求解伯格斯方程的几种算法

马　龙，马红权，陈书文，叶婷婷（.武汉军械士官学校；.南京市板桥小学；.中国科学院纳米能源与系统研究所（北京）；.南京市西善花苑小学）

求解伯格斯方程的几种算法

马龙1，马红权2，陈书文3，叶婷婷4
（1.武汉军械士官学校；2.南京市板桥小学；3.中国科学院纳米能源与系统研究所（北京）；4.南京市西善花苑小学）

伯格斯方程（Burgers equation）是一个具有重要物理意义的数学模型。结合算例比较了基于不同径向基函数（Matern和MQ）的局部特别解方法和Local Kansa method，分析了它们的计算误差和优劣。

Burgers方程；径向基函数；局部近似特别解方法

一、引言

对很多物理问题来说，伯格斯方程（Burgers equation）是一个非常有用的数学模型，比如激波、浅水波问题和交通流动力学问题等。而且，由于伯格斯方程是比较少的可以得到精确解的一类非线性偏微分方程，它又常被用来检验数值方法的好坏优劣，这也使得伯格斯方程在计算机时代具有了重要的应用价值。近年来，无网格方法求解伯格斯方程逐渐受到重视，它既不需要进行网格划分，又可以有效提高计算的精度。其中，基于径向基函数（Radial Basis Function，RBFs）的无网格方法具有形式简单和各向同性等诸多优点，并且具有较强的比较能力，在数学上得到了大量研究和成功运用。本文结合算例比较了基于不同径向基函数（Matern和MQ）的局部近似特别解（LMAPS）方法以及Local Kansa method，在求解伯格斯方程近似解的可行性。

二、算例

考虑只含有一个变量的不定常Burgers方程，写成如下的方程形式：

这里的计算区域为Ω，∪，∂Ω，其中0≤x≤1，0≤y≤1，时间0＜t＜∞。点在计算区域内均匀分布，如图1所示，Li［4］给出了问题的解析解为：

考虑到分别用基于matern径向基函数的LMAPS和基于MQ函数的LMAPS方法来求解方程（1），表1表示节点在单位正方形的规则计算区域上均匀分布，如图1所示。

图1　所有点在计算区域内和边界上均匀分布

三、比较分析

分别取总节点数为121和441在t=0.4，Re=1，局部点ns=5的情况下，LMAPS分别采用Matern径向基和MQ径向基函数，Local Kansa method方法获得的最大绝对误差MAE，最大相对误差MRE和均方根误差列表RMSE。由于Matern径向基函数不含有形参c，所以不用像MQ函数作径向基函数那样去考虑形参c的取值，由下表可以看出不论是用MQ作径向基函数，还是选取Matern径向基函数，都能达到很高的近似精度，取得令人满意的效果，但是采用Matern RBFs时获得的各种误差相对来讲是最大的，这说明求解均匀区域点均匀分布的偏微分方程并不像求解非均匀分布的情况那样能取得较高的近似精度。

当节点数n=121时，采用Matern径向基函数时LMAPS方法的最大绝对误差，最大相对误差和均方根误差都达到了10-5，而采用MQ函数作径向基函数的LMAPS方法有更高的近似精度，当总节点数都增加到n=441时，基于两种不同径向基函数的LMAPS方法和Local Kansa method的近似误差都有着不同程度的提高，可见节点分布越密LMAPS方法和Local Kansa method的计算精度越高，同时采用MQ径向基函数的LMAPS方法比用Matern径向基函数的LMAPS方法和Local Kansa method的计算精度更高，当LMAPS方法采用Matern RBFs时近似误差则会比Local Kansa method较大一些。

t=0.4、Re=1三种方法误差分布比较表

但是随着节点数增加时，不论是采用MQ径向基函数LMAPS方法，还是Local Kansa method都需要随着尝试改变c的取值，以便取得最好的近似精度。这里需要说明的是LMAPS方法和LocalKansa method虽然都可以通过增加节点数提高计算精度，但由于会增加计算的量，故运算也需要更长的时间。

下图2（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）都是在正方形区域内的点均匀分布，总点数分别取n=121和n=441，局部区域点ns=5，边界点为ns=40和ns=80，雷诺数Re=1在t=0.4时分别采用两种不同径向基函数的LMAPS方法和Local Kansa method获得的绝对误差图像。

图2（a）　n=221，LMAPS（matern）

图2　（b） n=221，LMAPS（MQ）

图2　（c）　n=221，Local Kansa method

图2　（d） n=441，LMAPS（matern）

图2　（e） n=441，LMAPS（MQ）

图2　（f） n=441，Local Kansa method

四、结论

在求解Burgers方程时，基于全局性质的特别解方法得到的矩阵是满阵或者是稠密矩阵，这些矩阵往往是奇异的，如果用来解决大规模问题甚至是病态的。为了规避这些问题，人们找到了局部近似特别解方法（LMAPS）。本文采用三种方法在规则区域内求解点均匀分布的伯格斯方程，三种方法的最大绝对误差，最大相对误差和均方根误差都达到了10-5以上，证明都是有效的，误差和计算精度都是令人满意的。

［1］J.M.Burger.A Mathematical Model Illustrating the Theory of Turbulence in Adv.In Appl.Mech.I，Academic Press，New York，1948:171-199.

［2］程玉民.科学和工程计算的新方法：无网格方法［J］.计算机辅助工程，2009（1）.

［3］Li S，Liu W K.Meshfree and partical methods and their applications.Appl.Mech.Rev.，2002，55（1）:1～34.

［4］J.C.Li，Y.C.Hon，C.S.Chen.Numerical comparisons of two meshless meth-ods using radial basis functions，Eng Anal Bound Elem，2002（26）：205-225.

·编辑薄跃华