五度律七声音阶、调式、音程的数字关系与和谐性

黄力民（中国计量大学 理学院，浙江 杭州 310018）

五度律七声音阶、调式、音程的数字关系与和谐性

黄力民（中国计量大学 理学院，浙江 杭州 310018）

分析五度连环构成的各种音阶的数字关系；连续七音组构成的音阶由五全音、两半音构成，且两个半音被三全音或两全音所隔开；非连续七音组构成的音阶不具有此规律，例举几种非正规音阶与调式；提出转调的几种类型及和谐性变化；依据五度律、纯律及连分数逼近方法综合评判音程和谐性。

五度连环；音阶；调式；转调关系；音程和谐性

两音关系以频率2比1、即八度最为和谐，但仅有八度的音阶过于简单。和谐性次于八度的是频率3比2关系，从某音（其频率用1表示）出发，按频率3比2迭次上行、下行产生音列：

将（1）中作为基准的“某音”记为C（中央C音），频率定为261.6赫兹。因七声音阶使用广泛，确定用7个字母A～G，其他各音在A～G上附加升降号，就得音列（1）的音名表示：该丘斯称之为“五度连环”［1］ 10，理论上其两端可以继续发展，但多于6个升降号的作品极为罕见。

一、音阶音数的确定

消除八度差别后音列（2）每个音都互不相同，此即数学上容易证明不可能有自然数m、n使下式成立：

应当从（2）取几个音作为音乐作品的元素？文［2］提出依据上式的近似关系来确定。如果（3/2）m=2n可以成立，消除八度差别后音列（2）就只含有m个音，实际情况是等式不可能成立，因而（2）没有相同音。如果考虑（3/2）m近似等于2n呢？新产生音将近似为原有音，也就是五度连环（2）中的几个音被挑选出来。

例如（3/2）5=7.594约等于23=8，从c音出发按频率比3比2产生4个音：

便不再产生第5个音（3/2）5了，因为它近似于23即高三个八度的C3音，不视作新的音，或者说具频率比（3/2）5的音与C音算作同一音。同样，（3/2）6与（3/2）之比、（3/2）7与（3/2）2之比也近似于23即高三个八度关系等等都算作是同一音。现在，在“八度相同”的意义上说总共只有5个音C、G、D、A、E，纳入八度之内按频率自低到高排列：

表1.五音组①“频率比”指与首音频率之比，下同。

据此得以从无数多音的五度连环（2）筛选出连续5个音作为音乐的元素。

类似地，由（3/2）7=17.09约等于24=16即高四个八度的C音，可取连续七音组成音阶。

将音列的近似封闭规则用到更多的近似等式，结果汇总如下表。

表2.五度律的11种音阶

这11种音组包含音乐中常用的五声、七声、十二声音阶，其余的在音乐史上亦有记载。

表二列出各音组相邻两音频率比关系，除二十四声、三十六声、四十八声有三种相邻两音关系外，其他都只有两种相邻两音关系，由此启发亦可通过考察各种音组产生的相邻两音频率关系，来决定应当从五度连环（2）取几个音作为音乐作品的元素。

例如C、G、D、A四音组有三种相邻两音频率关系：

表3.四音组

其中C-D、G-A是9/8，D-G是4/3，A-C1是32/27。

事实上，六音组、八音组、九音组、十音组、十一音组都有三种相邻两音频率关系。

音阶若有较多相邻两音频率比类型，虽有创作手段丰富的好处，但同时也有识别、理解的困难。因此，确定音阶音数的另一规则是，相邻两音频率之比种类足够少（显然至少有两种）。以上两种规则对于确定音阶音数问题所得结果基本一致。

