优化解题过程 提高复习质量

方金宝

(江苏省溧水高级中学，211200)



○高考复习研究○

优化解题过程提高复习质量

方金宝

(江苏省溧水高级中学，211200)

高三的复习教学,一般以解题教学为主,因此提高学生的解题能力显得尤为重要．但目前的高三数学复习课堂中,教师“一言堂”,学生被动接受的现象仍然普遍存在．时间一长,这样的“大容量”和“快节奏”教学很可能是低效的.高三数学复习的主要任务是夯实基础，帮助学生构建功能良好的认知结构，为解决综合问题打下坚实的基础.本文笔者结合自己的教学实践,提出一些优化高三数学解题教学的策略,欢迎指正．

一、挖掘教材，变通利用,培养学生思维的发散性

高考数学《普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》指出:命题注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想方法,考查考生对数学本质的理解水平．从2015年高考试题来看,对“双基”和“本质”的考查与教材紧密联系,有部分小题源于教材、高于教材、考查双基,其中一些综合题是由教材中的例题和习题经过组合、加工、延伸、变式而成．

求解上述问题,一般的思路是先判断双曲线的焦点所在的坐标轴,然后设双曲线的标准方程,最后利用已知条件确定方程中的参数值；或先设其方程,后代入点的坐标求参数的值．

反思本题考查的内容属于基础知识又源于教材．解题思路有多种选择,但有优有劣,其中解法2是最优解法,它反映了双曲线的本质特征．这启示我们,日常教学和复习教学都要重视活用教材,并且注重对知识和方法的本质深刻理解,在比较中优化解题方法,形成基本活动经验．

二、重视例习题的典型性，发挥知识拓展功能

教材上的例题、习题都是有关专家经过深思熟虑,精心挑选出来的,具有较好的典型性和示范性.不少教师在讲解例题时,往往一股脑儿把自己的解题方法灌输给学生,学生缺乏思考,只是单纯地接受,逐渐养成“你讲我听”的接受式学习,没有得到一定的思维训练,遇到类似的问题有时勉强可以应付,但条件稍微有所变化,就难以独立解决问题.教学时要引导学生发现题目潜在的知识,适时将例题、习题进行拓展延伸.

1.从特殊到一般,培养学生的归纳应用能力

例2等差数列{an}的首项是a,公差为d;等差数列{bn}的首项是b,公差为e.如果cn=an+bn(n≥1),且c1=4,c2=8,求数列{cn}的通项公式.

这是苏教版必修5第39页练习3,练习的目的是熟悉等差数列的通项公式.我们不难求出cn=4n.通过此题,我们不仅要求学生会解此题,还可以引导学生发现如下结论：

两个等差数列的和数列仍然是等差数列,即数列{an}和数列{bn}均是等差数列,则数列{an+bn}也是等差数列.

试题1(2014年高考安徽卷理科第12题)数列{an}是等差数列,若a1+1,a2+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=______.

分析对试题1的一般解题思路是设出等差数列的公差d,将条件化归为公差d的方程,求出公差d,进而再求出公比q.但是如果我们观察到数列{an}是等差数列,数列{1,3,5}也是等差数列,那么利用上述结论,便知:a1+1,a2+3,a5+5既构成公比为q的等比数列,也构成等差数列,即为常数列,故q=1.

2.一题多变,培养学生思维的变通性

例3若x≠0,则ex>1+x.

这是苏教版数学选修1-1和选修2-1中的一道习题.练习的目的是构造函数f(x)=ex-x-1(x≠0),利用导数判断函数的单调性,证明f(x)>f(0).

教师在讲解此题后,可以进一步探究此题的直接应用和变式应用,发挥习题的应用功能.

解(1)f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递减(过程略).

易知当x=0时,例3中不等号变为等号,得到如下两个结论.

结论1若x∈R,则ex≥1+x,等号当且仅当x=0时成立.

结论2若x>-1,则ln(x+1)≤x,等号当且仅当x=0时成立.

