从一次作业中的发现谈数学学习的负迁移

卢国兴

摘 要：学习新内容都是在原有学习的基础上进行，而新知识的学习都不能摆脱原有认知结构的影响。因此，学生先期学习的知识结构及习惯形成的思维有时会让他们失去判断事物的能力，从而产生负迁移。应该整合教学资源，提升教学效率，尽可能避免负迁移，促进正迁移。

关键词：数学学习；思维定势；负迁移

一、从一次作业引发的思考

在最近一次“二项式定理”的作业中，有这样一个题目：

已知（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，求a0+a1+a3+a5= .本以为这是很简单的一个小问题，只要会用赋值法就可以解决：令x=1，则243=a0+a1+a2+a3+a4+a5（1）；再令x=-1，则-1=a0-a1+a2-a3+a4-a5（2）由（1）+（2），a1+a3+a5=122；又令x=0，得到a0=1，所以a0+a1+a3+a5=123.

从学生作业的反馈来看，我所任教的两个班级人数为100人，错误的有32人，其中答案为“122”的学生有22人，原因在于没看到还有个a0，都是直接求a1+a3+a5=122。

针对这个问题，我进行了思考，之前我们练习的都是求“a1+a3+a5”或“a0+a2+a3+a4”这样类型的问题。现在在作业中又看到这种题型，学生凭自己的感觉认知题意，存在思维定势，从而发生负迁移。所谓负迁移，是指一种学习对另一种学习产生消极的影响或阻碍另一种学习的顺利进行，学习新知识或解决新问题时受到已有知识的负面影响。

在数学学习的过程中，随着教学的深入，学生势必會更新已有的认知经验，进入新的认知层次。但学生在先期学习中形成的模式、结构以及产生的一些习惯在学习新知识时，会产生负迁移。而负迁移会危害教学，大大降低教学效果。作为教师，应通过自身的教学实践与反思，尽可能地避免负迁移，促进正迁移。

二、形成负迁移的主要成因

1.学生对数学知识理解得不全面

由于数学学习的阶段性，随着研究范围逐渐扩大，不少概念、公式等知识已经发生变化，如果学生没有真正理解和掌握的新知识，就会出现概念模糊，对公式和定理一知半解，这样旧知识对新知识的干扰和抑制作用就会带来负迁移。

2.学生分析问题的能力差

学生分析问题的能力是指对事物间关系的觉察能力，它影响着数学学习迁移。

正解：由a>13-a>0a2>（3-a）×7-3解得2

3.学生的思维定势带来的影响

学生生活在自然环境中，从大量的数学现象中获得不少有关数学的感性认识，形成了一定的生活观念和经验，容易忽视对题目的分析，从而导致结果的错误。

例2：已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。

错解：设D的坐标为（x，y），则有x-2=-1-3，y-1=4-2，即x=-2，y=3。故所求D的坐标为（-2，3）。错因：思维定势。认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序。其实题目根本就没有指出四边形ABCD。因此，还需要分类讨论。

正解：设D的坐标为（x，y）当四边形为平行四边形ABCD时，有x-2=-1-3，y-1=4-2，即x=-2，y=3。解得D的坐标为（-2，3）；当四边形为平行四边形ADBC时，有x-2=3-（-1），y-1=2-4，即x= 6，y=-1。解得D的坐标为（6，-1）；当四边形为平行四边形ABDC时，有x-3=-1-2，y-2=4-1，即x=0，y=5。解得D的坐标为（0，5）。故第四个顶点D的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。

三、克服负迁移促进正迁移的主要对策

负迁移的产生主要是由数学系统中学生、教师双方引起的。其中学生的认知结构、学习习惯和思维能力是产生负迁移的内因。教师的教学方法、教学水平等则是产生负迁移的外因。

1.重视构建有效的认知结构，克服知识上的负迁移

数学的认知结构不仅是学生进行数学学习的基础，更是学生解决问题和树立数学思维的基础。而良好的认知结构应该具有适当的、可利用的特点。为了使学生能“看清”题目，教师需要：