二、五度连环连续七音组

五度连环（2）任意连续的七音组都可以作为音乐元素，如果在其中规定主音，一般意义上的音乐元素就构成了七声音阶，而音阶导向各种调式。

以F、C、G、D、A、E、B音组为例，若确定C为主音，则7个音的位置可称为“上五下一”，依频率自低到高排列成音阶：

表4.C大调

相邻两音关系是“全-全-半-全-全-全-半”，称为大调式或do调式。

若以A位置为基准，F、C、G、D、A、E、B七音位置为“上二下四”，排列成音阶：

表5.a小调

相邻两音关系：“全-半-全-全-半-全-全”，称为小调式或la调式。

从五度连环（2）共可获取13种连续七音组，依上述模式产生26种大小调，对应于C大调谱表与1～6个升降号谱表。若认为bG大调与#F大调相同、be小调与#d小调相同，则是24种大小调（精确计算应有bg～588.3音分低于#f～611.7音分，be～294.1音分低于#d～317.6音分），正是古今中外音乐作品所广泛使用。

非大小调音阶的构成举例——F、C、G、D、A、E、B七音组以D位置为基准，7个音为“上三下三”，排列成音阶：

表6.d主音re调式

相邻两音关系是“全-半-全-全-全-半-全”，称为d主音re调式。

归纳经典的五度律七声音阶、调式构成规则如下：

五度连环（2）的任一连续七音组用唱名标记为fa-do-sol-re-la-mi-si，其相邻频率比为3/2，因而都具有最和谐关系。连续七音组选定主音后构成音阶，无论构成哪种音阶，相邻两音都含5个全音、2个半音，且2个半音被三全音、两全音隔开。七音组的位置决定作品的音高区段，同一个七音组中选取不同音作为主音则决定音阶与作品的色彩、风格，即调式。

所谓X主音Y调式，其中X是七音组中的一个音名，Y是该音名对应的唱名。例如G主音do调式，即唱名do对应音名G，则五度连环七音组应是C、G、D、A、E、B、#F，排成音阶为G、A、B、C1、D1、E1、#F1、G1，通称G大调。

三、非连续七音组构成的音阶、调式

音乐作品中出现形形色色不符合上述规则的五度律音阶与调式，本节例举几种。

1、如果在连续七音组bE、bB、F、C、G、D、A以B取代bB，则变成间断的七音组bE、（缺bB）、F、C、G、D、A、B，以C为主音排列成音阶：

表7.曲调小音阶

相邻两音关系是“全-半-全-全-全-全-半”，仍包含五全音、两半音，但出现4个全音相连，不符合“2个半音被三全音或两全音隔开”的规律。实际作品的运作是g小调（bB大调）谱表上将bB音还原，并以C为主音，可能发生怪诞效果，［1］57-58称其为曲调小音阶，并指出音乐实践中曲调小音阶下行时按正规小音阶规则。

2、在连续七音组bA、bE、bB、F、C、G、D以B取代bB，变成间断的七音组bA、bE、（缺bB）、F、C、G、D、（缺A、E）、B，以C为主音排列成音阶：

表8.和声小音阶

相邻两音关系是“全-半-全-全-半-增二-半”，包含3个全音3个半音以及不和谐的增二度。［1］57称为和声小音阶，实际操作系将大调第3、6音降半音（以C大调为例）。其实不如说是c小调谱表将bB还原。

以上由不连续的七音组产生的音阶、调式，相当于在谱表上不依正常次序增减升降号（如第一例音组bE、bB、F、C、G、D、A，跳过bE还原了bB），按效果可称为不完全协和音阶、不完全协和调式。其中保持五全音两半音关系的和谐度较高。

3、连续的七音组若有缺失，例如F、C、G、D、A、E、B，假定实际作品中不出现F，以C为主音排列成音阶：

表9.一种六声音阶

有3种相邻两音关系：“全-全-小三-全-全-半”。

4、连续的八音组，例如取bB、F、C、G、D、A、E、B，以C为主音排列成音阶：

表10.bB、B同时出现的音阶

出现变化半音的两音关系：“全-全-半-全-全-半-变化半-半”，也可相当于十二声音阶有6个音缺失。实际操作是在F大调谱表中依据旋律发展对bB音间或还原。

5、全音音阶，如下表：

表11.全音音阶

全音音阶的六声取自五度连环（2）的不连续音组：C、（缺G）、D、（缺A）、E，（缺B）、#F、（缺#C）、#G、（缺#D）、#A，恰好隔一个取一个，彼此频率比是（3/2）2。

