数学教学仍然有必要重新就某些核心问题进行剖析，并在实际教学中对有些措施加以落实. 本文试就高中数学教学中学生批判性思维的培养刍议一些认识.

课程改革背景下的批判性思维理解

课程改革尽管呼声不如十多年那般热烈，但课程改革的很多理念已经成为当下课堂教学的一种自觉行为，课程改革的一些重要概念也成为当前数学教学研讨的常用话语，这说明当前无论是研究教学中的哪个对象，课程改革都是无法回避的背景.

钟启泉教授曾经给批判性思维以这样的定义：对某种事物、现象和主张发现问题所在，同时根据自身的思考逻辑做出主张的思考. 而王家燕等人则在数学教学的背景下对批判性思维以这样的理解：其一，批判性意味着能够对已有的数学表述提出自己的看法与主张，尤其是不盲目附和他人意见；其二，能够严密、全面地利用已有条件，迅速地实现自我反馈；其三，能够进行正确的自我评价.

在课程改革的背景下理解批判性思维，会发现其至少具有两重含义：一是从概念本身来看，批判性思维实际上是一种求异思维，是一种突破常规的思维方式.具体到高中数学学习的过程中，意味着学生不能纯粹地接收教师的教学思路与知识建构以及问题解决的方式，而是要在学的基础上更多地思考其余的可能性，且其中当然地存在着对原有学习对象的“批判”；二是从课程改革本身来看，虽然说课程改革强调的是课程角度的变化，强调的是教学方式的变化，但课程改革还有一个根本的理念，那就是以生为本. 这对于高中数学教学而言，意味着无论是数学知识的构建，还是数学知识的应用（习题与实际问题两重视角下的应用），都需要从学生的实际出发，都需要以培养学生的能力为目标，而由于学生个体之间的差异性，他们对同一个问题的理解方式并不会完全相同，这也为批判性思维的教学提供了学情基础.

这里还有一个基本的问题需要重视，那就是我们说“批判性思维”并不能理解为引导学生对已有的学习过程进行社会意义上的“批判”，在实际教学中要让学生意识到，“批判”是指批示判断的意思，尤其是针对自身的学习过程与解题思路进行反思性的批评与判断，这样才能促进自身思维品质的提高，而批判性思维培养的价值正在于此.

高中数学教学中批判性思维的培养

高中数学由于知识建构过程的多样化，由于问题解决思路的多角度化，因此批判性思维培养的机会非常多，而具体的批判性的思维可以从意识与能力两个角度来进行.

先说批判意识.这在当下的高中数学教学中是非常欠缺的，也是制约批判性思维培养的瓶颈，因此批判性思维的培养应当从意识开始，而其主导权在教师.

举一个例子：在“利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质”这一探究内容的教学中，笔者考虑到其能够充分利用学生已有的单位圆的知识，且能够很好地建构关于正弦函数和余弦函数的性质的理解，于是精心准备了这一内容的教学. 在设计过程中，笔者考虑到单位圆中的三角函数线对三角函数中自变量和函数值之间的直观关系，于是想让学生能够自主地提出单位圆的方法，并且在其中感受数形结合的思想方法.

但在实际教学中笔者发现，学生在这一知识探究的过程中，缺乏一种探究意识，而是机械地接受笔者的讲授. 在笔者意识到这个问题之后，立即调整了教学措施，故意在教学过程中留下了一个BUG：在呈现直角坐标系以及单位圆时，笔者将角的x边从坐标系的正半轴绕原点转动，然后说正弦线得到的是1-0-10-0-…，然后再“强调”这是“正弦函数”的周期性规律……学生听了一会儿之后，立即有了反应，说“老师，是不是有错误？”看学生的语气还不够坚定，笔者装作无辜的样子，且很坚决地说“不可能”，于是学生之间开始了讨论，且讨论的声音越来越大，意见也越来越统一.当他们指出这是将正弦函数和余弦函数的规律性混淆了之后，笔者才“诚恳认错”，并表扬他们听得仔细，更敢于提出不同意见. 然后向他们追问：如果基于单位圆，你有没有更好的关于正弦函数和余弦函数性质的理解方式呢？

在经过了激活学生批判性意识之后，这实际上就开始培养学生的批判性思维能力.

