湿热环境下复合材料薄壁梁振动特性研究

马艳龙， 李映辉

(西南交通大学 力学与工程学院 应用力学与结构安全四川省重点实验室，成都 　610031)



湿热环境下复合材料薄壁梁振动特性研究

马艳龙， 李映辉

(西南交通大学 力学与工程学院 应用力学与结构安全四川省重点实验室，成都 610031)

研究湿热环境变化对复合材料薄壁梁自由振动特性的影响。给出了复合材料薄壁梁的位移场和应变场，将湿热应变引入单层材料的本构关系，基于Hamilton原理得到湿热环境下复合材料薄壁梁的多向耦合振动方程。用Galerkin法和假设模态得到薄壁梁的固有频率。讨论了周向均匀刚度(CUS)构型复合材料薄壁梁的耦合振动特点。数值计算分析了湿度、温度变化及铺层角度对梁振动特性的影响。

湿热环境；复合材料薄壁梁；自由振动；固有频率

一些细长复合材料壳体结构，如风力机叶片等常服役于湿热环境，湿热对复合材料性能有较大影响[1-3]，导致结构振动特性改变，因此研究湿热对细长复合材料结构振动特性影响机理有重要意义。

目前对湿热环境下复合材料结构振动特性的研究主要用层合梁、板、壳等模型。如Jiang等[4]将湿热应变引入单层复合材料本构关系，通过建立复合材料旋转层合梁挥舞振动方程，考察旋转效应、湿热效应、轮毂半径、纤维方向角等因素对其挥舞振动特性的影响；Shiau等[5]用直接积分法和谐波平衡法研究了湿热环境下旋转复合材料层合梁在周期激励下的动态响应和稳定性；Patel等[6]引入湿热，建立复合材料层合厚板的静力、屈曲和振动方程，并发展了13自由度C°八节点四边形板单元求解该问题；杨加明等[7]基于Reddy[8]高阶剪切理论，在本构中考虑湿热，建立复合材料层合板几何非线性振动控制方程，讨论温度、湿度、长厚比、纤维方向角等对层合板振动特性影响；Swamy等[9]用有限元法，分析湿热环境下复合材料层合壳的非线性自由振动;文献[10]研究了湿热环境对旋转复合材料叠层梁摆振特性的影响。由于复合材料薄壁梁的复杂性，现有的对薄壁梁在湿热环境下的振动特性研究还很少。

本文基于复合材料薄壁闭合截面梁位移应变关系，将湿热应变引入单层材料本构关系，用Hamilton原理建立梁拉伸、弯曲、扭转多向耦合振动方程探讨湿热效应、纤维铺层角对薄壁梁振动特性的影响机理。

1　振动控制方程

1.1位移场

考虑细长薄壁闭合截面梁，如图1。梁长L，壁厚h，截面中性面曲率半径R，且h≪R，R≪L。

图1　薄壁梁结构与坐标系Fig.1 Coordinate systems and geometry of thin-walled beam

薄壁梁整体坐标系oxyz的坐标原点位于固定端，局部坐标系o″xsξ位于薄壁截面上一点。整体坐标系中梁截面位移场为

u2(x,s)=U2(x)-z(s)φ

u3(x,s)=U3(x)+y(s)φ

(1)

式中：ui(i=1,2,3)为截面上任一点沿坐标轴x,y,z方向的位移，Ui(i=1,2,3)为截面沿坐标轴x,y,z方向的平均位移，φ表示截面绕x轴的扭转角，()′表示对x求导。g(s,x)为截面面外翘曲，可表为[11]

g2(s)U″2+g3(s)U″3

(2)

式中：g1、g2、g3分别为拉伸、绕z,y轴弯曲的面外翘曲函数，G(s)为扭转翘曲函数。

薄壁上任一点在局部坐标系o″xsξ中的位移为

(3)

1.2本构关系

薄壁梁截面的应变场为

Gφ″+g1U″1+g2U‴2+g3U‴3

(4)

式中：ε11、ε12和ε22为截面上任一点的轴向应变、剪切应变和环向应变，( ),s和( ),ss为对s的一阶、二阶导数，rn=y·z,s-z·y,s为x轴到局部坐标s处截面切线的垂直距离[12]。

考虑温度和湿度变化，单层材料应力-应变关系为

(5)

1.3势能表达式

湿热环境下单层材料振动变形应变能密度Φ为

(6)

令H=(H11H22H12)T=ΔTα+ΔCβ，γ=(γ11γ22γ12)T=(ε-H)，则

(7)

当薄壁结构未受到横向压力时，环向应力可忽略，得到

(8)

由式(7)和式(8)得

(9)

将式(9)代入式(7)，则单层材料应变能密度Φ为

(10)

式中：

(11)

将γ=(ε- ΔTα- ΔCβ)代入(10)得

2A(s)ε11H11-2B(s)ε11H12-

2B(s)ε12H11-2C(s)ε12H12+

(12)