实际操作可在B大调谱表将#C、#D音还原，C为主音，B音不使用。相邻两音关系是“全-全-全-全-全-减三”。#A-C频率比等于两个自然半音，小于全音，相当于减三度。全音音阶音程关系极复杂，尤其是丧失了最和谐的纯五度、纯四度，出现不和谐的减三度、增五度、增六度，全音音阶作品据说有“虚无缥缈的神秘感”。在十二平均律规则下，这就是六平均音阶，［3］295指出德彪西的全音音阶作品就要求用十二平均律演奏。十二平均律是对协和的五度律十二声音阶的近似修正［2］，而对不协和的全音音阶修正为六平均音阶就有生造之嫌了。

总之，音阶是规定了主音的音的高低排列，调式体现于音阶，其本质是相邻两音频率比类型及排列方式。该丘斯称音阶（Scale）即调式（Mode），“一切的曲调，包括音阶在内，都发源于调（Key）。……调便是一群互有关系的音”［1］ 4。

四、音程和谐性评判

五度律的形成实际上有漫长过程。中国学术界一般认为《管子》记述的五度律形成于公元前7世纪至公元前3世纪，西方最早提出五度律的古希腊毕达哥拉斯学派也有公元前585-400年的跨度。毕达哥拉斯学派历史记载确有do-sol，fa-do频率比是3比2，但也有do-mi频率比是5比4，不符合五度律。

表12.严格的五度律与历史上的“五度律”

毕达哥拉斯学派音阶与纯律七声音阶完全相同，而纯律并非仅由频率比3比2产生。毕达哥拉斯学派追求的是所有音之间频率之比更显简单（事实上是最简单），因而可能没有坚守3比2的规律。该丘斯用五度律来解释大调式形成，却又将纯律中E、A、B音频率用于大调式音阶［1］10。曾侯乙墓编钟研究表明，五度律在中国的形成过程同样有纯律因素的影响［3］163。

可推测五度律并非一开始就具有严格的阐述，而是有很长的演变过程（泰勒的弦振动频率公式、物理实验的精密化可能是最后的促成），其间纯律的雏形一直附和在其上。当然，纯律作为一种严格的乐律生成原则——将大三和弦do-mi-sol三音间的频率之比从1∶81/64∶3/2即64∶81∶96修改成为64∶80∶96 或4∶5∶6或1∶5/4∶3/2——还是归功于13世纪末叶英国人奥丁汤。

因此，可以认为历史上五度律音程和谐性评判也掺杂了纯律的影响。

音程和谐性问题体现于：do-sol，sol-re，re-la等是八度以外最具亲和性的关系，那么do-re，do-la关系如何呢？

音程是两个音的频率之比，同度与八度音是平凡的、最协和的。由于全音、半音的存在，二～七度音都有大、小两种音程。

表13.五度律七声音阶音程及其转位音音程

根据最简整数比和谐原理［2］，通过考察频率比是否简单来评判和谐程度。若完全基于五度律，则大二及小七、大六及小三、大三及小六、大七及小二呈现和谐性递减。但结合纯律考察频率比的如下结果是公认的：

