一个新的逆向Hilbert型不等式

刘 瑶，席高文（重庆科技学院 数理学院，重庆 401331）

一个新的逆向Hilbert型不等式

刘 瑶，席高文（重庆科技学院 数理学院，重庆 401331）

Hilbert不等式倍受数学家的关注，并得到广泛应用。通过建立权系数不等式，得到一个新的逆向Hilbert型不等式，并证明其常数因子为最佳值，同时还考虑其等价形式。

Hilbert型不等式；权系数；等价式；最佳常数因子

0 引 言

这里，常数因子4为最佳值。

Hilbert型不等式是核为双线型且齐次的以Hilbert不等式为代表的一类不等式，它们在分析学中有重要的应用［1-3］。1991年我国知名数学家徐利治教授首倡了旨在加强Hilbert不等式的权系数方法，杨必成［4-5］对它们作了推广，并在文献［6-7］中运用权系数方法，建立了如下具有混合核的逆向Hilbert型不等式：

这里，常数因子4ln2为最佳值。

王爱珍等［8］引入单参量λ及估算权系数，建立了（3）式的如下最佳推广形式：

本文通过建立权系数不等式，得到一个新的具有混合核的逆向Hilbert型不等式，同时还考虑其等价形式。

1 两个引理

引理1 定义权系数为：

则有

故（4）式成立。证毕。

故（7）式成立。证毕。

2 主要结果

这里，常数因子1为最佳值。

证明 由带权的反向的HÖ lder不等式及（5）式，有

再由（4）式，其中q＜0，有（6）式。

以下证明（8）式的常数因子1为最佳值。

若（8）式的常数因子1不是最佳值，则存在k＞1，使得（8）式成为

对任意的ε∈（0， p），在（10）式中，取an=n-ε/p，bn=n-ε/q，n∈N，代入（10）式，则有

将上述an，bn代入（8）式的左边并运用（7）式，则有

从而由（11）式和（12）式，有

取极限，有 与前面的假设矛盾，故（6）式的常数因子1为最佳值。证毕。

3 等价形式

这里，（13）式和（14）式的常数因子1都为最佳值，且（13）式和（14）式均与（8）式等价。

当I=∞，（13）式成立；设0＜I＜∞，则由（8）式有

在（15）式的两边同除I1/q，然后p次方，有

故（13）式成立。

反之，若（13）式成立，配方，由反向的HÖlder不等式，有

由（13）式，则有

故（13）式与（8）式是等价的。若（13）式的常数因子不是最佳值，则由（17）式，易得（8）式的常数因子亦不是最佳值，存在矛盾。

则由（9）式，其中q＜0，有

反之，若（14）式成立，配方，由反向的HÖlder不等式，有

再由（14）式，其中q＜0，有（8）式。故（14）式与（8）式是等价的。同理可证明（14）式的常数因子为最佳值。

评注 显然，逆向Hilbert型不等式：

它是一个新的具有混合核的不等式，且常数因子1为最佳值。此不等式也是对（4）式的一个推广，（13）式和（1 4）式是它的等价形式。

［1］HARDY G H，LITTLEWOOD J E，POLYA G.Inequalities［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1934.

［2］MINTRINOVIC D S，PECARIC J E，FINK A M.Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives［M］.Boston:Kluwer Academic Publishers，1991:181-215.

［3］匡继昌.常用不等式［M］.济南:山东科学技术出版社，2004.

［4］YANG B C.On an Extended of Hardy-Hilbert’s Inequality［J］.Chinese Annals of Mathmatics，23A（2）:247-254.

［5］YANG B C.On an Extended Hardy-Hilbert’s Inequality and Some Reversed Form［J］.International Mathematical Forum，39（1）: 1905-1912.

［6］杨必成.一个新的Hilbert型不等式［J］.上海大学学报（自然科学版），2007，13（3）:274-278.

［7］YANG B C，RASSIAS T M.On the Way of Weight Coefficient and Research for the Hilbert-type Inequalities［J］.Mathematical Inequalities and Applications，2003，6（4）:625-658.

［8］王爱珍，杨必成.一个逆向Hilbert型不等式的最佳推广［J］.武汉大学学报（理学版），2008，54（3）:275-278.

［责任编辑：王玮明］

A New Reverse Hilbert Inequality

LIU Yao， XI Gaowen （College of Mathematics and Physics， Chongqing University of Science & Technology， Chongqing， 401331， China）

Hilbert inequality has drawn a lot of attention from mathematicians and is widely used.Weight coefficient inequality is set up， which leads to a new reverse Hilbert inequality， and also proves its constant factor is the optimal values.Meanwhile， its equivalent form is considered.

Hilbert inequality； Weight coefficient； Equivalent form； Optimal constant factor

10.13669/j.cnki.33-1276/z.2016.039

O178

A

1671-4326（2016）03-0068-05

2016-01-25

刘 瑶（1992—），女，重庆梁平人，重庆科技学院数理学院本科生；

席高文（1963—），男，河南灵宝人，重庆科技学院数理学院教授.