式中:前三项为振动变形势能密度，四至七项为湿热变形与振动变形耦合势能密度，最后三项为湿热变形势能密度。如铺层数为n，单层厚度hk(k=1,…,n)，有h=h1+…+hn。将式(12) 沿环向和轴向积分，并对各层叠加，可得式(12) 中三部分对应的势能

(13)

因翘曲为小量，轴向变化率远小于环向变化率，A(s)、B(s)、C(s)为同一量级，将式(4)中应变代入应变能密度式(13)，并忽略翘曲轴向分量化简得

(14)

B(s)g1,szk)-C(s)g1,sg3,s]ds，

B(s)g1,syk)-C(s)g1,sg2,s]ds

zkg2,s)+C(s)g2,sg3,s]ds，

(15)

(16)

式中：

(17)

湿热环境下复合材料薄壁闭合梁总势能

U=Ud+Uc+Ue

(18)

1.4动能表达式

复合材料薄壁闭合截面梁的动能T

(19)

将式(1)代入式(19)得

(20)

1.5振动方程

(21)

式中：mc、Sy、Sz、I与截面几何和材料密度ρ有关，表示为

(22)

对应于式(21)的力边界条件为

(23)

式中：F0、FL为梁两端的外加轴向力，Mx0、MxL为梁两端的外加扭矩，My0、MyL为两端外加绕y轴弯矩，Qz0、QzL为两端沿z轴方向的剪力，Mz0、MzL为两端外加绕z轴弯矩，Qy0、QyL为两端沿y轴方向的剪力。

由方程(21)及边界条件(23)可见，湿热不仅通过改变材料属性能影响薄壁梁的刚度，而且通过产生湿热变形引起轴向力Nx使梁两个弯曲方向的刚度变化；同时湿热还以同样的方式影响梁的边界条件。

2　求解方法

方程组(21)是一组耦合偏微分方程，通常不能得到其解析解，为此使用Galerkin方法和假设模态法求其数值解。令

(24)

式中：

(25)

式(24)中φ(x)、η(x)、ϑ(x)和ζ(x)分别为拉伸、扭转、绕z轴(水平)和y轴(垂向)弯曲的模态函数，式(25)中φi(x)、ηi(x)、ϑi(x)和ζi(x)是满足边界条件的试函数，ai、bi、ci、di为待定系数，N为试函数个数。

式(24)～(25)代入(21)，基于Galerkin过程得

([K]-ω2[M])q=04N×1

(26)

式中：q={a1,…,aN,b1,…,bN,c1,…cN,d1,…,dN}T为待定系数列向量。

[K]和[M]中各子块均为N×N的方阵，其元素为

由q≠0，得到

(27)

由式(27)可求得梁的固有频率，再由式(26)求得模态向量，最后由式(25)求得其模态函数。

3　应用

3.1CUS构型梁

对沿周向均匀铺层构型梁，如图2。由式(11)知A(s)、B(s)、C(s)为常数，且C13=C14=C23=C24=C34=0，有Sy=Sz=0。方程组(21)简化为

(28)

图2　CUS构型截面Fig.2 Cross section of the circumferentially uniform stiffness construction

由式(28)可见，CUS构型梁仅存在拉-扭耦合，不存在拉-弯、弯-扭和弯-弯耦合；湿热不仅通过改变材料属性影响梁的刚度矩阵[C]，还通过湿热变形引起的轴向力Nx影响梁的垂向(V-bending，vertical)和水平(H-bending，horizontal) 弯曲刚度，从而影响其振动特性。

3.2算例

为考察湿热对复合材料薄壁闭合截面梁振动特性的影响，以两端固支周向均匀铺层(CUS)薄壁闭合截面梁为算例。几何参数见表1，材料为石墨/环氧，其弹性模量随湿度、温度变化如表2，湿膨胀系数β1=0，β2=0.44×10-6℃，热膨胀系数α1=-0.3×10-6℃，α2=28.1×10-6℃,泊松比ν21=0.3。

表1　复合材料薄壁梁几何参数

表2　石墨/环氧弹性模量[6](a)不同吸水浓度；(b)不同温度

3.2.1收敛性验证

式(25)中试函数φi(x)、ηi(x)、ϑi(x)和ζi(x) 理论上有多种取法，在给定精度要求下，不同取法其试函数目N不同。本文以固支梁拉伸、扭转、弯曲振型函数[13]为试函数。即

(29)

1-cosh(ωiL)cos(ωiL)=0,i=1,2,…,N

图3给出了试函数个数N对前拉伸、扭转、完全前四阶固有频率精度的影响。可见N增加，各阶固有频率快速收敛。在仅计算前四阶固有频率时，N=8可以保证足够精度。如需计算更高阶固有频率，则N要相应增大。

3.2.2有效性验证

为验证本文理论和方法，将本文结果与有限元法(FEM)结果比较如表3。有限元计算使用Nasran四节点壳单元，共3 456个节点、3438个单元。

由表3可见，本文结果与有限元结果非常接近，最大误差4.7%，具有非常好的一致性，说明本文理论和方法正确。

3.2.3温度效应

湿热将改变材料力学性能，从而影响结构的固有频率。从方程式(28)可见对CUS构型梁，湿热仅通过材料性能改变影响拉-扭耦合振动特性；但以材料性能改变、湿热变形两种方式影响弯曲振动特性。

