论如何用等价无穷小求和差的极限

杨显中 王学荣



论如何用等价无穷小求和差的极限

杨显中 王学荣

（四川化工职业技术学院，四川泸州 646005）

通过实例分析，论述了求和差的极限时为什么有些能用等价无穷小替换，而有些不能用．进一步用麦克劳林展式证明了在和差时如何使用等价无穷小求极限．

无穷小；等价；麦克劳林展式；高阶展式

求极限是较难的一个问题，不同类型的极限需要不同的方法．而利用等价无穷小求极限是一种较为简单、方便的方法，它可以起到化难为易的作用．但如何正确使用等价无穷小求极限，却难住了不少人．

1 乘除时如何使用等价无穷小

一般的教科书上都有这样的结论：

定理[1]1：、、、是同一过程下的无穷小，，，且

lim/=或，则lim/=lim/=或．

推论[1]1：设、、、是同一过程下的无穷小，，，且lim·()/=或，则lim·()/=lim·()/=或．

推论[1]2：设、、、是同一过程下的无穷小，，，且lim·()=或，则lim·()=lim·()=或

以上定理、推论说明：在乘除的情况下，利用等价无穷小可以替换所求函数中的每部分或其中的一部分，但没有指出在和差时能否替换，又如何替换？而恰好在和差时，不少人是乱用的，有时做出的答案是正确，而有时是错的，这是为什么呢？

解：易知，在0时，有2x12，ln(13)3，

解：易知，在0时，有sin，所以，原式=()/3=0，而本题的正确答案是6-1．

解：易知，在0时，有sin，tan，所以，原式=()/3=0．而本题的正确答案是2-1．

为什么会出现以上的情况呢？事实上，在和差时也可以使用等价无穷小替换，只不过不是简单的替换，它需要满足一定的条件．下面给出：

2 和差时如何使用等价无穷小[2]

定理2：设、是同一过程下的无穷小，的麦克劳林展式为=(x)和=(x)，其中>，(x)、(x)分别表示比x、x高阶的无穷小，即后者是比前者更高阶的麦克劳林展式，同样的麦克劳林的的展式为(x)和=(x)．且（1）=，但≠；（2）limx/()=；（3）lim()/()=或，则有，lim()/()=lim()/()

证明：lim()/()=lim(((x))((x)))/()

=lim()/()+lim((x)(x))

=lim()/()+lim(((x)/x-o'(x)/x))·limx/()

=lim()/()+(00)·=lim()/()．

同理可证：lim(+)/()=lim()/()．

同理，和差在分母时也成立（略）．

说明：（1）由定理条件不难看出，、、、；

（2）在和差使用等价无穷小替换时，如果替换后出现±=，此时多半是因为limx/()=或不存在，因此，不能直接替换，但可根据麦克劳林展式用他们的更高阶等价无穷小和来替换，但，要用同样阶数的等价无穷小和来替换，否则，答案不一定正确．

由此定理，不难回答为什么例1的做法正确．因替换后2≠0，且limx/()=/ln(13)=1/3，因此，满足定理2的条件；例2、3之所以是错的，是因为替换后=0，且=/()=/3=，即不满足定理2的条件（1）（2）．

3 实例分析

所以本题不能用sin，tan，也不能用tan，sin3!-13（虽然3!-13≠0，但不是同样阶数的麦克劳林展式，前者是一阶，后者是三阶，不满足定理2的条件，如果这样替换，做出的答案是6-1，显然是错的．）

但，根据麦克劳林展式，知sin3!-13，tan(2/3!)3，且=x/()=3/3=1，所以，满足定理2，于是原式=(((2/3!)3)(3!-13))/3=2-13/3=2-1，这和用其它方法做出正确答案一致．

例6 求(sinln(1))/2．

所以本题不能用sin，ln(1+)．

也不能用sin3!-13，ln(1+)（虽然3!-13≠0，但不是同样阶数的麦克劳林展式，前者是三阶，后者是一阶，不满足定理2的条件，这样替换做出的答案是0，显然是错的．）

