把握几何直观表现形式，探索高考试题本源

高立东 秦德生

【摘要】 几何直观在数学研究中起着联络、理解，甚至提供方法的作用，能引出数学的发明或发现，几何直观已经成为数学教育中的一个热点问题. 本文探讨几何直观的内涵，结合高考数学试题阐释几何直观的实物直观演示、图形直观操作和图形直观表示等三种表现形式，直观能力具有创造性和工具性，有助于培养学生形成科学的数学思维方式.

【关键词】 几何直观；高考试题；表现形式；教育价值

几何直观在数学中无处不在，不仅是一切几何学的基础，而且贯穿在整个数学学习过程中，而数学家依赖直观推动对数学的思考，加强对数学的理解. 因此，几何直观的研究是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，在内容、意义和方法上远远超出对几何图形本身的研究范畴，逐渐成为数学教育的热点问题.

1. 几何直观的内涵

数学家克莱因认为：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握”；徐利治先生认为，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知. 从数学、哲学、心理学等视角可以看出直观是一种感知，是形象思维和抽象思维的中介，是客观世界不同事物的居间联系环节. 2011年版课标指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题. 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果. ”换句话说，几何直观就是借助见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力.

2. 几何直观的表现形式

孔凡哲、史宁中认为：在中小学数学中几何直观具体表现为四种形式，即实物直观、简约符号直观、图形直观和替代物直观.秦德生认为：几何直观具有创造性和工具性，其目的是利用图形描述和分析数学问题. 因此，從数学功能看，几何直观可以分为实物直观演示、图形直观操作和图形直观表示. 形式1：实物直观，借助与研究对象有一定关联的现实世界中的实际存在物，进行简捷、形象的思考和判断. 实物直观演示既可以是实际存在物，如球体、柱体、锥体、长方形、平行四边形、梯形、圆、椭圆等；也可以借助计算机、七巧板、木棒等辅助的实物直观演示，引导学生通过观察、操作等活动，感受和探索图形的特征，积累图形与几何的活动经验，建立初步的空间观念.

形式2：图形直观操作，对实物的动手操作或图形运动操作进行几何直观探索. 直观操作分为两类：一类是实物的动手操作，包括折纸、展开、折叠、切截、拼摆、密铺等操作活动，能帮学生积累丰富的几何事实，获得对简单几何体和平面图形的直观经验.

另一类是图形的运动操作（如平移、旋转、反射等运动），如“点动成线”“线动成面”“面动成体”，半圆以直径为轴旋转可以形成球体，矩形以一边为轴旋转可以成为圆柱体，直角三角形以直角边为轴旋转可以成为锥体等. 教师应该引导学生经历观察、操作等具体的感知经历过程，培养他们借助图形思考的能力，例如（2013年高考湖北卷理）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有

A. V1 < V2< V4 < V3

B. V1 < V3 < V2 < V4

C. V2 < V1 < V3 < V4

D. V2 < V3 < V1 < V4

形式3：图形直观表示，借助明确的几何图形来描述和分析数学问题.

图形直观表示是一种表征方式，是一种工具符号，主要分为两类：一类是“形形表示”，如借助三视图、网格、直角坐标系等图形工具探索、描述和分析几何问题，例如（2013年高考辽宁理科）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______.

另一类“数形表示”，利用几何图形直观，探索、描述和分析几何以外的其他数学领域的问题，如利用数轴研究数系、方程的根，利用直观图分析数据，构造图形研究代数式、函数，利用单位圆研究三角函数等，例如（2013年高考湖南卷）函数f（x） = 2ln x的图像与函数g（x） = x2 - 4x + 5的图像的交点个数为 （ ）.

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

本题画出图像即可问题解决.

3. 几何直观培养学生创造力的教育功能

几何通常被喻为“心智的磨刀石”，在数学研究中起着联络、理解，甚至提供方法的作用. 从创造力来看，直观能引出数学的发明，能决定理论的形式和研究方向；数学家总是力求把他们研究的问题变成几何直观问题，使他们成为数学发现的向导. 在大多数情况下，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的.

因此，教师在数学教学中要挖掘教材资源，利用信息技术工具，展现丰富多彩的图形世界，设计“借助几何直观进行思考”的典型案例；要注意让学生经历动手操作、图形制作的过程，培养学生用几何直观描述、分析问题的意识，培养学生的画图能力、文字语言，符号语言和图形语言相互转化的能力，为学生借助几何直观培养创造性思维提供有力保障.

（本文系东北师范大学教改项目：中学数学教师课堂教学表征能力及其培养路径的研究成果之一）