（1）注重概念辨析对比

学生在学习概念时，往往不容易感知和理解概念之间的区别与联系，以致经常造成负迁移。所以，教师应该循序渐进地对相似和易混淆的基本概念、基本原理等进行辨析和对比，讲清内涵和外延。只有学生真正理解了，才能有效预防和克服知识的负迁移。

例3：高三复习课“离散型随机变量的均值与方差”

某超市为了响应环保要求，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠。假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人，设这2人中享受折扣优惠的人数为ζ，求ζ的分布列。

这时我乘胜追击，问：“它不服从二项分布，那么它到底服从什么分布？”

学生3：“超几何分布。”

师：“刚才学生1把它看作服从二项分布是不对的，但在怎样的条件下，我们可以近似看作服从二项分布呢？”

学生4：“可不可以按比例增加总人数，这样的话抽出一个，对概率就近似看作不影响了。”

师：“对！请同学们总结二项分布和超几何分布之间的关系。”

学生一起答道：“样本个数越大，超几何分布和二项分布对应的概率值差别就越小，当样本个数N很大时，超几何分布近似于二项分布。”

通过刚才的教学，学生能更好地理解二项分布和超几何分布，对今后随机变量的分布会有更准确的判断。

（2）注重公式、法则结构分析

不少数学公式、法则之间，在结构上存在较强的相似性，从而导致学生发生负迁移而致错。教师要重点讲清楚实质，揭示内在规律，而不能让学生从形式上死记硬背。教师应重点分析其条件和结论之间的联系，看适当放縮条件会得到什么结论，也可以探讨其逆命题的真假，使学生明确条件对结论产生的影响，有助于他们对法则实质的理解。

（3）注重新旧知识之间的联系

如果学生能对新旧知识做出概括，找出他们之间的联系，就能实现学习之间的正迁移。教师在数学教学中应考虑到学生已有的知识，充分利用已有知识的特点学习新知识。在教学过程中，教师也可以给学生一个开放的交流平台，拓展学生的思维空间，进一步把握新旧知识之间的联系与区别。

2.重视加强实际操作能力，克服技能上的负迁移

著名心理学家皮亚杰说：“学生的思维从动作开始，切断动作与思维的联系，思维就得不到发展。”平时教师讲解较多，导致学生实际解题能力弱。教师在教学中要有目的地加强学生的技能练习，注重练习的科学性与有效性。在横向方面，注意引导学生以整体思想研究教材，全面处理所教内容，帮助学生把头脑里的知识形成“由点构成线、由线构成面”的融会贯通的逻辑结构；在纵向方面，要帮助学生把握知识之间、方法技巧之间的上下从属关系。在学生解决问题的过程中，要给学生足够的思考时间和空间，培养学生独立思考的能力和创新意识。

3.重视优化学生思维品质，消除思维定势造成的负迁移

优秀的思维品质包括思维的严谨性、独创性等。学生具有优秀的思维品质，对数学的学习才更具有探索性和思考性，对所学的知识才能达到真正的理解和掌握。教学中师生双方都应充分展现思维过程。师生、生生之间的思维路线沟通，形成教与学的良性发展，真正优化品质，发展思维。

课堂教学中，从一个基本问题出发，进行渐进式的拓展训练，让学生在变中求进，进中求通，虽然上课的进度慢了点，但这样的过程能拓展学生的认知空间，培养学生思维的发散性和灵活性，能较好地防止负迁移。

在整个数学学习过程中，学生应当获得尽可能多的经验。但是，教师应当把自己放在学生的位置，利用情感的共鸣、思维的共振达到学习的共进，最大限度地促使学生知识、技能、思维的正

迁移。

参考文献：

[1]章建跃.数学学习论与学习指导[M].北京：人民教育出版社，2001.

[2]俞涛.高中数学学习的迁移方法[J].教学与教育，2012.