同样不能用sin3!-13，ln=2-12+(2)（虽然3!-13-(2-12)≠0，但不是同样阶数的麦克劳林展式，前者是三阶，后者是二阶，不满足定理2的条件，这样替换做出的答案是0．但，根据麦克劳林展式知，sin3!-13，ln2-12+3-13，且=x/()=3/2=0，所以，满足定理2，于是有

4 lim(1/1)类型

定理3：设、是同一过程下的无穷小，的麦克劳林展式为=(x)和=(x)，其中>，(x)、(x)分别表示比x、x高阶的无穷小，即后者是比前者更高阶的麦克劳林展式，同样的麦克劳林展式为(x)和=(x)．且

（1）-1-1=，但-1-1≠；（2）limx/·=；（3）lim(-1-1)=或，则有，lim(-1-1)=lim(-1-1)

证明：lim(-1-1)=lim()/lim()/(由推论1和，)

=lim(((x))((x))/

=lim()/lim(((x)(x))/

=lim()/lim(((x)(x))/xlimx/(由推论1和，)

=lim()/(00)

=lim-1-1．

说明：和定理2一样，用此定理时，与需用相同阶数的麦克劳林展式和来替换，否则，答案不一定正确．

解：因-1-1=0，且(x/)=/sin·(e-1)=．

所以，此时不能用：sin，和e-1，即不满足定理3的条件（1）（2）

也不能用sin3!-13，和e-1，虽然(3!-13)-1-1≠0，但，他们不是同阶数的麦克劳林展式，前者是三阶，后者是一阶，不满足定理3的条件，如果这样替换，做出的答案是0，但本题正确答案是2-1，事实上，由麦克劳林展式，知，sin(3!)-13和e-1+(2!)-12+(3!)-13

因(3!-13)-1(+2!-12+3!-13)-1≠0，且x/=3/sin(e-1)=0，满足定理3的条件，于是

解：因-1-1=0，且(x/)=/·(e-1)=，即不满足定理3的条件（1）（2）．

所以，此时不能用e-1，．

但由麦克劳林展式知，e-1+2!-12，0·2，且(x/)=2/·(e-1)=1，即满足定理3的条件，于是

这和用其它方法做出正确答案一致．

解：因-1-1=0，且(x/)=/sin·tan=/·=（定理1），

即不满足定理3的条件（1）（2）．因此，不能用sin和tan

由麦克劳林展式知，sin3!-13，tan(2/3!)3．

这和用其它方法做出正确答案一致．

综上所述，使用等价无穷小求和差时的极限，只要替换后其和差不为零，并满足一定的条件，就可以使用等价无穷小．一旦使用等价无穷小后，其和差为零，可以用麦克劳林展式用其更高阶的等价无穷小来替换，但这样做较繁琐，稍不注意就容易用错．因此，在和差时一般不主张用这种方法．事实上处于和差时，有时用其它方法更为简单，如

例4、6直接用罗比达法则就很容易做．

[1] 盛祥跃.高等数学：上[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2] 李尚志.数学实验[M].北京：高等教育出版社，1999.

[3] 候风波.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2005.

（责任编辑：涂正文）

On How to Get the Limits of Sum and Difference by Equivalent Infinitesimal

YANG Xianzhong WANG Xuerong

By case analyses, the paper explains why some sums and differences can be replaced by equivalent infinitesimal while others cannot. It further proves how to use equivalent infinitesimal to get the limits of addition and subtraction in the frame work of Maclaurin expansion.

infinitesimal; equivalence ; Maclaurin expansion; high order expansion

O174

A

1009-8135（2016）03-0009-04

2016-02-19

杨显中（1963-），男，重庆长寿人，四川化工职业技术学院副教授，主要研究概率与数理统计．