三维延拓Kantorovich法的迭代不收敛现象

林永静（温州职业技术学院 建筑工程系，浙江 温州 325035）

三维延拓Kantorovich法的迭代不收敛现象

林永静（温州职业技术学院 建筑工程系，浙江 温州 325035）

将二维延拓Kantorovich法推广到三维延拓Kantorovich法时，通过大量数值算例发现了一个新现象，即如果采用简单形式的三维延拓Kantorovich法，那么会遇到迭代不收敛的数值困难。对此数值现象进行定性分析，可得出结论：三维延拓Kantorovich法并不是二维延拓Kantorovich法的简单推广，二者有着本质的不同。

三维延拓Kantorovich法；简单形式；迭代不收敛

0 引 言

在已有研究［1-4］的数值算例中，二维延拓Kantorovich法表现出显著的计算优越性，既有很高的计算精度，又有很高的计算效率。一元函数乘积和的函数逼近形式带来很高的逼近精度，往往2～3项就有足够的精度。对两个维度“分而治之”的迭代策略大大减少了计算量，带来很高的计算效率。

考虑到延拓Kantorovich法具有高精度、高效率的特点，尤其是“分而治之”的迭代策略在三维问题中可能有高效率的表现，因而将二维延拓Kantorovich法推广到三维延拓Kantorovich法。原本预计该项新研究属于推广性研究，后来发现这低估了研究的意义和难度。通过大量数值算例发现了一个新现象，即如果采用简单形式的三维延拓Kantorovich法，会遇到迭代不收敛的数值困难。

1 模型方程

以三维立方体域上的Poisson方程为例，三维Poisson方程对应的能量泛函为：

其中Ω为规则区域［-a， a］×［-b， b］×［-c， c］。

仿照二维延拓Kantorovich法，取试探函数构造形式为：

这种简单的函数构造形式在三个维度上是对称的。

2 算法实施

2.1 积分微分方程组

将（2）式代入（1）式，通过取变分，可得到一套耦合的积分微分方程组为：

边界条件为：

其中的各项系数为：

2.2 迭代步骤

因为在（2）式的函数逼近式中，三个维度轮换对称，所以算法的迭代过程将按三个维度轮换迭代求解。一个循环过程由（a）→（b）→（c）共三步组成（不失一般性地，假定在第一步（a）中已知｛X｝、｛Y｝而去求｛Z｝）：

（a）固定｛X｝、｛Y｝，则积分微分方程组简化为常微分方程组（3c）、（4c），求解常微分方程组（3c）、（4c）得｛Z｝；

（b）固定｛Y｝、｛Z｝，则积分微分方程组简化为常微分方程组（3a）、（4a），求解常微分方程组（3a）、（4a）得｛X｝；

（c）固定｛X｝、｛Z｝，则积分微分方程组简化为常微分方程组（3b）、（4b），求解常微分方程组（3b）、（4b）得｛Y｝。

至此已完成了一个循环过程，检验数值解的误差是否已小于误差限，若是则结束迭代，否则返回（a）进入新一轮的循环。

3 数值算例

数值算例中的常微分方程组采用常微分方程求解器COLSYS［5-6］来求解。

算例 三维Poisson方程。

设定边界条件为：u=0， on x=±a， y=±b， z=±c，给定数据为：a=b=c=1，f=2，如图1所示。取初始试探函数为：

计算结果由图2～图3给出。需要说明的是，轮数与次数不同，轮数是指大的循环过程的个数，而次数是指小的迭代步骤的个数。对于简单形式，每一轮循环里包含三次迭代。

3.1 取两项试探函数

（1）前20轮循环的中心点位移。由图2可知，在前10轮循环内，迭代比较快地趋向于一个数值。但需要注意的是，迭代过程并不收敛，由局部放大图可看出，后1 0轮循环的变化比较均匀，并不趋于收敛。

图1 三维Poisson方程

（2）前1 000轮循环的后10轮循环的中心点位移。由图3可知，在后10轮循环内，迭代变化均匀。均匀的迭代变化趋势显示，这个迭代过程并不收敛。

3.2 取三项试探函数

限于篇幅，这里不再列出具体数据。取三项试探函数与取两项试探函数相比，其迭代变化情况相似，后

10 轮循环的迭代变化也均匀，迭代过程也并不收敛。

以上数值试验表明，简单形式的三维延拓Kantorovich法，当取多项时将遇到迭代不收敛的数值困难。尽管开始阶段能较快地（在10轮循环内）趋于某个固定值，但迭代过程仍不收敛，后面的迭代过程都在均匀地变化，没有收敛的趋势。

