“听课检测”：解题教学的必要跟进

☉江苏省江阴市青阳第二中学于永红

“听课检测”：解题教学的必要跟进

☉江苏省江阴市青阳第二中学于永红

数学学习离不开解题，数学教学自然也离不开解题教学，然而不少解题教学常常是教师讲好了数学题，然而安排学生自主订正时，有些习惯不好、自主性不高的学生常常满足于课上似乎听懂，简单修改答案式的订正应付一下.在目前大班额的班级教学中，学生整体上掌握、巩固到什么程度，往往缺少必要的反馈，这也许是导致很多解题教学效率偏低的原因.笔者近年来尝试开展“听课检测”活动，即在解题教学之后，对相关习题进行恰当的变式改编后安排跟进检测，实践一段时间之后，取得了一定的效果.本文呈现几个题例，并给出解读与反思，供研讨.

一、题例呈现与解读说明

题1：如图1，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF=60°，BE=2，CF=1.求AF的长.

解题教学记录：这是相关教辅资料上的一道习题，讲评时重点是引导学生把目光聚焦在△ADF、△ABE中，突破了AB、DF的长之后，就获得了重要进展.基于讲评重点，我们改编了如下的听课检测题，检查学生的听课效果.

图1

图2

听课检测题1：如图2，在▱ABCD中，AG⊥BC于G，AH⊥CD于H，且∠GAH=60°，BG=2，CH=1.

（1）求∠B的度数；

（2）求DH的长；

（3）求▱ABCD的面积.

改编说明：保持了问题题干的不变，只是简单变式了垂足的字母，增设了第一问，让一些学困生也能上手，吸引更多学生参与，又拓展出了第三问，避免优秀学生只是停留在原题上“空转”一次.

题2：如图3，在▱ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD.求证：四边形MNCD是平行四边形.

解题教学记录：如果只是满足于证明平行四边形，则入宝山而空返.笔者曾将该题做出一些即兴变式，通过添加一些条件，比如∠C等于60度，增加解题层次，引导学生继续深入思考可能导出的一些结论，以下就是讲评之后设计的听课检测.

听课检测题2：如图3，在▱ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD.

图3

（1）求证：四边形MNCD是平行四边形.

（2）当∠C=60°、MN=2cm时，

①求BD的长；

②连接AN交BD于G，求GN的长.

改编说明：保留了第一问，但通过添加强化条件“∠C=60°，MN=2cm”增设出两个问题，把问题引向深处，不但训练了平行四边形的证明，而且还把学生的思考引向特殊直角三角形（含30°）与特殊四边形之间的关系.

题3：如图4，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.求证：AE2+AD2= AB2.

解题教学记录：这道习题来源于人教版教材，条件与待证结论之间的距离较远，所以不少学生感觉到困难，笔者曾设计如下追问启发思路，比如连接BD，能证出哪两个三角形全等？△ABD有何特殊？边AD、BD、AB之间有怎样的数量关系？等等.通过上述追问，使得学生获得思路的贯通.于是，讲评之后，我们设计了如下的听课检测题.

听课检测题3：如图4，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD.

图4

（1）求证△ACE≌△BCD；

（2）求∠ADB的度数；

（3）若BD=2，AD=3，直接写出AB的长；

（4）求证：AE2+AD2=2AC2；

（5）当∠BCD=30°、BC=2时，求△ACE的面积；

挑战：（6）作CH⊥AD，垂足为H，若CD、CH与AB分别交于M、N，AN=2，BM=2，直接写出△ACB的面积.

改编说明：前面四问是原题的再检测，前三问是服务于第四问的；为了防止优生“空转”，增设出第五、六问，比如第五问，要求学生有较强的抗干扰能力，分离聚焦到△ACE中，作出CE边上的高，实现思路突破；而第六问隐含了一个结构，即图5中，发现∠DCH=45°后，应该能洞察出AN2+BM2=MN2.这样才能快速获得边AB的长，为最终求得△ABC的面积打开思路.

图5

题4：如图6，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.求证：四边形ADFE是平行四边形.

图6

解题教学记录：这道习题学生初次练习时的一个易错点是“想当然”地认为∠AFD=60°，缺少必要的推证，从而很快利用两组对边分别平行证出结论，造成“会而不对、对而不全”的错漏解法.讲评时重点解说了全等沟通边相等、利用一组对边平行且相等的思路证明平行四边形，并开发了如下的听课检测题.

听课检测题4：如图6，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.

（1）求证：△AEF≌△BAC；

（2）求证：DF=AB；

（3）求证：四边形ADFE是平行四边形；

（4）若BC=2cm，求四边形ADFE的面积；

（5）设AC、DF相交于G，连接BG，若AD=4cm，求BG的长；

挑战：（6）在（5）的条件下，连接EG，求四边形AEGD的面积.

改编说明：为了帮助更多的学困生理解该题证明平行四边形的路径，增设了第一、二问；为了给优秀学生提供更高要求，引发深入思考，增设了第四、五问，达到了较好的检测评价的效果.

二、进一步的思考

1.听课检测帮助学生从“听懂”走向“会做”

在一线教学的老师都有同感，很多同学听课时总以为自己已经听懂，然而让他们再独立解答类似问题时，却往往还不到位，这说明所谓“听懂”与“会做”之间还有一定的距离，这个距离可以通过跟进设计同类的“听课检测”来促进学生真正学会.有必要时，还可以在听课检测之后再次进行讲解，学生之间互评、教师对话追问其他同学的理解和不同思路，实现解题教学的高效，也是追求“做一题，会一类，通一片”的教学效果.

2.听课检测需要教师修炼命题基本功

从上面提供的几个题例来看，听课检测需要教师认真研究试题，精心设计较难问题的台阶、铺垫，既追求不同小问之间的由浅及深、从易到难的排列，又使得并列式问题之间互相关联、前后呼应、思路启发，这就需要教师有扎实的命题基本功.事实上，这方面的命题基本功不仅在习题教学上大有益处，在教学设计中也是十分必要的，比如数学课上一般都需要选用例题，而且往往也需要对例、习题展开变式，如何变式，变式角度有哪些，呈现方式如何等，都是需要教师精心设计的.

三、写在最后

有人把“学习方式”比喻成“消化能力”，认为如何练习和学习机制存在问题，学生就会“消化不良”，长此以往，就会“积食”，丧失胃口，自然也就不堪重负.有识之士也指出“减轻过重的课业负担，重在教学设计、教学研究”，我们深有同感.如果能把精心选择出来的典型习题认真讲评，并做好跟进检测，那么是不是就可以有效避免“同一类问题反复出现在17张试卷上”这种“题海现象”呢？

1.余慧娟，施久铭.减负，教育到底能做什么［J］.人民教育，2009（5）.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.郑毓信.“开放的数学教学”新探［J］.中学数学月刊，2007（7）.

4.章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013，56（6）.

5.刘东升.经历问题生成，深刻理解教材——人教八上“每日一题”的命题实践与思考［J］.中学数学（下），2014（4）.Z