说到批判性思维能力，笔者以为教学中的关键在于引导学生认识到常规知识建构或问题解决中的一些不足，或者是引导学生建立比较意识进而深化批判意识，这样批判性思维能力才有一个很好的生长土壤.

例如在上面的例子中，基于坐标系中的单位圆去理解正弦函数和余弦函数的性质，就有学生提出了这样的观点：正弦函数和余弦函数的性质其实具有相通的地方，那在基于单位圆去建构两个函数的性质的时候，可以重点认识正弦函数，然后再去由正弦函数推导余弦函数的性质，而不应该平均用力. 更令人惊奇的是，这一思路还得到了绝大多数学生的认同，于是课堂上出现了另外一种风景：所有学生都分成小组，在单位圆上研究正弦函数的性质，而经过了十五分钟左右的时间，正弦函数的周期性、奇偶性与单调性等都顺利出现.

这是一种对于原来教学思路的批判，也是学生对自身学习方式的一种反省，其基础在于学生认识到正弦函数与余弦函数之间的关系，在于学生具有了基本的逻辑推理能力. 事实上在本内容的教学中，还有学生向笔者提出：能不能用一幅动态的图，同时呈现坐标系上的单位圆与图象关系？而由于笔者之前并没有做这一工作，于是就在课堂上即时上网搜索，当学生看到了用flash做的两个直角坐标系上单位圆和波形图的对应关系时，他们对正弦、余弦函数的性质的理解又更深入了.

在数学问题解决的过程中，也有丰富地培养学生批判性思维的过程. 比如说直线位置关系的教学中，可以给学生呈现这样的例题：已知两条直线：l1：（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-1；l2：2x-3y=5. 问，当m为何值时，两条直线平行？对于这一问题的求解，学生的基本思路是将两直线方程列成方程组，然后根据直线平行的条件，列出关于系数m的方程，结果求得m的值为-和1. 此时，其中存在的m=1这一结果容易被学生发现错误所在，但是教师可以更进一步，提出这样的一些问题让学生思考：m取值为-和1各会导致什么结果？此类习题中，通常情况下需要什么样的思维才能否定像m=1这样的结果？如果让你命题，你可以设置什么样的“陷阱”？这样的问题指在引导学生对原有的解题思路进行批判性的思考，从而让学生对自己思维中的不全面之处产生强烈的批判性心理，这样才可能高效地拓宽学生的思维宽度，进而提升学生的解题水平.

数学素养下的批判性思维价值探究

批判性思维作为思维能力培养的重要组成部分，其本质上决定了学生的数学素养的高度. 课程改革以来，高中数学教学常常以数学素养来衡量数学教学的层次，笔者以为从思维的角度来看，数学素养的高低可以通过学生的批判性思维能力来观察. 因为传统的数学教学在训练学生的常规思维方面已经做得非常充分，而批判性思维则显得不足.至于对于批判性思维价值的认识，则需要结合当前的评价体系来进行.

诚然，当前的高考制度导致了数学解题更多地强调规范性、缜密性，但实际上学生的思维是否缜密，解题是否规范，也可以通过批判性思维来实现，因为只要研究教学实际就可以发现，常规教学中很多时候学生的数学知识构建与问题解决中出现的不良现象，恰恰是常规思维导致的，定式之后的思维使得学生在理解数学概念，利用数学规律解题的时候，很少能够突破原有的思维水平. 而批判性思维对于突破常规思维而言，具有显而易见的作用，因而在提高学生的数学学习品质方面有着不可替代的作用. 事实上批判性思维是可以让学生的数学学习进入“愤悱”之境的，而进入此境，学生就有可能被“启发”，原有的思维水平就会提升，原来的认知结构就会被重建，从而实现应试能力与数学素养的双重提升.