三、注意解题的方向与视角,拓宽解题思路

经过一轮的复习,学生头脑中已储存了许多解题方法和规律,但是我们发现学生一轮复习能够解决的问题在二轮复习时却解决不了.典型的问题是:看到问题不知道从哪个方向入手和方法的乱用等，这些问题的背后是学生思路与方法的混乱.因此我们要从学生解决问题的过程与方法中发现问题,及时梳理,帮助学生确定解题的方向和视角.

1. 注意方法的多解与选择

解决问题的方法尽量不要单一,要从多个方面进行讲解,尽可能地给出多种不同的解法,学生才能在面对变化的题目时有多种选择的方法.这样，通过对一个问题的研究,可把相关的知识点及思想方法再次回顾与深化.一题多解让学生通过比较，辨别最优解,让学生自主选择,最终实现多题一解.

2. 注意方法的总结与优化

善于方法的总结与优化,让学生学会主动归纳总结典型问题的各种解法,让学生掌握处理各种问题的通性通法,少用技巧.各种通法让学生心中有数,清清楚楚.在掌握基本方法的同时,要让学生学会分析、比较,优化解题方法,学会在遇到不同问题时,能合理选择方法,少走弯路.

例4如图1,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).

此题学生遇到的障碍有:一是如何设好变量,不知道设边还是设角好;二是三角函数式的化简不正确,三角变形能力弱;三是认识到最值一般都在特殊位置取到,直接猜测结果,没有说明理由;四是没有思路或思路太多,无从下手.笔者在全面了解学生的情况后,引导学生从多个方面思考、挖掘:

视角1(三角函数视角)设∠AMN=θ.

AP2=AM2+MP2

-2AM·MPcos∠AMP

+60°)cos(θ+60°)+4

评注这种解法应该是本题非常好的通性通法,利用正余弦定理找到边角之间的关系,关键在于设角,这样就能建立已知与未知之间的联系,从而找到了目标和所设角之间的关系.

视角2(基本不等式视角)设AM=x,AN=y,∠AMN=α.在∆AMN中,

MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN,

即x2+y2-2xycos 60°=x2+y2-xy=4.

cos∠AMP=cos(α+60°)

在∆AMP中,AP2=AM2+PM2-2AM·PMcos∠AMP,即

=x2+4-x(x-2y)

=4+2xy.

点评通过三角关系建立二元等式,利用基本不等式求最值,这也是高中数学十分重要的基本方法,前提是要能得到的这样的二元关系.

视角3(坐标视角)以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系.

∵∆MNP为正三角形,且MN=2，

=3.

∵kMN·kPK=-1,

=4+4x1x2≤4+4×2=12,

点评坐标法经常能将思维计算化,即用计算代替部分思维,起到降低思维难度的作用,但本题效果不明显,所以什么情况我们用坐标法是值得总结和思考的.

视角4(平面几何视角)

解由运动的相对性,可使∆PMN不动,点A在运动.

由于∠MAN=60°,∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上,设圆弧所在的圆的圆心为F,半径为R,由图形的几何性质知:AP的最大值为PF+R.其中PF是MN的垂直平分线.

在∆AMN中,由正弦定理知

设PF与MN交于点E,则

点评平面几何视角让人眼前一亮,更接近题目的本质,但不易想得到,只有经常增强图形意识,识图、读图,思图,才能不断提升能力,增强感觉.

总之,在高三备考复习中,教师关注的不是讲题的多少,更不是解题方法是否精彩,变式训练是否到位,而是在解题教学中学生参与探究活动时间及深度,如何给学生恰到好处的引导,使他们的数学思维及数学探究合理地展开和进行,给学生独立思考和合作探究的机会,让学生积极尝试、合理探索．在数学课堂上,我们不仅仅要数学结果,更需要的是在结果出现过程中的数学体验及思维过程,那恰恰是数学能力生长的关键．只有通过不断的优化解题,方能提高复习效果．