图2 前20轮循环的中心点位移及其后10轮的局部放大

4 定性分析

4.1 与二维延拓Kantorovich法的比较

与二维延拓Kantorovich法相比，三维延拓Kantorovich法的迭代收敛更困难，其简单形式甚至迭代不收敛。

（2）迭代效率。二维延拓Kantorovich法的迭代收敛非常迅速，一般只需2～3次迭代。简单形式的三维延拓Kantorovich法遇到了迭代不收敛的数值困难。

4.2 迭代不收敛的原因

在三维延拓Kantorovich法中，迭代不收敛的原因，可从最小计算代价的角度给出一个定性讨论。

对于简单形式的三维延拓Kantorovich法，多项试探函数的逼近精度较高，相应地需要较高的计算代价，而每个维度的计算量却都很小，从而导致这种高逼近精度无法通过单个维度的计算量的累加达到。可见，迭代不收敛似乎与计算代价过少有关。

从这个角度看，三维延拓Kantorovich法要想实现迭代收敛，则不能过度地节省计算量，需要考虑增加更多的计算量。文献［7-8］证实了这个观点：采用张量积的函数构造形式，其中一个方向上有n2个函数变量，比起简单形式在每个方向上只有n个函数变量，函数变量的个数大大增加，相应的计算量大大增加，结果实现了迭代收敛。张量积形式的中心点位移大约经过3轮循环趋于收敛，其迭代计算结果见表1。

表1 张量积形式的中心点位移的迭代计算结果

5 结束语

根据以上数值算例和定性分析，可得出关于三维延拓Kantorovich法的以下结论：

（1）采用简单形式的三维延拓Kantorovich法会遇到数值困难。当取多项试探函数时，函数值迭代不收敛，泛函值的单调下降也极其缓慢；当循环轮数非常高时，这种均匀变化的不收敛趋势更加明显。

（2）数值困难显示，三维延拓Kantorovich法与二维延拓Kantorovich法有着本质的不同。

［1］KANTOROVICH L V，KRYLOV V L.Approximate Methods of Higher Analysis［M］.New York:Interscience，1958.

［2］KERR D.An Extension of the Kantorovich Method［J］.Quarterly of Applied Mathematics，1968（26）:219-229.

［3］KERR A D，ALEXANDER H.An Application of the Extended Kantorovich Method to the Stress Analysis of a Clamped Rectangular Plate［J］.Acta Mechanica，1968（2/3）:180-196.

［4］WEBBER J P H.On the Extension of the Kantorovich Method［J］.The Aeronautical Journal，1970，74:146-149.

［5］ASCHER U，CHRISTIANSEN J，RUSSELL R D.Collocation Software for Boundary-Value ODEs［J］.ACM Transactions on Mathematical Software，1981（2）:209-222.

［6］袁驷.介绍一个常微分方程边值问题求解通用程序—COLSYS［J］.计算结构力学及其应用，1990（2）:104-105.

［7］林永静，袁驷.张量积形式的三维延拓Kantorovich法［J］.工程力学，2012（5）:8-12.

［8］林永静.张量积形式的三维延拓Kantorovich法求解弹性动力学问题［J］.现代工业经济和信息化，2016（6）:110-112.

［责任编辑：武云鹏］

Iteration Non-Convergence Phenomenon of Three-Dimensional Extended Kantorovich Method

LIN Yongjing （Architecture Engineering Department， Wenzhou Vocational & Technical College， Wenzhou， 325035， China）

When two-dimensional extended Kantorovich method is introduced to three-dimensional extended Kantorovich method， a large number of numerical examples reveals a new phenomenon： if the simple three-dimensional extended Kantorovich method is used， the numerical difficulty of iteration non-convergence will occur.Qualitative analysis on this numerical phenomenon indicates that three-dimensional extended Kantorovich method is not a simple introduction of two-dimensional extended Kantorovich method， and they are different in nature.

Three-dimensional extended Kantorovich method； Simple form； Iteration non-convergence

10.13669/j.cnki.33-1276/z.2016.060

TU318；O343.2

A

1671-4326（2016）03-0047-04

2016-06-08

浙江省教育厅一般科研项目（Y201225911）；温州市科技计划项目（S20110002）

林永静（1975—），男，浙江乐清人，温州职业技术学院建筑工程系讲师，博士.