同度1/1、八度2/1、纯五度3/2、纯四度4/3，最简单——完全协和音程；

依纯律计算频率比，大三度5/4，小三度6/5，大六度5/3，小六度8/5，较简单——不完全协和音程；

依纯律计算频率比：大二度9/8，小二度16/15，大七度15/8，小七度16/9，较前复杂——不协和音程。

另一种评判依据是利用连分数逼近五度律频率比［4］。

将大七度243/128表达成连分数形式：

数学定理指出，所有分母不超过9的分数中，17/9最接近243/128，两者相对误差0.5%，而纯律大七度的15/8与243/128有1.2%的相对误差。

类似计算小二度：

减五度：

增四度：

其他各音程连分数逼近计算结果与纯律频率比并无差别。如此则与前述协和程度评判完全一致，减五度、增四度列为不完全协和音程较合理。

就五度关系而言，do-re比do-la要近，但以上结论却是do-re不如do-la和谐。

五度律七声音阶因变化音而产生增、减音程，大音程、纯音程上方音升高成为增音程，小音程、纯音程上方音降低成为减音程，但增四度、减五度非因变化音产生。（见表14）

增、减音程频率比复杂，特别是有诡异的“僭越”现象（增二度大于小三度等等），其源出于自然半音小于变化半音，增、减音程（除减五度、增四度）注定被列入不协和类。

表14.增音程、减音程及比较

五、转调的和谐性变化

设想演唱者认为自己嗓音达不到作品的高度，在有乐器伴奏时，可以降低若干度演唱。如果没有乐器伴奏，则不一定刚好降低若干度，此时会发生调性的改变。如果没有对比，调性的改变会使原作品的实际效果发生变化吗？问题有不同的回答，有的认为这只是整个作品放在什么音频高度上演奏、演唱的问题，没有什么差别。有的认为作曲家确定作品的高度是不可更改的。

转调的效果在于比较，应当研究同一作品中发生的转调。以下基于五度连环数字关系来讨论上述各种音组产生的音阶、调式之间发生的转换问题。

情形一：调式不变，旋律全部上移或下移。

移行音程3比2（即增或减一个升降号）时效果最为亲近、协和，例如C大调F音升号转到G大调、或B音降号转到F大调，这相当于主音与属音、下属音的关系。

情形二：调式改变。

一种是使用相同七音，但主音改变，例如C大调转到a小调。另一种是增或减一个升降号，例如C大调F音升号转到e小调、或B音降号转到d小调，主音当然也改变。

情形三：原音阶、调式由五度连环（2）的连续七音组构成，转入的仍是五度连环（2）连续七音组构成的调式，实际操作是依五度连环（2）规定的次序在谱表上增或减超过一个升降号。

例如调式不变，旋律全部上移或下移超过一个五度，可能产生强烈对比。又如调式改变但主音未变，［1］52指出将贝多芬第5交响曲开头数小节取消3个降号，从c小调转到C大调，其差别犹如在阳光或雨天观看同一风景。

该丘斯例举贝多芬作品第13号的等音转调——bE易为#D［1］127，这是非常遥远的转调，因为两者相距12个五度。依五度律bE低于#D，依十二平均律则两者相等，最遥远的关系反而回归于本原。

情形四：若原调本身是第三节所示各种不协和或非标准调式，转入五度连环（2）连续七音组构成的调式，则总体上呈现趋向和谐。

情形五：原音阶、调式由五度连环（2）连续七音组构成，转入的是非连续七音组构成的音阶、调式，或六声音阶、八声音阶，虽难以一一归类，但必定趋向紧张、反差强烈。

音乐的听觉效果必与时长有关（该丘斯指出体现转调至少须包括主和弦、属和弦［1］123），转调过程若未充分展开，则效果可能因人而异，表现手法的定位也可能发生分歧。例如C大调作品若有数小节缺失F音，可理解为即将就近转入G大调（e小调），也可理解为使用了表九的六声音阶。

［1］柏西·该丘斯.音乐的构成［M］.缪天瑞，译.北京：人民音乐出版社，1964.

［2］黄力民.音阶与律制的数学背景［J］.武汉音乐学院学报，2009（1）.

［3］缪天瑞.律学［M］.北京：人民音乐出版社，1996.

［4］黄力民.乐音体系的数学原理［J］.自然杂志，1989（3）.

（责任编辑：李小戈）

J612.1；J614.1

A

1008-9667（2016）02-0075-06

2015-06-14

黄力民（1945— ），湖南湘乡人。中国计量大学理学院教授，研究方向：数理乐律学。