图3　前四阶固有频率的收敛性(ΔT=50℃, ΔC=0.5%, θ=60°)Fig.3 Convergence of the first four naturalfrequencies(ΔT=50℃, ΔC=0.5%, θ=60°)

阶数拉伸本文FEM扭转本文FEM水平弯曲本文FEM垂向弯曲本文FEM11759.41740.31003.6996.468.3467.82123.7120.123518.83446.22007.21972.8215.1209.7356.4348.735278.15109.73010.82942.3441.9431.5711.0694.247037.56721.64014.53842.5745.6718.71184.71135.8

表4给出了在ΔC=0、θ=60°时，梁前两阶拉伸、扭转、两个方向弯曲振动特性随温度的变化规律。由表4可见温度增加梁各振动固有频率均下降，对弯曲振动特性影响较拉、扭振动更加显著(温度升高100°，水平弯曲振动一阶频率下降近29%)。

为分析温度导致的材料性能改变和热膨胀导致的热变形二者对振动特性影响机理，表5给出了仅考虑温度导致的材料性能改变对两个方向的弯曲振动特性影响规律，表6给出了仅考虑热变形对两个方向的弯曲振动特性影响规律。

表4　温度对梁振动特性的影响(ΔC=0, θ=60°,单位：Hz)

表5　仅考虑温度引起的材料性质改变对梁弯曲振动特性的影响(ΔC=0, θ=60°, 单位：Hz)

表6　仅考虑温度引起的热变形对梁弯曲振动特性的影响(ΔC=0, θ=60°, 单位：Hz)

由表5和表6可见，温度增加导致的材料性能改变和热膨胀导致的热变形均使梁的弯曲振动频率下降。对高阶振动，温度导致的材料性能改变强于热变形的影响；对低阶振动，温度导致的材料性能改变较热变形的影响弱。

3.2.4湿度效应

从式(21)和(28)可以看出， 湿度与温度作用机理相同。表7给出了湿度对梁振动特性的影响。可见湿度增大，梁各阶固有频率降低。鉴于石墨/环氧复合材料饱和吸水浓度一般在1%左右[14]，相对于温度而言湿度对梁的振动特性影响较小。

3.2.5铺层角效应

图4给出了在不同湿热下，材料铺层角对前两阶拉伸、扭转、两个方向的弯曲振动特性的影响。可见拉伸和弯曲振动频率随铺层角增大而下降；扭转振动频率先增后减，在45°铺层角达到最大；铺层角对振动特性影响与湿热环境、振动形态密切相关。

表7　湿度对梁振动特性的影响(ΔT=0, θ=60°,单位：Hz)

图4　铺层角对梁振动特性的影响Fig.4 Effects of ply angle on vibration characteristics of the beam

4　结　论

本文综合考虑梁截面翘曲、湿热对材料性能影响、湿热变形等因素，建立了湿热环境下复合材料薄壁截面梁的耦合振动方程，基于此研究了湿热效应、材料铺层角对薄壁梁振动特性的影响。结论如下：

(1) 湿热通过改变材料性能、产生湿热变形两种形式影响梁的振动特性，湿热增加二者均导致振动频率降低。

(2) 对高阶振动，温度导致的材料性能改变强于热变形影响；对低阶振动，温度导致的材料性能改变较热变形的影响弱。

(3) 总体来说，温度对振动特性的影响是主要的，相对于湿度影响更大；

(4) 湿热对梁振动特性的影响与振动形态密切相关，对弯曲振动特性影响较拉、扭振动更加显著。铺层角对振动特性影响与湿热环境、振动形态密切相关。

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Free vibration characteristics of a composite thin-walled beam under hygrothermal environment

MA Yanlong, LI Yinghui

(Applied Mechanics and Structure Safety Key Laboratory of Sichuan Province,School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Free vibration characteristics of a composite thin-walled beam under hygrothermal environment were investigated here. Firstly, the displacement field and strain one of the closed-section beam were derived. The influence of hygrothermal environment on the beam’s dynamic characteristics was introduced through adding the strain of moisture and thermal expansion into the constitutive relation of single layer material. The multi-directional coupled vibration equations of the composite beam were derived employing Hamilton’s principle. The natural frequencies of the beam were obtained based on Galerkin method and the assumed-modes method. The coupled vibrations of a typical composite beam with circumferentially uniform stiffness(CUS) were discussed. The influences of temperature, moisture and ply angle on the natural frequencies of the beam were analyzed through numerical simulations.

hygrothermal; composite thin-walled beam; free vibration; natural frequency

国家自然科学基金(11372257);西南交通大学研究生创新实验实践(YC201412230)

2015-01-27修改稿收到日期：2015-07-02

马艳龙 男，硕士，1986年9月生

李映辉 男，博士，教授，1964年10月生

E-mail:yinghui.li@home.swjtu.edu.cn

O326

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.026