并联耦合线圈的等效自感的行列式求法

周国全 沈黄晋

（武汉大学物理科学与技术学院，湖北武汉 430072）

并联耦合线圈的等效自感的行列式求法

周国全 沈黄晋

（武汉大学物理科学与技术学院，湖北武汉 430072）

文章以3个相互耦合的并联自感线圈为例，应用法拉第电磁感应定律和齐次线性微分方程的非平庸解的存在性条件，并借助行列式技术，推导出其等效的自感系数，并推广到n个并联耦合线圈的情形.其等效自感系数是由各自的自感系数与互感系数构成的两个分别为n阶与n-1阶矩阵的行列式之比，并讨论了存在反向并联情形的符号规则及若干特例情形的具体结论.

自感；互感；等效自感；电磁感应；耦合线圈；并联；并联耦合线圈

相互耦合的并联与串联线圈的等效自感问题，是电磁学与电工学研究中有关电磁感应与耦合线圈的重要内容之一［1-5］.多个串联耦合线圈的等效自感系数可用磁场等效储能法简单求出，两线圈耦合情形的结论已见诸文献［1］，并可简单地推广到多个耦合线圈的情形［1-4］；在并联耦合情形，文献［3-5］给出了无直流内阻的两个自感线圈并联耦合时的等效自感公式

其中，L1，L2为两线圈的自感系数；M为两线圈的互感系数，分母最后一项前面的减号适合于顺向正耦合，加号适合于逆向负耦合.在多个线圈之间自感与互感交叉并存的情形，我们无法通过公式（1）归纳推得.本文基于电磁感应的基本定理，运用行列式技术，和齐次线性方程组的非平庸解的存在性条件，成功地推导出3个相互耦合的并联线圈的等效自感，即由各自感与互感系数构成的两个分别为3阶与2阶矩阵的行列式之比，并讨论了若干特例情形的具体结论，并指出可推广到n个并联线圈的情形.

1 3个并联耦合线圈的等效自感的行列式求法

首先注意到第i，j两个线圈之间的互感系数满足Neumann关系:Mij=Mji，i，j=1，2，3，出于理论推导与数学表达的简洁、紧凑与对称性的考虑，可将3个线圈的自感系数重新标记为L1= M11，L2=M22，L3=M33；即自感系数亦可理解为一个线圈对自己的互感.在3线圈情形，如图1所示，运用法拉第电磁感应定律，根据并联耦合电路的总感应电动势ε（t）与各支路感应电动势εi（t），（i=1，2，3）、瞬时总电流与瞬时支路电流Ii（t），i=1，2，3的关系，忽略各线圈的直流内阻，考虑自感与互感同时存在的一般情形，并设Le代表3个并联耦合线圈的等效自感系数，我们有如下等式

图1 并联耦合感应线圈示意图

根据式（2～3），方程组（4～6）可改写为如下齐次三元一阶微分方程组

方程组（7）又可改写为如下矩阵形式的齐次三元一阶微分方程

注意方程组（8）中的系数矩阵是一个实对称矩阵，这是因为其中Mij=Mji，Mii=Li，i，j=1，2，3.方程组（8）的平庸解对应于稳恒直流，即各电流导数为零的情形.如果对任意的时变电流（如任意频率的交流电），方程组（8）均有非平庸解（导数不全为零），根据三元齐次线性微分方程组的非平庸解的存在性条件，其系数矩阵的行列式必定为零，即

这一方程表观上是Le的一元三次方程，难以求解.研究发现，实际上它只是Le的一元一次方程.运用行列式的性质，将式（9）左边第2，3行减去第1行，其值不变，即得

再运用行列式的行加法性质，将上式左边按第一行拆分为两项之差，并移项，提取右边行列式第一行的公因子Le，可得

将上式左边第二、三行加上第一行，其行列式之值不变；将上式右边第二、三列减去第一列，其行列式之值不变，并按第一行余子式展开，即得

将式（11）左右两侧行列式分别记为

当det N3≠0时，即得如下公式

这就是3个线圈并联耦合时的等效自感系数.

2 存在反向耦合情形的符号规则

在用基尔霍夫回路定理处理有互感的交流回路时，应遵守同名端规则［1］.当并联线圈反向耦合时，我们面对同样的复杂问题.基于如下两个基本事实:即两个顺向（反向）耦合的并联载流线圈的互感储能为正（负）的，以及无论两线圈是顺向或反向耦合，每个载流感应线圈的自感储能均为正值，可以推断公式（14）与行列式（12～13）中线圈之间的互感项的符号取法，即应落脚于互感项相对于其自感项的符号的比较而定，可在每个自感与互感系数前添加一符号因子εij=±1，当两个顺向（或反向）耦合的并联耦合线圈的互感系数前应乘上符号因子εij=1（或εij=-1）；由此可订立如下符号规则

3 完全不耦合的并联线圈的等效自感系数

当N个线圈并联但完全不耦合时，即Mij= Mji=0，i，j=1，2，3，且i≠j，此时并联线圈的等效自感系数由

即得

这显然与用交流电的复阻抗的并联公式计算去耦（Decoupled）并联感应线圈的等效复阻抗的结果相一致，这证明了本文公式（14）的正确性与有效性.

4 全同对称的并联耦合情形的等效自感系数

所谓全同对称的并联耦合情形，即L1=L2= L3≡L，Mij=Mji=M，（i，j=1，2，3），但L≠M的情形，此时，

5 完全耦合的并联线圈的等效自感的一点讨论

文献［1-6］等均指出或证明两个线圈之间若完全耦合，则其互感系数必为彼此自感系数的比例中项.即此时若3个线圈的自感系数之间不全相等，易证行列式det M3的任意两行对应元素之比相等，因而det M3=0，而det N3≠0，进而导致Le=0；而对于相同线圈之间完全耦合情形，自感系数之间彼此相等，L1=L2=L3，行列式det N3=0.此时公式（14）所给出等效自感系数表观上具有不确定的形式，但从本文关于全同对称的并联耦合情形的等效自感系数出发，可得到相同线圈在顺向完全耦合情形的等效自感系数，即先取Li≡L；Mij= Mji=M，（i，j=1，2，3），且L≠M时的结果（20～21）式，再消除公式（14）的分子分母的行列式的公因子（L-M）2，然后在式（22）消除公因子之后的表达式中，令，可得完全耦合并联线圈的等效自感系数

THE DETERMINANT METHOD TO FIND THE EQUIVALENT SELF-INDUCTANCE OF N COUPLED PARALLEL COILS

Zhou Guoquan Shen Huangjin

（School of Physics and Technology，Wuhan University，Wuhan，Hubei 430072）

Based upon Faraday’s law of electromagnetic induction and the existence condition of non-trivial solution to a homogeneous and linear differential system of equations，the equivalent self-inductance of three coupled parallel coils has been derived by use of some determinant techniques.It can be expressed as the ratio of the determinants of two matrices.Meanwhile，specific conclusions are deduced and discussed in detail about 1，the completely noncoupled case；2，the identical and symmetrical case，and 3，the completely coupled case，which are coincident with the existent results in the

.

self-inductanc；mutual-inductance；equivalent self-inductance；electromagnetic induction；coupling coil；parallel coupling coil

2016-04-25

国家级教学团队基金资助项目（202276003）；武汉大学2016年教学改革项目资助.

周国全，男，副教授，主要从事理论物理与普物教学，及场论与非线性可积方程的研究.zgq@whu.edu.cn

周国全，沈黄晋.并联耦合线圈的等效自感的行列式求法［J］.物理与工程，2016，26（4）:109-111.