"用教材教":二次根式的加减教学与思考

江苏省南通市通州区兴仁中学　严晓冬

"用教材教":二次根式的加减教学与思考

最近一次学校教研活动中,笔者有机会执教"二次根式的加减",在研习课程标准、不同版本教材之后,决定放弃教学上的情境引入,增补了"同类平方根",取得了较好的教学效果.本文整理该课的教学过程,并跟进阐释教学立意,供研讨.

一、教学过程概述

活动(一)回顾旧知,引出概念

图1

在黑板上顺次呈现如上所示的知识结构图,到了最后一个框空着,让学生猜想"学什么呢",从而引出本课课题---二次根式的加减.

过渡:在学习二次根式的乘除运算时,我们积累了很多运算经验,比如最后的运算结果要追求最简二次根式的形式,最简二次根式也是我们化简或运算的一种目标和方向,接下来要学习的二次根式的加减仍然需要追求这样的最简形式,让我们先来练习一组化简吧!

一组化简题(不做特殊说明时,字母都表示正数):

教学预设:同学们化简后发现同小题的4个最简二次根式的被开方数(式)都相同,给出同类二次根式的定义:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方式相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式.如上面的每个小题中的4个二次根式都是同类二次根式.

教学提醒:同类二次根式需要经过化简后才能识别和判定,而不能仅从形式上确认.有时形式差异很大,但经过化简后却是同类二次根式.安排以下一组练习.

例1下列二次根式中,哪些是同类二次根式?

教学点评:这里共有3组同类二次根式,被开方式分别是2、3、2ab.

活动(二)合并同类二次根式

过渡语:在七年级学习整式的加减时,我们曾练习过合并同类项,类似地,同类二次根式也可以进行合并,它们的算理是一致的.

例2合并下列各式中的同类二次根式:

教学点评:引导学生类比合并同类项的经验,先识别同类二次根式再合并它们的系数.

活动(三)二次根式的加减

过渡语:有了合并同类二次根式的经验,接下来我们可以开展二次根式的加减运算了,其本质就是先将二次根式化简为最简根式再确认有没有同类二次根式,如果有就合并.

例3计算:

教学点评:为学生总结二次根式的加减法则:二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式合并.提醒学生注意,不是同类二次根式的(如),则不能进行合并.

计算练习:

教学点评:提醒学生运算的顺序仍然遵循之前所有运算的经验,比如同级运算从左向右,有括号先算括号里面的.

活动(四)情境应用问题

例4现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板,能否采用如图2所示的方式,在这块木板上截出两个面积分别为8dm2和18dm2的正方形木板?

图2

(1)直接写出截出的两个正方形的边长:________, ________;(需要化简)

(2)教材上指出"显然木板够宽",怎么理解?

(3)教材上建议考虑"木板是否够长",怎么理解?

(4)如果不用计算器,你能否用更精确的方法解答"问题".

设计意图:这个情境问题来源于人教版八年级下册教材二次根式加减法的情境创设,从前面的引入部分来看,我们没有通过这个生活现实引入新课,所以把这个生活情境放到本课最后的应用环节,并开发了4个小问,有序引导学生思考问题.,所以显然够宽;(3)需要比较与7.5的大小;,而,所以,即能够截出.

附:课堂检测

(1)下列计算是否正确?为什么?

(2)填空:

讲解预设:(1)

(3)计算:

(4)如图3,两个圆的圆心相同,它们的面积分别是12.56和25.12.求圆环的宽度d(π取3.14,结果保留小数点后两位).

图3

二、教学立意的进一步阐释

1.基于数学的"前后一致"构思教学设计

二次根式的加减运算是二次根式一章的重点内容,接续在二次根式的乘除运算之后,是运算教学中的重要环节.前面所学的二次根式的两个性质、最简二次根式的概念与化简对本节课的学习至关重要,所以开课阶段我们选择了先复习这一章的知识结构,通过留白结构图的方式引出本课课题.接着,安排一组二次根式化简的小练习,既复习了旧知,又为本节新课中学生所要用到的常见的二次根式化简提供了预热.值得指出的是,这不仅向学生传递了前后一致、逻辑连贯的数学整体观,还渗透着研究套路:数、式的学习,都是遵循着"数(式)的概念→性质→运算法则→运算通性(简化运算,提高运算效率)→情境应用"研究套路展开的.

2.从"教教材"到"用教材教"

华东师大终身教授钟启泉先生曾指出:"教师不能满足于现成教科书的普适性预设,而是需要在课堂教学之前,根据本校、本班学生的实际重新作出预设",并认为新、旧教学的分水岭就是从"教教材"过渡到"用教材教".熟悉人教版教材最近两次修改的同行应该知道,二次根式的加减都是通过"生活现实"引入的.事实上,不得不承认新世纪以来的教材改版过分强调了数学来源于生活现实是不恰当的.《义务教育数学课程标准(2011年版)》已对情境选用做出必要的纠偏,比如要重视生活现实、数学现实、其他学科现实的恰当选用.这也是我们在上面课例中选择从"最简二次根式"这个数学现实出发的主要原因.

3.加强教学环节之间的"关联互动"

数学新授课的教学环节常常是情境导入、归纳性质(法则或定理)、例题示范、练习巩固、小结作业.然而各个环节之间的关联却显得薄弱,甚至有时不同教学环节之间转场生硬,缺少必要的过渡,这也是我们在上面各个环节之中预设过渡语的意图之一.此外,与必要的过渡语相比,加强不同教学环节之间的关联互动则更应成为教学预设的用力点.比如上面课例中的教学活动(一)中,安排的一组化简题,对后续所有环节中的运算都有启示与铺垫作用;教学活动(二)中的合并同类二次根式对教学活动(三)中的二次根式加减有直接的帮助,也就是说虽然没有开课尽快进入所谓的二次根式加减运算,然而在前两个环节"耗时费力"之后,学生对二次根式加减的运算程序已了然于胸,接下来只是给出规范的运算步骤而已.

三、写在最后

运算教学是初中数学教学的重点之一,随着计算机技术的发展,机械而繁杂的运算必然会被电脑取代,正如预设本课时,笔者曾认真研习上个世纪九十年代人教版的"初中代数(第3册)",其中还有大量的涉及查表求方根等运算规律的计算,现在这类问题在初中数学教材中都"消失"了,这也说明技术的进步,已不需要再教学上述内容.然而运算教学在现代技术环境下如何教,教什么,这是值得每个教者深入思考的话题.我们提供二次根式加减的教学设计,只是一次深入思考后的教学实践与反思,仍不成熟,敬候批评.